A
0
0 1 0
- a n
an1
a1
0
B
0
1
系统矩阵
输入矩阵
C [1 00] 输出矩阵
状态变量图
u
+
Xn
Xn-1
X2
-a1 -a2
-an-1
X1=y
-an
例1.
u
+
X 2
X2 X1
X1 y
-3 -2
解: 选取 x1 y x2 x 1 y
则有 x 1 x 2
x2 2x1 3x2 u
x n x n1 h n1u
X AX BU
x1 y b0u
y
CX
DU
x 2 x 1 h1u
x 1 x 2 h1u x 2 x 3 h 2u
x n x n1 h n1u x n x n1 h n u
即 X AX Bu
其中
0 1 A - 2 - 3
0
B
1
y
x1 y
若选取
x2 x 1 y
xn x n1 y (n1)
则有
x x
1 2
x2 x3
x n an x1 an1x 2 a1xn
b0u(n) b1u(n1) bn1u bnu
x y b u 选取状态变量的原则是:
1
0
x x h u 在由包含状态变量的n个微分议程构成的系统状态2 议程解1 中任1何一个微分议程 均不含有作用函数的导数项。
e(t)
x 2
1 C
x1
x 1
x
2
1RL
C
1 L 0x1 x 2 Nhomakorabea1
L 0
e(t)
e0 (t)
1 C
idt
结论:状态变量不唯一,状态变量的选取不同,
x
2状态空0间表1 达xx式12也 不同。
2.作用函数含导数项时的n阶线性系统的状态空间表达式
(1).直接法:
y (n) a1y (n1) an1y an y b 0u(n) b1u(n1) bn1u bnu
x 1
x 2
-
0 2
-
1 x1
3
x
2
0
1
u
即
X AX Bu
其中
A
0 - 2
1
-
3
B
0
1
y
CX
1
0
x x
1 2
C 1 0
例2.
R(S) +
1
Y(S)
_
s(s1)(s2)
1
解: Y(s) s(s 1)(s 2)
1
R(s) 1
1
s3 3s2 2s 1
s(s 1)(s 2)
e
即 X AX Bu
其中
0 1
A
-
2
-
3
0
B
1
y
e0
1
0
x x
1 2
而 y CX
C 1 0
e(t)
1/L
x1
x1 x2
x2
e0 (t )
1/C
-R/L -1/LC
解法2.
选取 则有
x1 i
x2 idt
x 1
R L
x1
1 LC
x2
1 L
e(t)
x 2 x1
x 3
例3.
R
L
e(t)
C e0 (t)
解法1:
取 则有
LC d 2e0 dt 2
RC de 0 dt
e0
e
d 2e0 dt 2
R L
de 0 dt
1 LCe0
1e LC
x x
1 2
e0 x 1
e 0
x 1
x
2
-
0 1 LC
-
1 R L
x1
x
2
0 1 LC
二.状态变量的选取
设 在时 间间 隔[t0 , T]作 用到 被控 过程p 的 作用 函数 向量U为 已知,为 该被 控过 程选 取 向量X(t0 ),如 果向 量X(t)(t t0 )唯 一地 由 向量X(t0 )及U(t0 , T)所 确定 则向 量X(t)便 可 以选 作被 控过 程P的 状态 向量.它 的各 个 分 量X1(t ), X 2(t),, X n (t)便 是 状 态 向 量 。
则 选 取 的 状 态 变 量 为:
x1 y
x2
x 1
u
x3 x 2 5u
即：
x 1 x2 u
x 2
x3
5u
x 3
8 x2
9x3
38u
x 1 0
x
2
0
x 3 0
y 1 0
1 0 x1 1
0
1
x
2
5u
- 8 - 9 x3 38
x1
0
x
2
x 3
例2.
r
+
-
s 6
11
y
11 s6
s2
解:
Y(s) R(s)
s 6 11
s6
11 s2
6
1
s 11
s6
11 s2
s3
11s 6 6s2 11s
6
y 6y 11y 6y 11r 6r
a1 6 a2 11 a3 6 b0 b1 0 b2 11 b3 6
选取 则有
x1 y - b0r x2 x 1 h1r x3 x 2 h2r
e0
1
0xx
1 2
而 y CX
C 1 0
u
hn
hn1
xn xn1
a1
h2
h1
b0
x2 x1
x1
y
a2
an1
an
例1.
解:
a1 9 a2 8 a3 0 b0 0 b1 1 b2 4 b3 1 h1 b1 - a1b0 1 - 9 0 1 h2 (b2 - a2b0 ) - a1h1 (4 - 8 0) - 91 -5 h3 (b3 - a3b0 ) - a2h1 - a1h2 (1- 0 0) - 8 1 - 9 (-5) 38
x 1 x 2
1RL
1
LC 0
x1 x 2
1
L 0
e(t)
1
e0(t) C
idt
1 C
x2
0
1 C
x1 x 2
+
e(t) 1/L
x1
x x 1
1/C 2
x2 e0(t)
-R/L -1/LC
解法3.
选取
x
1
i
1
x2 C idt
则有
x
1
R L
x1
1 L
x2
1 L
则 y(3) 3y (2) 2y y r
取 所以
x
1
x 2
y x 1
y
x
3
x 2
y (2)
x 1 x2 x 2 x3 x 3 x1 2x2 3x3 r
X AX Br
0
其中
A
0
-1
1 0 0 1 - 2 - 3
0 B 0
1
C 1 0 0
x1
y
CX
1
0x
2
三.由微分议程建立状态空间表达式. 1.作用函数不含导数项时的n纪念阶线性系统的状态空间表达式
.
y(n) a1y (n1) an1 y an y u
选取
x1 y x 2 y x 1 x n y (n1) x n1
.
则有
x Ax Bu 状态方程
y cx
输出方程
0 1 0 0
h1 b1 - a1b0 0 h2 (b2 - a2b0 ) - a1h1 11 0 11 h3 (b3 - a3b0 ) - a2h1 - a1h2 -60
xx12
x2 x3