北京101中学2016-2017学年下学期高一年级期末考试数学试卷本试卷满分120分，考试时间100分钟一、选择题共8小题。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合M={x|x2-4x+3<0}，N={x|3-x>1}，则M N=（）A. {x| 1<x<3}B. {x| 1<x<2}C.D. {x| x<3}2. 某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为（）类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300A. 90B. 100C. 180D. 3003. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法。

如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（）A. 9B. 18C. 20D. 354. 重庆市2016年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如图，则这组数据的中位数是（ ）A. 19B. 20C. 21.5D. 235. 在区间[0，2]上随机取一个实数x ，若事件“3x-m<0”发生的概率为61，则实数m 的值为（ ）A. lB.21C.31D.61 6. 已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≥--,3,03,01y y x y x 则2x+y 的最小值为（ ）A. 11B. 5C. 4D. 27. 已知实数x ，y 满足a x<a y（0<a<1），则下列关系式恒成立的是（ ） A.111122+>+y x B. ln （x 2+1）>ln （y 2+1） C. sinx>sinyD. x 3>y 38. 如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF=21，有下列结论：①AC⊥BE；②EF∥平面ABCD ；③平面ACC 1A 1⊥平面BEF ；④△AEF 的面积与△BEF 的面积相等。

正确的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题共6小题。

9. 已知函数f （x ）=x+x8-3（x>0），则f （x ）的最小值是__________。

10. 抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下：则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为_______。

11. 把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是_______。

（填序号）①对立事件；②不可能事件；③互斥但不对立事件；④对立不互斥事件。

12. 从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率为_______。

13. 已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列命题，其中正确命题的序号是_______。

①α∥β⇒l ⊥m；②α⊥β⇒ l ∥m；③l ∥m ⇒α⊥β；④l ⊥m ⇒α∥β。

14. 在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影。

由区域⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥+≤-043,0,02y x y x x 中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB|=_________。

三、解答题共5小题。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

15. 某儿童乐园在“六一儿童节推出了一项趣味活动。

参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数。

设两次记录的数分别为x ，y 。

奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个;②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶。

假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀。

小亮准备参加此项活动。

（1）求小亮获得玩具的概率；（2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由。

16. 如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC，O，M分别为AB，VA的中点。

求证：（1）VB∥平面MOC；（2）OC⊥平面VAB。

17. 我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费，为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9组。

制成了如图所示的频率分布直方图。

（1）求直方图中a 的值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由； （3）若该市政府希望使85％的居民每月的用水量不超过标准x （吨），估计x 的值，并说明理由。

18. 如图所示，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，E 分别是AA 1，AC ，AB 的中点，求证：（1）平面MEN ∥平面A 1BC ； （2）A 1C ⊥C 1D ；（3）平面A 1EC ⊥平面A 1CD 。

19. 已知a ∈R ，函数f （x ）=log 2（x1+a ）。

（1）当a=5时，解不等式f （x ）>0；（2）若关于x 的方程f （x ）-log 2[（a-4）x+2a-5]=0的解集中恰有一个元素，求a 的取值范围；（3）设a>0，若对任意t ∈[21，1]，函数f （x ）在区间[t ，t+1]上的最大值和最小值的差不超过1，求a 的取值范围。

参考答案1. B 2 C 3. B 4. B 5. A 6. B 7. D 8. C 9. 42-3 10. 2 11. ③ 12.3113. ①③ 14. 32 15. （1）用数对（x ，y ）表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S={（x ，y ）| x ∈N ，y ∈N ，1≤x ≤4，l ≤y ≤4}一一对应。

因为S 中元素的个数是4×4=16，所以基本事件总数为n=16。

记“xy ≤3”为事件A ，则事件A 包含的基本事件共有5个， 即（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（3，1）， 所以P （A ）=165，即小亮获得玩具的概率为165。

（2）记“xy ≥8”为事件B ，“3<xy<8”为事件C 。

事件B 包含的基本事件共有6个，即（2，4），（3，3），（3，4），（4，2），（4，3），（4，4），所以P （B ）=166=83。

事件C 包含的基本事件共有5个，即（1，4），（2，2），（2，3），（3，2），（4，1），所以P （C ）=165。

因为83>165， 所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率。

16. （1）因为O ，M 分别为AB ，VA 的中点， 所以OM ∥VB 。

又因为OM ⊂平面MOC ，VB ⊄平面MOC ， 所以VB ∥平面MOC 。

（2）因为AC=BC ，O 为AB 的中点， 所以OC ⊥AB 。

又因为平面VAB ⊥平面ABC ，且OC ⊂平面ABC ，平面ABC 平面VAB=AB ，所以OC ⊥平面VAB 。

17. （1）由频率分布直方图知，月均用水量在[0，0.5）中的频率为0.08×0.5=0.04，同理，在[0.5，1），[1.5，2），[2，2.5），[3，3.5），[3.5，4），[4，4.5）中的频率分别为0.08，0.20，0.26，0.06，0.04，0.02。

由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=l ，解得a=0.30。

（2）由（1）100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12。

由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.12=36000。

（3）因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85，而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85，所以2.5≤x<3，由0.3×（x-2.5）=0.85-0.73，解得x=2.9，所以估计月用水量标准为2.9吨时，85％的居民每月的用水量不超过标准。

18. （1）因为M，N，E分别是AA1，AC，AB的中点，所以MN∥A1C，ME∥A1B。

又因为MN ME=M，所以平面MEN∥平面A1BC。

（2）因为BC⊥平面CDD1C1，C1D⊂平面CDD1C l，所以BC⊥C1D。

又在平面CDD l C l中，C1D⊥CD1，BC CD1=C，所以C1D⊥平面BCD1A l，又因为A1C⊂平面BCD l A l，所以A1C⊥C1D。

（3）连结A1D，取A1D中点F，取A1C中点O，连结AF，OF，OE，则AF⊥A1D。

因为C 1D ⊥平面A A DD l ，AF ⊂平面A A DD l ， 所以AF ⊥CD ， 又C 1D A 1D=D ， 所以AF ⊥平面A 1CD ， 因为OF21CD ，EA 21CD ， 所以OF EA ，所以四边形OFAE 为平行四边形， 所以EO ∥AF ， 所以EO ⊥平面A 1CD ， 又EO ⊂平面A 1EC ， 所以平面A 1EC ⊥平面A 1CD 。

19. （1）log 2（x 1+5）>0⇔x 1+5>1⇔xx 14+>0⇔x （4x+1）>0， 所以不等式的解为{x| x>0或x<-41}。

（2）依题意，log 2（x1+a ）=log 2[（a-4）x+2a-5]，所以x1+a=（a-4）x+2a-5，①可得（a-4）x 2+（a-5）x-1=0， 即（x+1）[（a-4）x-1]=0， ②当a=4时，方程②的解为x=-1，代入①式，成立。

当a=3时，方程②的解为x=-1，代入①式，成立。

当a ≠3且a ≠4时，方程②的解为x=-l 或x=41-a 。

若x=-1为方程①的解，则x1+a=a-1>0，即a>1。

若x=41-a 为方程①的解，则x1+a=2a-4>0，即a>2。

要使得方程①有且仅有一个解，则1<a ≤2。

综上，若原方程的解集有且只有一个元素，则a 的取值范围为1<a ≤2或a=3或a=4。