数值分析第三次作业解答
思考题： 1：
（a ）对给定的连续函数，构造等距节点上的Lagrange 插值多项式，节点数目越多，得到的插值多项式越接近被逼近的函数。

×; (b) 对给定的连续函数，构造其三次样条函数插值，则节点数目越多，得到的样条函数越接近被逼近的函数。

√ (c) 高次的Lagrange 插值多项式很常用。

× (d) 样条函数插值具有比较好的数值稳定性。

√
3． 以0.1,0.15,0.2为插值节点，计算()f x x
=的二次 Lagrange 插值
多项式
2()P x ，
比较2(0)P 和(0)f ，问定理4.1的结果是否适用本问题？ 解： 构造插值多项式：
01220122(0.15)(0.2)
()0.050.1(0.1)(0.2)()0.050.05(0.1)(0.15)
()0.10.05()0.1()0.15()0.2()
(0)0;(0)0.1403
x x l x x x l x x x l x P x l x l x l x f P --=⨯--=⨯--=⨯=
+
+
==
在（0，2）区间，
从而，对任意的 '''
3()(0,0.2),(0)0.05933!
f ξξω∈≤
不存在'''
32()(0,0.2),(0)(0)(0)0.14033!
f f P ξξω∈=-=。

演示程序：
x=0:0.01:0.2; y=x.^(1/2); plot(x,y,'r') pause,hold on
x0=[0.1,0.15 ,0.2]; y0=x0.^(1/2); x=0:0.01:0.2; y1=lagrangen(x0,y0,x); plot(x,y1,'b')
5：（a ）求()f x x =在节点
123452,0.5,0, 1.5,2x x x x x =-=-=== 的三次样条插值（150M M ==）。

解： x -2 -0.5 0 1.5 2 y 2
0.5
1.5
2
23452341.5,0.5, 1.5,0.5,
2/3
1/12001/122/31/42
1/4
2/30h h h h M M M ====⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢
⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
得到： 2344/9,32/9,4/3M M M =-==-,M1=M5=0 （b ）
x0=[-2 -0.5 0 1.5 2]; y0=abs(x0);
x=-2:0.05:2;
y1=lagrangen(x0,y0,x);
y2=interp1(x0,y0,x,'spline'); x3=-2:0.1:2;y3=abs(x3);
plot(x,y1,'b',x,y2,'r',x0,y0,'o',x3,y3,'r')
用最小二乘法，用形如y=a+bx 的多项式拟合下列数据：。