《三角函数、解三角形》部分易错题提醒（315800 浙江宁波北仑职业高级中学）王瑛三角函数及解三角形是高中数学的重要内容，也是各地高考的热点．但由于这部分内容公式多、概念广，解题方法与技巧多样，所以经常会出现遗漏条件、忽视范围及忘记分类等等问题，所以针对该部分常见错误与遗漏，归纳举例如下，望同学们能从中有所收获．一、三角函数的概念、同角三角函数的关系式及诱导公式1. 因“忽视轴线角、象限角表示中ｋ的讨论”而导致错误【例1】已知α为第三象限角，则2α是第 象限角，α2是第 象限角． 【解析】α 是第三象限角，即Z k k k ∈+<<+,2322ππαππZ k k k ∈+<<+∴,4322ππαππ，Z k k k ∈+<<+,34224ππαππ当k 为偶数时，2α为第二象限角；当k 为奇数时，2α为第四象限角；而α2的终边落在第一、二象限或y 轴的非负半轴上.【评注】k 为整数，故不要忘记分奇数与偶数进行讨论．对于Z k k k ∈+<<+,34224ππαππ，不要疏忽终边落在y 轴的非负半轴上这种特殊情况．【变式】已知βαsin 2sin =，βαtan 3tan =，求αcos 的值． 提示：若tan 0a ，tan 0b 则βββαααcos 32tan 3sin 2tan sin cos ===，∴αβc os 23c os =．又因为=βsin αsin 21，所以1cos 23sin 2122=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛αα，∴46cos ±=α．若0tan =α，0tan =β，即πβαk ==(Z k ∈)．此时1cos ±=α也满足题意，答案为46cos ±=α或1±．２. 因对“三角函数线的方向搞错”而导致错误【例２】利用单位圆，求y ＝lg (1－2cos x )的定义域． 【解析】由1－2cos x ＞0 得cos x ＜22.如图１， 利用余弦线可知函数的定义域为：x ∈(2k π＋π4，2k π＋7π4)(k ∈ Z)【评注】余弦线是以原点为起点，以终边与单位圆交点向x轴所引垂线的垂足为终点的一条有向线段．余弦线若与ｘ轴正方向一致的为正，反之为负．【变式】已知sin sin ,αβ>那么下列命题正确的是（ ） A ．若α、β是第一象限角，则cos cos ,αβ>图１图2B ．若α、β是第二象限角，则tan tan ,αβ>C ．若α、β是第三象限角，则cos cos ,αβ>D ．若α、β是第四象限角，则tan tan ,αβ>提示：作单位圆，如图2，OA 、OB 分别为角α、β的终边， ∵OC 为α的余弦线，OD 为β的余弦线，则有cos cos ,αβ>知A 错，依次判断知选D ．３．因“忽略同角三角关系的内在联系”而导致错误【例3】 已知53sin +-=m m θ，524cos +-=m m θ，),2(ππθ∈,求m 的取值集合. 【解析】∵1cos sin 22=+θθ，得0=m 或8=m ．①当0=m 时，53sin -=θ，54cos =θ，与已知矛盾；②当8=m 时，135sin =θ，1312cos -=θ，符合题意.综上，8=m 【评注】此题求解容易出现只考虑了“第二象限‘正弦为正，余弦为负’”，而忽视了θθcos ,sin 之间的内在联系—满足平方关系.【变式】 已知θ为钝角，且57cos sin =-θθ，求θtan 的值. 提示：将已知式两边平方得2549cos sin 21=-θθ，即2512cos sin -=θθ.解方程得53sin =θ，54cos -=θ，即43tan -=θ.４．因“忽视对角终边位置的讨论”而导致错误 【例４】若α的终边所在直线经过点33(cos,sin 44P ππ，则sin α= ． 【解析】∵直线经过二、四象限，又点Ｐ在单位圆上，若α的终边在第二象限，则3sin sin42πα==，若α的终边在第四象限，∴sin 2α=-，综上可知sin α=2±.【评注】角的终边为一射线，故当角的终边落在某直线上时，需要我们进行分类讨论．此外，对于角终边上点的坐标含有参数，求三角函数值的问题，也要注意分类讨论正、负、零．【变式】函数y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x ＋tan x|tan x |的值域是( )A ．{－1，1}B ．{1，3}C ．{1，－3}D ．{－1，3}提示：由条件知终边不能落在坐标轴上，故要分四种情况讨论：(1)当x 的终边分别落在第一、二、三、四象限时，上述函数的值域为{－1，3}．故选D .５．因对“诱导公式中的符号看象限理解不对”而导致错误【例５】若316sin =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ232cos =（ ）A ．97-B ．31-C ．31D ．97 【解析】⎪⎭⎫⎝⎛+απ232cos =)]23(cos[αππ--=—)23cos(απ-=—1+2)6(sin 2απ-=—97.故选A.【评注】三角函数的诱导公式可简记为：“奇变偶不变，符号看象限”．这里的“奇、偶”指的是π2的倍数的奇偶；“变与不变”指的是三角函数的名称变化；“符号看象限”的含义是：在该题中把整个角(2)3p -a 看作锐角时，(2)3pp --a 所在象限的相应余弦三角函数值的符号． 【变式】记cos(80)k -︒=,那么tan100︒=( )提示：∵sin80°=== ，∴tan100°=－tan80°=－sin 80cos80︒︒=－sin 80cos(80)︒︒-=B ． ６．因“忽视由函数值对角大小的精确估值”而导致错误【例６】已知πθ<<0，31cos sin =+θθ，求θ2cos 的值. 【解析】∵31cos sin =+θθ，两边平方得，8sin 29θ=-因为πθ<<0，0cos sin >+θθ，所以432πθπ<<，232πθπ<<, 917)98(12cos 2-=---=θ.【评注】求角的大小时，可以根据由三角函数值估算出角的较精确的取值范围，并不断缩小角的范围．这样可以有效避免对角的范围进行讨论，这充分体现了“函数问题，范围先行（尤其是三角函数问题）”的解题基本原则．【变式】已知22sin sin ,cos cos 33x y x y -=--=,且,x y 为锐角,则tan()x y -=______.提示：两式平方相加得：()5cos 9x y -=，∵,x y 为锐角，s i ns i n 0x y -<，∴x y <，()sin x y -==()()()sin 95cos 9x y x y x y --===-7．因“不理解含k 区间的意义”而导致错误【例7】 求函数)1sin 2lg(42-+-=x x y 的定义域．【解析】由⎩⎨⎧>-≥-01sin 2042x x ⎪⎩⎪⎨⎧+<<+≤≤-⇒ππππk x k x 2652622，如图３，定义域为]26，（π，Z k ∈ 【评注】此题容易造成对Z k k k ∈++),265,26(ππππ的理解错误，不理解含k 区间的意义．要知道这是一个“区间集”，是多个（本例为无数多个）区间的统一表达式（如上图３），在解题过程中，同学们应先将含k 区间“还原”为数轴上的“区间集”，再进行交并运算.【变式】 求函数)1cos 2lg(92-+-=x x y 的定义域；提示：由⎪⎩⎪⎨⎧>≥-22cos 092x x ⎪⎩⎪⎨⎧+<<+-≤≤-⇒ππππk x k x 242433，定义域为)4,4(ππ-. ８．因忽视“对字母正负的讨论”而导致错误【例８】已知函数f (x )＝2a sin(2x ＋π6)＋a ＋b 的定义域是[0，π2]，值域是[－5，1]，求a ，b 的值．【解析】∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤76π，∴－12≤sin(2x ＋π6)≤1.∴（１）当a ＞0时，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－5，3a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－5，（２）当a ＜0时，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，3a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1.故：a ＝2，b ＝－5或a ＝－2，b ＝1.【评注】本题中，要注意ａ的正负不同，最值的表示也是不同的，故应对ａ分类讨论． 【变式】如函数f x a x b ()sin =+的最大值为3，最小值为－１，则a =______，b =_______． 提示：两种情况，分类讨论：a =２，b =１；或a =－２，b =１．二、 三角函数的图象与性质9．因“忽视三角函数周期公式的适用范围”而导致错误【例9】()的最小正周期为函数x x x x x f cos sin cos sin -++= （ ） A ．π2 B ．π C ．2π D ．4π【解析】利用周期函数的定义求周期，本题直接检验得()2,2ππ==⎪⎭⎫⎝⎛+T x f x f 故 【评注】此题求周期不易使用公式法，求三角函数周期一般有三种方法：（１）公式法（２）图象法：对于单个解析式加绝对值的三角函数求周期，多采用画图来确定．（３）定义法：()()f x T f x +=． 【变式】函数|31)32sin(|-+=πx y 的最小正周期是 图３提示：注意别与函数)32sin(|π+=x y 的最小正周期的混淆，采用图象法即可，答案为π．10．因“忽视三角函数中内函数的单调性”而导致错误 【例10】)23sin(2x y -=π单调增区间为 （ ）A ．5[,]1212k k ππππ-+,()k Z ∈ B ．]1211,125[ππππ++k k ,()k Z ∈ C ．]6,3[ππππ+-k k ,()k Z ∈D ．2[,]63k k ππππ++,()k Z ∈ 【解析】∵ππy=2sin(-2x)=2sin(2x-)33－，即求函数πy=2s i n (2x -)3的减区间．故函数)23si n(2x y -=π的增区间为]1211,125[ππππ++k k ,()k Z ∈.故选B ． 【评注】求解三角函数的单调区间时若x 的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．。