.信号与系统知识要点第一章 信号与系统单位阶跃信号 1,0()()0,0t t u t t ε≥⎧==⎨<⎩ 单位冲激信号 ,0()0,0()1t t t t δδ∞-∞⎧∞=⎧=⎨⎪⎪≠⎩⎨⎪=⎪⎩⎰ ()()d t t dtεδ=()()t d t δττε-∞=⎰()t δ的性质：()()(0)()f t t f t δδ=000()()()()f t t t f t t t δδ-=-()()(0)f t t dt f δ∞-∞=⎰ 00()()()f t t t dt f t δ∞-∞-=⎰()()t t δδ=-00()[()]t t t t δδ-=-- 1()()at t aδδ=001()()t at t t a aδδ-=- 单位冲激偶信号 ()t δ'()()d t t dtδδ'= ()()t t δδ''=--00()[()]t t t t δδ''-=---()0t dt δ∞-∞'=⎰()()td t δττδ-∞'=⎰()()(0)()(0)()f t t f t f t δδδ'''=-00000()()()()()()f t t t f t t t f t t t δδδ'''-=---()()(0)f t t dt f δ∞-∞''=-⎰ 00()()()f t t t dt f t δ∞-∞''-=-⎰符号函数 sgn()t1,0sgn()0,01,0t t t t >⎧⎪==⎨⎪-<⎩或 sgn()()()2()1t u t u t u t =--=-.单位斜坡信号 ()r t0,0()(),0t r t tu t t t <⎧==⎨≥⎩ ()()t r t u d ττ-∞=⎰ ()()dr t u t dt =门函数 ()g t τ1,()20,t g t ττ⎧<⎪=⎨⎪⎩其他取样函数sin ()tSa t t=0sin lim ()(0)lim1t t tSa t Sa t→→=== 当 (1,2,)()0t k k Sa t π==±±=时，sin ()t Sa t dt dt t π∞∞-∞-∞==⎰⎰sin lim 0t tt→±∞=第二章 连续时间信号与系统的时域分析1、 基本信号的时域描述 （1）普通信号普通信号可以用一个复指数信号统一概括，即st Ke t f =)(，+∞<<∞-t 式中ωσj s +=，K 一般为实数，也可以为复数。

根据σ与ω的不同情况，)(t f 可表示下列几种常见的普通信号。

)(00)sin (cos )(s )(00sin cos )(s 00)()(s 00)()(0s )(号振幅变化的正、余弦信时），（即复数时当正弦信号与余弦信号时），（即虚数时当时），（即实指数信号实数时当时），（即直流信号时当≠≠+==≠=+===≠======⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⇒=-ωσωωωσωωωσωσσσt t Ke t f t j t K t f Ke t f K t f Ke t f tt st （2）奇异信号常见的连续时间奇异信号有单位冲激偶)(t δ'、单位冲激信号)(t δ、单位阶跃信号)(t u 和斜坡信号)(t r 。

任意的连续信号)(t f 可用冲激信号)(t δ，冲激信号)(t δ是信号进行时域分析的本证信号。

冲激信号的定义：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠∞→≠=⎰∞∞-A dt t A t t A t t A )(0,)(0,0)(δδδ式中A 为实数。

若1=A ，冲激信号)(t δ称为单位冲激信号)(t δ。

冲激信号的主要性质：①筛选特性)()0()()(t f t t f δδ= )()()()(000t t t f t t t f -=-δδ 0t 为实常数②取样特性)0()()(f dt t t f =⎰∞∞-δ)()()(00t f dt t t t f =-⎰∞∞-δ③展缩特性)(1)(abt a b at +=+δδ，a ，b 为实常数 ④冲激信号、阶跃信号、斜坡信号和冲激偶信号之间关系)]([)(t dt d t δδ=' )]([)(t u dt d t =δ )]([)(t r dtdt u = )()(t d tδττδ='⎰∞-)()(t u d t=⎰∞-ττδ)()(t r d u t=⎰∞-ττ冲激偶信号的定义：⎪⎩⎪⎨⎧≠=='0,00),()(t t t dt dt δδ冲激偶信号的主要特性：①筛选特性)()()()()()(00000t t t f t t t f t t t f -'--'=-'δδδ 0t 为实常数②取样特性)()()(00t f dt t t t f '-=-'⎰∞∞-δ，0t 为实常数③展缩特性)(1)(abt a a b at +'=+'δδ，a ，b 为实常数 )()(t t δδ'-=-' 2、 连续时间信号的时域分析信号的基本运算：加、乘、微分、积分、翻转、平移、展缩、分解。

3、卷积积分（1） 定义 τττd t f f t f t f )()()()(2121-=*⎰∞∞-（2） 性质交换律 )()()()(1221t f t f t f t f *=*分配率 )()()()()]()([)(3121321t f t f t f t f t f t f t f *+*=+* 结合律 )]()([)()()]()([321321t f t f t f t f t f t f **=** 卷积的微积分性质 )()()()()1(t g t f t gt f *=*'-)()()()()()(t g t f t g t f n n *=* )()()()()()(t g t f t g t f n n --*=*奇异信号的卷积性质)()()(t f t t f =*δ)(0t t -δ是0t 秒的延时器 )()()(00t t f t t t f -=-*δ )(t δ'是微分器 )()()(t f t f t '=*'δ )(t u 是积分器 )()()()()1(t fd f t f t u t -∞-==*⎰ττ系统的时域分析就是在时间域内分析输入与输出的时间特性，也可以认为，在输入激励信号已确定的情况下，主要分析输出响应的时间特性。

时域分析有经典法和卷积积分法。

第三章 连续时间信号与系统的频域分析1、 周期信号的傅里叶级数对于满足狄里赫利条件的周期为T 的信号)(t f ，可以展开成三角形式和指数形式的傅里叶级数。

记Tπω20=Ω=，称之为基频。

（1） 三角形式的傅里叶级数 ∑∞=++=1000)]sin()cos([)(n n nt n b t n aa t f ωω（2） 指数形式的傅里叶级数 t jn n n e F t f 0)(ω∑∞-∞== 式中 dt e t f TF tjn n 0)(1ω-∞∞-⎰=2、傅里叶变换（1） 傅里叶变换的定义式 dt e t f j F t j ωω-∞∞-⎰=)()( ωωπωd e j F t f t j )(21)(⎰∞∞-=)(ωj F ——)(ωj F 的模，表示信号)(t f 中各频率分量的相对大小，称之为信号的幅频特性； )(ωϕ——)(ωj F 的相角，表示信号)(t f 中各频率分量的相对位置关系，称之为信号的相频特性；（2）傅里叶变换的性质利用傅里叶变换的性质求定积分 利用零点 dt t f F )()0(⎰∞∞-=，ωωπd F f )(21)0(⎰∞∞-=，)()(21)(22ωωπd j F dt t f ⎰⎰∞∞-∞∞-=（3） 周期信号的傅里叶变换一方面，周期信号)(t f T 可以展开为傅里叶级数：tjn n nT eF t f 0)(ω∑∞-∞==所以 )(2)(0ωωδπωn F j F n n T -=∑∞-∞=，Tπω20=另一方面，设)(t f 为周期信号)(t f T 对应的主周期信号，)(t f 的傅里叶变换为)(ωj F ，则有 )()()()(t t f nT t f t f T n T δ*=-=∑∞-∞=所以)()()()()(00000ωωδωωωωδωωωn jn F n j F j F n n T -=-⨯=∑∑∞-∞=∞-∞=，Tπω20=3、系统的频率响应系统的单位冲激响应)(t h 傅里叶变换)(ωj H 称为系统的频率响应，有称为系统函数。

设)()()(ωϕωωj ej H j H =，则)(ωj H 称为系统的幅频特性，反映了系统对输入信号各频率分量相对大小的改变；)(ωϕ称为系统的相频特性，反映了系统对输入信号各频率分量相对位置的改变。

设输入)(t f 的傅里叶变换为)(ωj F ，零状态响应)(t y zs 的傅里叶变换为)(ωj Y zs ，则 )()()(ωωωj H j F j Y zs =，即 )()()(ωωωj F j Y j H zs =4、无失真传输与滤波 （1）无失真传输的条件 时域：)()(0t t k t h -=δ 频域：0)(t j ke j H ωω-= 或者 k j H =)(ω，0)(t ωωϕ-=其中，k 和0t 为实常数，且00>t （保证系统的因果性）。

（2）理想低通滤波器频率响应d c d t j cct j e G e j H ωωωωωωωωω--=⎪⎩⎪⎨⎧>≤=)(,0,)(2c ω为截止频率。

（3）理想高通滤波器d c d t j cct j e G e j H ωωωωωωωωω---=⎪⎩⎪⎨⎧<≥=)](1[,0,)(2（4）理想带通滤波器)]()([)()(001ωωδωωδωω-++*=j H j H 5、抽样（1）冲激串抽样)()()()()(nT t t f t t f t f n T s -=•=∑∞-∞=δδ，其中，)()(nT t t n T -=∑∞-∞=δδ)(t f s 的频谱为)(1)(0ωωωjn j F T j F n s -=∑∞-∞=，Tπω20= （2）脉冲串抽样)()()(t f t P t f T s =，其中，)()(nT t G t P n T -=∑∞-∞=τ)()2()(00ωωτωτωjn j F n Sa Tj F n s -=∑∞-∞= （3）时域抽样定理若)(t f 是频带有限的信号，其频谱只占据),(m m ωω-的范围，则当抽样周期ms T ωπ≤（或抽样频率m s Tωπω22≥=）称为奈奎斯特（Nyquist ）频率，把最大允许抽样间隔m s T ωπ=称为奈奎斯特间隔。