FN1 a A F FN3
Fy 0,
a FN2
一次超静定问题
（2）由节点A的位移条件 列变形几何方程
1
3
a
a
2
Dl1 Dl2 Dl3 cosa
D l2 A
（3）由胡克定律列物理方程
FN1l Dl1 Dl2 E1 A1 FN 3l cosa Dl3 E3 A3
A' A D l2
A
B
D F
C
M
D
0, 1.5FN1 0.5FN 2 0.5FN 3 0
一次超静定问题
FN1 A
F N2 B
FN3 D C
F
（2）由刚性梁的位移条件 列变形几何方程（位移图 与受力图一定要一致！）
A' D l1 A B D l2 B' C D l3 C'
2 Dl1 Dl2 Dl1 Dl3
已知：l1=l2=l‚ A1=A2‚ E1=E2‚ A3‚ E3 求： FN1‚ FN2‚ FN3 解 （1）由节点A的平衡条件 列平衡方程
3
1
a
a
2
A F
F
x
0,
FN1 sin a FN 2 sin a 0 FN 3 FN1 cosa FN 2 cosa F 0
超静定结构的解法： 为平衡方程建立补充方程，使补充方程数等于 多余未知力数（或使平衡方程与补充方程的总数等 于未知力总数），对平衡方程和补充方程联立求解。 建立补充方程的方法： （1）根据变形协调条件，建立变形几何方程；应 用拉（压）胡克定律，将变形几何方程改写成补充 方程。 （2）利用已知的位移条件和拉（压）胡克定律， 建立补充方程。
1
a
a
2
A F
超静定次数 = 独立的未知力数 －独立的静力平衡方程数
FN1 a A F
FN3
a FN2
多余约束和多余未知力： 对于维持物体平衡而言并非必需的约束称为多余 约束，相应的约束力称为多余未知力。 超静定次数=多余约束数（或多余未知力数） 从提高结构的强度和刚度的角度来说，多余约束 往往是必需的，并非多余的。
Fa FB , l
Fb FA l
§2-11
I. 装配应力
装配应力和温度应力
杆的实际长度与设计 长度间允许有偏差。 对于静定结构，装配 后仅是几何形状略有变化， 各杆内不会因装配而产生 应力。 对于超静定结构，由 于多余约束的存在，装配 后将使杆内产生应力。
1
a
a
B' B
§2-10 拉压超静定问题
独立的静力平衡方程： Fx 0, Fy 0 独立的未知力：FN1， FN2
1
a
a
2
A
静定结构： 独立的静力平衡方程数 =独立的未知力数； 有唯一确定的解。
F FN1 a a FN2 A F
独立的静力平衡方程：
F
x
0,
F
y
0
3
独立的未知力：FN1，FN2，FN3 超静定结构： 独立的静力平衡方程数 < 独立的未知力数； 没有唯一确定的解。
§3-6
扭转超静定问题
与求解拉、压超静定问题相仿，关键仍在于由位 移协调条件建立补充方程，以弥补平衡方程之不足。 例 两端固定的圆截面 杆AB，在截面 C处受一 扭 转 力 偶 矩 Me 作 用 如 图。已知杆的扭转刚度 为 GIp ，试求杆两端的 支反力偶矩。 解 一次超静定 相当系统如图
MA A
+
dBFB
B
FB （d）
dBF
（ c）
（2）由已知位移条件和叠加法列位移协调方程
d B d BF d BF 0
B
（3）由拉压胡克定律列物理方程
d BF
Fa , EA
d BF
B
FB l EA
（4）将物理方程代入到位移协调方程中得补充方程
Fa FBl 0
（5）解补充方程和平衡方程得约束反力
E1 A1 E1 A1
FN1 FN 2 0 ，FN3 F 。
例 图示杆系，三杆的横截面面积、长度和弹性模量 分别相同，用A、l、E表示，杆AC为刚性横梁。试求 在荷载F作用下各杆的轴力。 解 （1）由刚性梁的平衡 条件列平衡方程
l
a
a a/2
F 0,
x
FN1 FN 2 FN 3 F 0
2
De
l
由于装配而引起的应力， 称为装配应力；是在荷载作用 之前已存在于构件内部的初应 力。实践中，应尽量避免有害 的装配应力，利用有利的装配 应力。例如机械中轴与轴承的 紧配合，土建工程中的预应力 钢筋混凝土构件等。 装配应力的计算属于超静 定问题，求解的关键仍然是根 据变形协调条件建立变形几何 方程。
2a l DtEAsin b cos b FN3 1 2 cos3b
2
拉力
(6)各杆的温度应力
FN 2 a l DtE sin 2 b 1 2 A 1 2 cos3b FN3 2a l DtE sin 2 b cos b 3 A 1 2 cos3b
压应力 拉应力
(5)联解平衡方程和补充方程




II. 温度应力
当环境温度发生改变，杆件各部分温度也随之 发生均匀变化时，杆件将发生纵向伸长或缩短（当 然还伴随横向的收缩或膨胀）。 在静定杆系中，各杆因温度改变而引起的纵向 变形不受限制，仅发生尺寸和形状的变化，不产生 内力。 在超静定杆系中，由于多余约束的存在，各杆 因温度改变而引起的纵向变形要受到相互制约，在 杆内就要产生应力，称之为温度应力。 求解温度应力的方法与装配应力的解法是很相 似的。
（3）由拉压胡克定律建立 物理方程
FN1 A F N2 B FN3 D C F


FN i l Dli , EA
i 1,2,3
（4）将物理方程代入到变形几何方程中得补充方程
FN1 2FN 2 FN3
（5）将平衡方程和补充方程联立求各杆轴力
FN1 F 拉 , 12 FN 2 F , 3 FN 3 7 F 12
(3)物理方程
FN1l l Δl1 a l Dt cos b EA cos b FN 3l Δl3 a l Dtl EA
(4)补充方程
FN1 FN 3 cos b al DtEAsin b
2 2
(5)联解平衡方程和补充方程 a l DtEAsin 2 b 压力 FN1 FN 2 3 1 2 cos b
D l3 A'
D l1

a a
D l3
D l1
（4）将物理方程代入到变形几何方程中得补充方程
FN1l FN 3l cosa cosa E1 A1 E3 A3
（5）将平衡方程和补充方程联立求解各杆轴力
FN1 FN 2 F E3 A3 2 cosa E1 A1 cos2 a
FN 3
F E1 A1 1 2 cos3 a E3 A3
例 两端固定的等直杆AB，横截面面积为A，弹性 模量为E 。在C截面处受一轴向外力F作用。试求杆 件两端的约束反力。 解 （1）由杆AB的平衡条件 列平衡方程
FA A a l b
FA FB F 0
C F
一次超静定问题
FB
B
A
A
A
C F
C F
C
=
B
FB （a）基本系统 （b）相当系统 B
3 1
a
A' A
a
2
l
De
FN1 a FN3
Fx 0, F
y
0,
F N 3 FN1 cosa FN 2 cosa 0 FN1 sin a FN 2 sin a 0
a FN2
A
(2)变形几何方程
Δl1 Δl 3 Δe cos a
(3)物理方程
I
Me C
II
A
a
b
l
B
I
Me C
II
B
MB
x
(1)平衡方程
MA A
I
Me C
II B
MB x
M A M B Me 0
(2)变形几何方程
I
II C B
MB x
B BB BM 0
(3)物理方程
A
I A
Me C
II B x
BM
M ea M Bl , BB GIp GIp
解 (1)节点平衡方程
3 l 1
b
b
2
A
Dl1
A'
Dl3
Fx 0, Fy 0,
F N 3 FN1 cos b FN 2 cos b 0 FN1 sin b FN 2 sin b 0
FN1 b b FN2 A
FN3
(2)变形几何方程
Dl1 Dl3 cosb
(4)补充方程
(5)解方程(4)和(1)得
M Bl M e a 0
a M B Me, l
b M A Me l
Me
例 图示组合圆杆，是 由材料不同的实心圆杆 ①和空心圆杆②牢固地 套在一起而组成，左端 固定，右端固结于刚性 板上，在右端受外力偶 矩Me作用。实心圆杆的 直径为 d ，切变模量为 G1；空心圆杆的内外径 分别为d及D，切变模 量为G2。试求两杆横截 面上的扭矩，并求两杆 横截面上的切应力。
Me
A
B
l
Me
T2 T1
A l B