摘要本次课程设计主要是分析零极点对系统性能的影响。

首先从根轨迹、奈奎斯特曲线、伯德图和阶跃响应四方面分析原开环传递函数时的系统性能，然后在原开环传递函数基础上增加一个零点，并且让零点的位置不断变化，分析增加零点之后系统的性能，同时与原系统进行分析比较，发现增加的零点与虚轴的距离决定了对系统影响的大小；再在原开环传递函数基础上增加一个极点，并且令极点位置不断变化，分析增加极点后系统的性能，同时与原系统进行分析比较，同样发现增加的极点与虚轴的距离决定了对系统的影响大小。

关键词：零极点开环传递函数系统性能 MATLAB 谐振带宽The curriculum design is mainly the analysis of effect of zero pole on the performance of the system. First from the root locus, Nyquist curve, Bode diagram and step response analysis of four aspects of the original open-loop transfer function of the system performance, and then in the original open-loop transfer function is added on the basis of a zero, and let the zero point position changes continuously, increase system performance analysis of zero, at the same time and the original system analysis that increase, the zeros and the imaginary axis distance determines the impact on the system size; adding a pole in the original open-loop transfer function based on pole position, and make the changes, analysis of increasing performance point system, at the same time and the analysis of the original system, also found that increasing pole and the imaginary axis distance determines the impact on the size of the system.Keywords: zero pole open loop transfer function of system performance of MATLAB resonant bandwidth1 增加零点对系统的影响1.1 开环传递函数G 1（s ）的根轨迹和奈奎斯特曲线1.1.1开环传递函数G 1（s ）的根轨迹系统开环传递函数1)s (s 1)(s/a 21+++=(s)G 的根轨迹为广义轨迹，系统闭环特征方2110s s s a++++=，恒等变换为 12210a ss s +++=可以看出，如果绘制一个开环传递函数122()a ss s G s ++= 的系统根轨迹，实际上就是原系统的根轨迹。

在MATLAB 键入程序：n=[1,0] ; 分子 d=[1,1,2] ; 分母 rlocus(n,d) ;键入Enter 键，可得图1所示根轨迹图。

图1 开环传递函数G 1（s ）的根轨迹图1.1.2 开环传递函数G 1（s ）的奈奎斯特曲线取a=1,用MATLAB 绘奈奎斯特图。

键入命令:G=tf([1,1],[1,1,1]),nyquist(G)按键Eenter 出现如图2所示奈氏图图2开环传递函数G 1（s ）的奈奎斯特曲线1.2 增加不同零点时的阶跃响应分析（1）当a=0.01时 系统闭环传递函数2100111012()s s s s φ+++=单位阶跃响应的MATLAB 命令：num=[100,1] den=[1,101,2] step(num,den) grid onxlabel('t'),ylabel('c(t)') 系统响应曲线如图3。

由图可得超调量0.9850.50.5%100%97%p σ-=⨯=图 3 a=0.01时的单位阶跃曲线在MATLAB 上键入命令：G=tf([100,1],[1,1,1]) bode(G),系统伯德图如图4 。

由图可得谐振峰值r M =40图 4 a=0.01时系统伯德图 （2）当a=0.1时 系统闭环传递函数21011112 ()s s s s φ+++=单位阶跃响应的MATLAB 命令：num=[10,1] den=[1,11,2] step(num,den) grid on xlabel('t') ylabel('c(t)')系统响应曲线如图5。

由图可得 超调量0.890.50.5%100%78%p σ-=⨯=图 3 a=0.1时的单位阶跃曲线在MATLAB 上键入命令：G=tf([10,1],[1,1,1]) bode(G)系统伯德图如图6。

由图可得谐振峰值r M =20图6 a=0.1时系统伯德图（3）当a=1时 系统闭环传递函数21122()s s s s φ+++=单位阶跃响应的MATLAB 命令：num=[1,1] den=[1,2,2] step(num,den) grid on xlabel('t')ylabel('c(t)')系统响应曲线如图7。

由图可得 图 7 a=1时的单位阶跃曲线超调量0.6040.50.5%100%20.8%p σ-=⨯=MATLAB 上键入命令：G=tf([1,1],[1,1,1]) bode(G)系统伯德图如图8 由图可得谐振峰值r M =3图 8 a=1时系统伯德图（4)当a=10时系统闭环传递函数：20.111 1.12()s s s s φ+++=单位阶跃响应的MATLAB 命令：num=[0.1,1] den=[1,1.1,2] step(num,den) grid on xlabel('t') ylabel('c(t)')系统响应曲线如图9。

由图可得超调量0.6340.50.5%100%26.8%p σ-=⨯=图 9 a=1时的单位阶跃曲线在MATLAB 上键入命令：G=tf([0.1,1],[1,1,1]) bode(G)系统伯德图如图10 由图可得谐振峰值r M =0.3图 10 a=100时系统伯德图(5)当a=100时 系统闭环传递函：20.0111 1.012()s s s s φ+++=单位阶跃响应的MATLAB 命令： num=[0.01,1]den=[1,1.01,2] step(num,den) grid on xlabel('t')ylabel('c(t)')系统响应曲线如图11。

图 11a=1时的单位阶跃曲线 由图可得超调量0.650.50.5%100%30%p σ-=⨯=在MATLAB 上键入命令：G=tf([0.01,1],[1,1,1]) bode(G)系统伯德图如图12 由图可得谐振峰值r M =0图 12 a=100时系统伯德图1.3 系统阶跃响应分析原二阶系统闭环传递函数：212()s s s φ++=单位阶跃响应的MATLAB 命令： num=[1]den=[1,1,2] step(num,den) grid on xlabel('t')ylabel('c(t)')系统响应曲线如图13。

由图可得 超调量0.6520.50.5%100%30.4%p σ-=⨯=谐振峰值r M =0 图13 原二阶系统的单位阶跃曲线表1a超调量%p σ谐振峰值r M稳态()c ∞0.01 97% 40 0.5 0.1 78% 20 0.5 1 20.8% 3 0.5 10 26.8% 0.3 0.5 100 30% 0.01 0.5 原二阶系统30.4%0.5由表1可知，当r M 增大时，%p σ也相应增大。

因为增加对零点系统稳态值不产生影响。

当a=0.01 时，r M =40，%p σ=97%， 随着a 的增大，r M 开始减小，%p σ也减小，直到a 减小到某值时达到最小，%p σ也不再减小；a 继续增大，r M 减小到零，%p σ也增大，当a 增大到100时，%p σ=30%，r M =0.01，接近于原二阶系统的值。

由此可知，零点离虚轴越近，对系统暂态性影响越大，零点离虚轴越远，对系 统的影响越小。

因此，若附加的零点远离虚轴，可忽略它对系统的影响，按原二阶系统处理。

1.4增加不同零点时的伯德图（1）当a=0.01时在MATLAB上键入命令：G=tf([100,1],[1,1,1])bode(G),grid;系统伯德图如图14。

图 14 a=0.01时开环传递函数G1（s）的伯德图（2）当a=0.1时在MATLAB上键入命令：G=tf([10,1],[1,1,1])bode(G)系统伯德图如图15图 15 a=0.1时开环传递函数G1（s）的伯德图（3）当a=1时MATLAB上键入命令：G=tf([1,1],[1,1,1])bode(G)系统伯德图如图16图 16 a=1时开环传递函数G1（s）的伯德图（4）当a=10时在MATLAB上键入命令：G=tf([0.1,1],[1,1,1])bode(G)系统伯德图如图17图17 a=10时开环传递函数G1（s）的伯德图(5）当a=100时在MATLAB上键入命令：G=tf([0.01,1],[1,1,1])bode(G)系统伯德图如图18图 18 a=100时开环传递函数G1（s）的伯德图由系统伯德图可知，增加零点使系统截止频率增大，因为22412244b nωωξξξ=-+-+42142c nωωξξ=+-所以带宽增大；随着a增大，截止频率减小，带宽减小，当a，增大到一定值时，系统截止频率趋近于原二阶系统，截止频率为零。

2 增加极点时对系统的影响分析2.1开环传递函数为G 2（s ）时系统的根轨迹和奈奎斯特曲线2.1.1系统开环传递函数为G 2（s ）的根轨迹开环传递函数1)s 1](s [(s/p)122+++=(s)G 的根轨迹为广义轨迹，系统闭环特征方程为2[()1](1)10s p s s ++++=，恒等变换为3212()210ps s s s s +++++=可以看出，如果绘制一个开环传递函数3212()2()P s s s s s G s ++++=的系统根轨迹，实际上就是原系统的根轨迹。