数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设x Z ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集.若命题p ：x A ∀∈，2x B ∈，则（ ）A ．p ⌝：x A ∃∈，2xB ∈ B ．p ⌝：x A ∃∉，2x B ∈C ．p ⌝：x A ∃∈，2x B ∉D ．p ⌝：x A ∀∉，2x B ∉2.如果方程22143x y m m +=--表示双曲线，则m 的取值范围是（ ） A ．()3,4 B ．()(),34,-∞+∞ C ．()4,+∞ D ．(),3-∞ 3.命题“若220a b +=，则0a =且0b =”的逆否命题是（ ）A ．若220a b +≠，则0a ≠且0b ≠B ．若220a b +≠，则0a ≠或0b ≠C ．若0a =且0b =，则220a b +≠D ．若0a ≠或0b ≠，则220a b +≠4.已知具有线性相关的两个变量x ，y 之间的一组数据如表：且回归线方程是0.95 2.6y x =+，则t =（ ）A ．6.7B ．6.6 C.6.5 D ．6.45.在正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AB 的中点，则直线1DB 与MC 所成角的余弦值为（ ）A ．15-B ．15 C.15 D ．56.已知F 为双曲线C ：()2230x y λλλ-=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线距离为（ ）A B ． D ．3m7.某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10,6,8,5,6，则该组数据的方差2s =（ ）A ．145B ．3 C.165 D ．1858.双曲线()22216103x y p p-=>的左焦点在抛物线22y px =的焦线上，则p =（ ） A ．14 B ．12C.2 D ．4 9.与圆221x y +=及圆228120x y x +-+=都外切的圆的圆心在（ ）A ．一个椭圆上B ．双曲线的一支上 C.一条抛物线上 D ．一个圆上10.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面是边长为2的正方形，若1160A AB A AD ∠=∠=︒，且13A A =，则1A C 的长为（ ）A ．11.若a ，b 为实数，则“01ab <<”是“1b a<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件12.柜子里有3双不同的鞋，随机取出2只，则取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，且不成对的概率是（ ）A ． 15B ．25 C.35 D ．31013.双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，渐近线分别为1l ，2l ，点P 在第一象限内且在1l 上，若21l PF ⊥，22//l PF ，则该双曲线的离心率为（ ）A D ．214.椭圆221mx ny +=与直线10x y +-=相交于A ，B 两点，过AB 中点M 与坐标原点的，则m n的值为（ ）A B C. D ．2 15.设集合()(){}22,|41A x y x y =-+=，()()(){}22,|21B x y x t y at =-+-+=，如果命题“,t R A B ∃∈≠∅”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ C.40,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）16.为了了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为50的样本，则分段的间隔为 ．17.抛物线214y x =的焦点坐标是 ． 18.给出下列命题：①已知集合{}{}1,,1,2,3A a B ==，则“3a =”是“A B ⊆”的充分不必要条件； ②“0x <”是“()ln 10x +<”的必要不充分条件；③“函数()22cos sin f x ax ax =-的最小正周期为π”是“1a =”的充要条件； ④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充要条件的“0a b <”.其中正确命题的序号是 ．（把所有正确命题的序号都写上）19.甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是 ．20.若曲线2149y y x +=和曲线30kx y +-=有三个不同的交点，则k 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21. （本小题满分12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)[)[)[)[)[)[]160,180,180,200,200,220,220,240,240,260,260,280,280,300分组的频率分布直方图如图所示.（1）求直方图中x 的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为[)[)[)[]220,240,240,260,260,280,280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户？22. （本小题满分12分）设关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=.（1）若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；（2）若a 是从区间[]0,3任取的一个数，b 是从区间[]0,2任取的一个数，求上述方程有根的概率.23. （本小题满分12分）已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴上，且抛物线上有一点()4,P m 到焦点的距离为6.（1）求抛物线C 的方程；（2）若抛物线C 与直线2y kx =-相交于不同的两点A 、B ，且AB 中点横坐标为2，求k 的值.24. （本小题满分12分）已知0a >，设命题p ：函数()2212f x x ax a =-+-在区间[]0,1上与x 轴有两个不同的交点；命题q ：()g x x a ax =--有最小值.若()p q ⌝∧是真命题，求实数a 的取值范围.25. （本小题满分12分）已知椭圆C 的两个焦点坐标分别是()1F 、)2F ，并且经过点12P ⎫-⎪⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与圆O ：221x y +=相切，并与椭圆C 交于不同的两点A 、B .当OA OB λ=，且满足1223λ≤≤时，求AOB ∆面积S 的取值范围. 试卷答案一、选择题1-5: CBDAB 6-10: ACDBA 11-15：DBDCA二、填空题16.20 17.()0,1 18.①② 19.71620.3332,,2222⎛⎫⎛-- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭三、解答题21.【解析】（1）由()0.0020.00950.0110.01250.0050.0025201x ++++++⨯=得：0.0075x =，所以直方图中x 的值是0.0075.（2）月平均用电量的众数为2202402302+=， ()0.0020.00950.011200.450.5++⨯=<，∴月平均用电量的中位数在[)220,240内，设中位数为a ，由()()0.0020.00950.011200.01252200.5a ++⨯+⨯-=，得224a =.即月平均用电量的中位数为224.（3）月平均用电量为[)220,240的用户有0.01252010025⨯⨯=户，用平均用电量为[)240,260的用户有0.00752010015⨯⨯=户，用平均用电量为[)260,280的用户有0.0052010010⨯⨯=户，用平均用电量为[)280,300的用户有0.0025201005⨯⨯=户，抽取比例为11125151055=+++， ∴用平均用电量为[)220,240的用户中应抽取12555⨯=户. 22.【解析】设事件A 为“方程2220x ax b ++=有实根”.当0a ≥，0b ≥时，方程2220x ax b ++=有实根的充要条件为a b ≥. (){},|03,02,a b a b a b ≤≤≤≤≥，所以所求的概率为2132222323⨯-⨯==⨯. 23.【解析】（1）设抛物线C 的方程为22y px =，其准线方程为2p x =-， ()4,P m 到焦点的距离为6，∴462p +=，∴4p =. 即抛物线C 的方程为28y x =.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由22,8y kx y x=-⎧⎨=⎩消去y ，得()224840k x k x -++=， 由条件0k ≠，且()6410k ∆=+>，∴1k >-且0k ≠， 又12248k x x k ++=，∴2242k k +=，解得2k =或1k =-（舍）. ∴2k =. 24.【解析】若p 真，则()()0,01,00,10,a f f ∆>⎧⎪<<⎪⎨≥⎪⎪≥⎩即2210,01,120,240,a a a a a ⎧+->⎪<<⎪⎨-≥⎪⎪-≥⎩112a <≤. 若q 真，()()()1,,01,,a x a x a g x a a x a x a --≥⎧⎪=>⎨-++<⎪⎩∴()10a -+<，即()g x 在(),a -∞上是单调递减的，要使()g x 有最小值，则()g x 在[),a +∞上单调递增或为常数，即10a -≥，∴01a <≤.若()p q ⌝∧是真命题，则p 为假命题且q 为真命题，∴101,201a a a ⎧<≤>⎪⎨⎪<≤⎩或即01a <≤或112a <≤. ∴实数a的取值范围为(11,12⎛⎤⎤ ⎥⎦⎝⎦. 25.【解析】（1）设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>， 由条件有2223,1,2a b b a ⎧-=⎪⎨=⎪⎩解得2a =，1b =. ∴椭圆C 的方程为：2214x y +=.（2）依题结合图形知直线l 的斜率不为零，∵直线l 即0x my n --=与圆O ：221x y +=相切，1=得221n m =+.设()11,A x y ，()22,B x y ，由22,440,x my n x y =+⎧⎨+-=⎩消去x 整理得()2224240m y mny n +++-=， 得212122224,44mn n y y y y m m -+=-=++. 又2121AB m y y =+-，点O 到直线l 的距离1d ==， ∴2122111221AOB n S d AB m y y m ∆==+-+ ()()22122222112323244n m n y y m m +=-==++，()()()()12121212222221212225441144OA OB x x y y my n my n y y n m m m y y mn y y n m m λ==+=+++--+=++++==++.1223λ≤≤,令21t m =+，则[]12,3,6323t t t λ⎡⎤=∈⇒∈⎢⎥+⎣⎦， ∴()()2222212323239634AOB m t t S t t t m t ∆+====+++++， ∴3AOB S ∆⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴AOB S ∆的取值范围为：3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。