递推数列特征方程的来源与应用
浙江省奉化二中 周 衡(315506) 浙江省奉化中学 杨亢尔(315500)
递推是中学数学中一个非常重要的概念和方法，递推数列问题能力要求高，内在联系密切，蕴含着不少精妙的数学思想和数学方法。
新教材将数列放在高一讲授，并明确给出“递推公式”的概念：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式。
有通项公式的数列只是少数，研究递推数列公式给出数列的方法可使我们研究数列的范围大大扩展。
新大纲关于递推数列规定的教学目标是“了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项”，但从近几年来高考试题中常以递推数列或与其相关的问题作为能力型试题来看，这一目标是否恰当似乎值得探讨，笔者以为“根据递推公式写出数列的前几项”无论从思想方法还是从培养能力上来看，都不那么重要，重要的是学会如何去发现数列的递推关系，学会如何将递推关系转化为数列的通项公式的方法。
本文以线性递推数列通项求法为例，谈谈这方面的认识。
关于一阶线性递推数列：),1(,11≠+==+c d ca a b a n n 其通项公式的求法一般采用如下的参数法[1]，将递推数列转化为等比数列：
设t c ca a t a c t a n n n n )1(),(11-+=+=+++则 ， 令d t c =-)1(，即1
-=
c d
t ，当1≠c 时可得 )1
(11-+=-++c d
a c c d a n n
知数列⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧-+
1c d a n 是以c 为公比的等比数列， 11)1
(1--+=-+
∴n n c c d
a c d a 将
b a =1代入并整理，得
()1
1---+=-c d c b d bc a n n n
对于二阶线性递推数列，许多文章都采用特征方程法[2]：
设递推公式为,11-++=n n n qa pa a 其特征方程为02
2
=--+=q px x q px x 即， 1、 若方程有两相异根A 、B ，则n n n B c A c a 21+=
2、 若方程有两等根,B A =则n
n A nc c a )(21+=
其中1c 、2c 可由初始条件确定。
很明显，如果将以上结论作为此类问题的统一解法直接呈现出来，学生是难以接受的，也是不负责任的。
下面我们结合求一阶线性递推数列的参数法，探讨上述结论的“来源”。
设)(11-+-=-n n n n ta a s ta a ，则11)(-+-+=n n n sta a t s a ,
令⎩
⎨⎧-==+q st p t s （*）
（1） 若方程组（*）有两组不同的解),(),,(2211t s t s , 则)(11111-+-=-n n n n a t a s a t a , )(12221-+-=-n n n n a t a s a t a ,
由等比数列性质可得1
1
11211)(-+-=-n n n s a t a a t a , 1
2
12221)(1-+-=-n n n s a t a a t a ,
,21t t ≠ 由上两式消去1+n a 可得
()()()
n n n s t t s a t a s t t s a t a a 2
1221221121112..-----=
.
特别地，若方程组（*）有一对共扼虚根(),sin cos θθi r ±通过复数三角形式运算不难求得此时数列的通项公式为(),sin cos 21θθn c n c r a n n +=其中1c 、2c 可由初始条件求出。
（2） 若方程组（*）有两组相等的解⎩⎨
⎧==2
12
1t t s s ，易证此时11t s =，则
()()1121
12112
111111)(a t a s a t a s a t a s a t a n n n n n n n -==-=-=-----+ ，
2
1
1
121
1
1
1s a t a s a s a n
n n n -=
-
∴++,即⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧n n s a 1是等差数列， 由等差数列性质可知
()21
112111
.1s a t a n s a s a n
n --+=
， 所以n n s n s a t a s a t a s a a 1211122111211.⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--=．
这样，我们通过将递推数列转化为等比（差）数列的方法，求得二阶线性递推数列的通项，若将方程组（*）消去t （或s ）即得,002
2
=--=--q pt t q ps s 或此方程的两根
即为特征方程q px x +=2的两根，读者不难发现它们的结论是完全一致的，这正是特征方程法求递推数列通项公式的根源所在。
例1、 斐波那契数列),3,2(,11121 =+===-+n a a a a a n n n ，求通项公式n a 。
解 此数列对应特征方程为12
+=x x 即012
=--x x ，解得2
5
1±=
x ， 设此数列的通项公式为n
n n c c a )2
51()251(21-++=， 由初始条件121==a a 可知，
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-++=-++1)251()251(1251251222121c c c c ，解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==51
5121c c ， 所以⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--+=n n n a )251(251(
55）。
例2、 已知数列,5,121==a a 且)2(4411≥-=-+n a a a n n n ，求通项公式n a 。
解 此数列对应特征方程为442
-=x x 即0442
=+-x x ，解得221==x x ， 设此数列的通项公式为n n nc c a 2)(21⋅+=， 由初始条件,5,121==a a 可知，
⎩⎨⎧=⋅+=⋅+54)2(12)(2121c c c c ，解之得⎪⎩
⎪⎨⎧
=
-=434121c c ， 所以22)13(-⋅-=n n n a 。
例3 已知数列,1,021==a a 且)2(2211≥+=-+n a a a n n n ，求通项公式n a 。
解 此数列对应特征方程为222
+=x x 即0222
=+-x x ，
解得)4
sin 4cos
(211π
π±=
±=c i x ， 设此数列的通项公式为)4
sin 4cos ()2(21ππn c n c a n
n +=， 由初始条件,1,021==a a 可知，
⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1
)42sin 42cos ()2(0)4sin 4cos (221221ππππc c c c ，解之得⎪⎩
⎪⎨⎧
=-=21
2121
c c ， 所以)4
cos 4(sin 2)2(π
πn n a n n -=。
最后我们指出，上述结论在求一类数列通项公式时固然有用，但将递推数列转化为等比
（等差）数列的方法更为重要。
如对于高阶线性递推数列和分式线性递推数列，我们也可借鉴前面的参数法，求得通项公式。
例4、设数列{}n a 满足n n n n a a a a a 求,7
24
5,211++==+
解： 对等式两端同加参数t 得
()()解之可得令,5
247,72524
75272475272451++=++++
⋅
+=++++=+++=++t t t a t t a t a t a t t a a t a n n n n n n n 1-=t ，2，代入7
2)52(1++⋅
+=++n n n a t
a t t a ，
得,72292,7213111++⋅=++-⋅
=-++n n n n n n a a a a a a 相除得,2
1
312121+-⋅=+-++n n n n a a a a
即31
,41212111公比为是首项为=+-⎭
⎬
⎫⎩⎨
⎧+-a a a a n n 的等比数列， 1
342
34,34121111-⋅+⋅=
⋅=+----n n n n n n a a a 解得。
参考文献
[１] 杨亢尔．一个数列递推公式和一类应用题的解法．数学教学研究，2001.4. [２] 沈文宣. 初等数学研究教程.湖南教育出版社，1996.。