紧支的n次连续可微的小波函数 ， 1 n
n
1 设 f t L a, b ，如果存在 s0 0 ，使得对任意的 s s0 和
u a, b ， Wf s, u 没有局部极大值点，则对任意的
0，
f 在 a , b 上是一致Lipschitz n的。

和小波变换 Wf 2 , u j , p

j



完全重构原信号？
从二进小波模极大重构信号
一种重构信号的快速算法：
1. 问题描述
已知 Wf 2 j , u


对应的局部极大点为 u j , p


p
，小波系数为
Wf 2 j , u j , p f , j , p
设 表示
定理8.1 蕴含如下事实：仅当存在一个小波极大点序列 s p , u p 在细尺度下收敛于v,亦即
lim s p 0 且 p
p


pN
lim u p v ，则 f 在
v
点是奇异的。
连续小波变换的模极大值与信号奇异性检测
u
log2 Wf (s, u)
log 2 s
u
注意： 模极大点可以在也可以不在同一条极大曲线上。 信号f的所有奇异点可以通过跟踪细尺度下小波变换模极大而检测出来。 但仅沿着尺度搜索小波模极大对于奇异性检测还是不充分的，还需要从模极大值的 衰减性计算函数在一点的Lipschitz正则性。
称为信号在尺度
s0
下的边界点：
Wf s0 , u0 T
Wf s0 , u 在 u0 点取得局部极大值。
离散小波系数序列模极大值的定义 对于离散的小波变换序列 Wf (s,0),Wf (s,1),,Wf (s, n) 如果：
Wf s, m Wf s, m 1 Wf s, m Wf s, m 1
的位置 u j , p 研究现状： 1）实验数值表明，交错投影法等算法只能以10-2的级相对均方误差近似 地重构信号。 2）目前已证明，对于一般的二进小波，从二进小波变换模极大精确 重构信号是不可能的。 3）当信号的Fourier变换是带通的，并且小波的Fourier变换具有紧 支撑时，二进小波变换模极大可以给出信号的一个完备而稳定的表 示。
平滑函数及多尺度边缘点
t
s t s s
1 1
一个函数 f 在尺度
s 下的边缘定义为 f t 的局部突变点。
s
小波变换模极大用于信号多尺度边缘检测的可行性
t d t / dt
Wf s, u s1/ 2 f s u s1/ 2
j, p t
1 2j
t u j, p 2j
的导数，则有
Wf (2 j , u j , p ) u
1）、2）、3）
2 j f , j , p 0
，它满足以下条件：
则我们的问题是：重构一个近似函数 f
从二进小波模极大重构信号
一种重构信号的快速算法：
f 在该点 是n次可微的，但其n阶导数 f n t 在点
Lipschitz指数为
v
是奇异的，它的
0 n ，我们也说 0 描述了这个奇异性。
Lipschitz指数还可以扩展到
1 0 的范围。
噪声的Lipschitz指数为负数.
连续小波变换的模极大值与信号多尺度边界检测
pv
，使得

t R, f t pv t K v t v
（8.1）
称函数 f 在区间 a, b 上是一致 Lipschitz
K 0
使得（8.1）对所有的 v
a, b 成立，其中 K
0
的，如果存在常数 与
v
无关。
函数在一点的Lipschitz指数: 如果函数 f 在点 v R 连续可微,或者可微，而导数有界但不连续时 ,
且两式中不能同时取等号。
则称在m点取得模极大值。
连续小波变换的模极大值பைடு நூலகம்信号多尺度边界检测
确定边界点的算法过程
已知输入信号
d0 , d1,dn
Wf (s,0),Wf (s,1),,Wf (s, n)
步骤1，计算连续小波变换
步骤2，确定阈值 T 0 ，对 m 0,1,, n ，如果以下条件满足：
j, p

f , j , p j , p f , j , p j , p f , j , p j , p
阶梯型边界点的提取 算法： 1）即在不同的尺度
s1 , s2 ,, sJ
下，计算 Ws1 f v ,Ws 2 f v ,,WsJ f v
2）对于阈值T>0， 及r>1且非常接近1，如果
Ws j f v T ,
j 1, 2,, J
1 Ws j f v r r Wsl f v
t 1 t
n
n
且



t dt 0
构成平滑函数?Mallat原著中是否指平滑函数? 如果小波还是对称小波,能否保证 构成平滑函数?
连续小波变换的模极大值与信号奇异性检测
基本原理: Mallat等进一步分析发现，Wf s, u 的衰减性可以由其局部极大值控制。 定理 8.1（HWANG,MALLAT） 设n>0， t 平滑函数
Wf (s, m) T
Wf (s, m) 在 m点取得模极大值。
则m点就是信号在尺度s下的一个边界点。
连续小波变换的模极大值与信号奇异性检测
基本原理: n阶消失矩小波的小波变换的特性： 设 f t 在v点的Lipschitz 指数为 ,则在v 点的某邻域内,f 可以用 多项式
pv
也即小波变换可以刻画信号在奇异点的奇异性质. 人们已从理论上证明，小波变换模 Wf s, u 在v点的邻域中在细尺度下的 衰减性能够刻画函数f在点v的局部Lipschitz正则性 。
连续小波变换的模极大值与信号奇异性检测
基本原理: n阶消失矩的小波与一个平滑函数的导数之间的关系 [教材中参考文献1] 假设
f
d f s u du
t t
f s
Wf ( s, u )
连续小波变换的模极大值与信号多尺度边界检测
小波变换模极大值、模极大点 与极大曲线 （定义8.2）
信号的边界点 假设 T 0 是一个阈值，在尺度 s0 0 下，则满足以下两个 条件的点
u0
连续小波变换的模极大值与信号奇异性检测
孤立奇异点的检测： 假定 满足定理8.1的假设条件， 其 紧支集为 C, C
C 0
中
对 s s0 ，设收敛于v点的所有模极大点都包含在锥 则对小于n 的非整数 ，函数 f t 在
u v Cs
v
点为 Lipschitz

，当且仅当
简介
• • • • • • 简介 函数光滑性与奇异性的定义 奇异性点的重要性 传统检测方法的缺点 小波变换检测方法的可行性及有效性 本章的主要内容
用Lipschitz指数刻画信号的奇异性
称函数 f 在点 v R 为Lipschitz 和 m 次多项式
0
，如果存在常数 Kv 0
小波分析及其工程应用----清华大学计算机系---孙延奎---2005春
第8章 小波在信号奇异性检测及图象 边缘提取中的应用
信号/函数奇异性的定量描述 连续小波变换的模极大值与信号多尺度边界检测 连续小波变换的模极大值与信号奇异性检测 从二进小波模极大重构信号
二维小波变换模极大与图象多尺度边缘提取
d0 , d1,dn ，则计算它的奇异性的主
log 2 Wf s, u 作为log s的函数沿着收敛 2
于 v的极大曲线的最大斜率，，该斜率为 1/ 2 ，从而求出 问题： 通过实验搞清楚具体的计算过程！（习题8.2）

连续小波变换的模极大值与信号奇异性检测
阶梯型边界点的提取 ： 满足Lipschitz
f 在该点的Lipschitz指数为1. 在
v
点不连续但有界时,其 Lipschitz指数为0.
用Lipschitz指数刻画信号的奇异性
如果函数 f 在点 v R 的Lipschitz指数小于1,则称它在该点是奇异的. 如果函数 f 在点
v 的Lipschitz指数
0
满足 n 0 n 1 ，则
2. 求解方法——共轭梯度法
设
V
是由 j , p , , p j


生成的线性空间，则对于如下 L算子：
j, p
r V , Lr r , j , p j , p r , j , p j , p
j, p


可得，
f L1w
，其中
w Lf
0
的点属于一种特殊的奇异点，这种点对应信号
的不连续点或称为阶梯型边界，是一类重要的边界点。记
Ws f u f s u
Wf s, u s1/ 2Ws f u
对应式（8.4），有
Ws f u As
这表明，对于阶梯型边界v，沿着收敛于v点的极大曲线上的点u,其模 极大值都小于A。从而
W 下， s1 f v ,Ws 2 f v ,,WsJ f v
是一个相同的非零常数。
Ws j f v Wsl f v
1
1 Ws j f v r r Wsl f v