z(x,y) = ln i(x,y) + ln r(x,y)
4.5.3 同态滤波器
第 四 章 图 像 增 强
那么有：
F{z(x,y)} = F{ln f(x,y)} = F{ln i(x,y)} + F{ln r(x,y)} 或 Z(u,v) = Fi(u,v) + Fr(u,v) 其中Fi(u,v) 和Fr(u,v)分别是ln i(x,y) 和ln r(x,y) 的傅立叶变换。
4.5.3 同态滤波器
第 四 章 图 像 增 强
2 同态滤波器的定义
– 因为两个函数乘积的傅立叶变换不是可分离的， 也即： F{f(x,y)} ≠ F{i(x,y)}F{r(x,y)} 然而假设我们定义 z(x,y) = ln f(x,y) = ln i(x,y)r(x,y) = ln i(x,y) + ln r(x,y)
s(x,y) =F-1{H(u,v)Fi(u,v)}+F-1{H(u,v)Fr(u,v)}
4.5.3 同态滤波器第 源自 章 图 像 增 强通过设：
i’(x,y) = F-1{H(u,v)Fi(u,v)} r’(x,y) = F-1{H(u,v)Fr(u,v)} 上页等式可以表示为： s(x,y) = i’(x,y) + r’(x,y) 最后，通过i’(x,y) 和 r’(x,y)的逆操作（指 数操作）产生增强后的图像g(x,y) 。
4.5.2 高通滤波器
第 四 章 图 像 增 强
(2) 理想高通滤波器的截面图
H(u,v)
1 H(u,v)作为距离函数D(u,v) 的函数的截面图 0 D0 D(u,v)
4.5.2 高通滤波器
(3) 理想高通滤波器的三维透视图 第
四 章 图 像 增 强
H(u,v)
H(u,v)作为u、v的 函数的三维透视图
3) Butterworth低通滤波器的分析
– 在任何经BLPF处理过的图像中都没有明显的 振铃效果，这是滤波器在低频和高频之间的平 滑过渡的结果。 – 低通滤波是一个以牺牲图像清晰度为代价来减 少噪声干扰效果的修饰过程。
4.5.1 低通滤波器
第 四 章 图 像 增 强
原图
Butterworth低通滤波器 处理结果（没有振铃效果）
1 H (u, v) 2n 1 D0 / Du, v
4.5.2 高通滤波器
第 四 选择2： 章 H (u , v ) 1 2 当D0 Du, v 时 图 像 1 1 增 H (u, v) 2n 2n 1 0.414D0 / D(u, v) 1 ( 2 1)D0 / D(u, v) 强
4.5.2 高通滤波器
第 四 章 图 像 增 强
– 改进措施：
• 加一个常数到变换函数 H(u,v) + A （A取 0→1），这种方法被称为高频强调（增强）。 • 为了解决变暗的趋势，在变换结果图像上再 进行一次直方图均衡化。这种方法被称为后 滤波处理。
4.5.3 同态滤波器
•参见数字图像处理（第二 版）， R.C.Gonzalez ， Richard E.Woods著，阮秋琦， 阮宇智等译，电子工业出版 社，第2.3.4节
4.5.1 低通滤波器
第 四 章 图 像 增 强
2 理想低通滤波器 1) 理想低通滤波器的定义
• 一个二维的理想低通滤波器（ILPF）的转换 函数满足（是一个分段函数）
1 if H (u, v) 0 if
D(u, v) D0 D(u, v) D0
其中：D0 为截止频率 D(u,v)为距离函数 D(u,v)=(u2+v2)1/2
Butterworth低通滤波器的三维透视图
D0=1, n=2
H(u,v)作为u、v 的函数的三维 透视图
4.5.1 低通滤波器
第 四 章 图 像 增 强
2)Butterworth低通滤波器截止频率的设计
– 变换函数中不存在一个不连续点作为一个通过 的和被滤波掉的截止频率的明显划分。 – 通常把H(u,v)开始小于其最大值的一定比例的 点当作其截止频率点。 – 有两种选择： 选择1：H(u,v) = 0.5 当 D0 = D(u,v)时 1 H (u, v) 2n 1 D(u, v) / D0
4.5.1 低通滤波器
第 四 选择2： 章 图 像 增 H (u , v) 1 强
H (u, v)
2
1
当D0 D(u, v)时
2n
1 ( 2 1)D(u, v) / D0

1 0.414D(u, v) / D0
1
2n
4.5.1 低通滤波器
第 四 章 图 像 增 强
第 1 同态滤波器(Homomorphic Filtering)的基本 四 章 思想 –一个图像f(x,y)可以根据它的明度和反射分量的乘积来 图 表示 像 f (x,y) = i (x,y)r (x,y)（照射-反射模型） 增 其中：i (x,y)为明度函数， 0<i(x,y)<∞ 强
（入射光随坐标(x,y)不同的入射分量）； r (x,y)为反射分量函数，0<r(x,y)<1 （从景物反射到眼睛的图像）。 –通过同时实现压缩亮度范围和增强对比度，来改进图像 的表现。
4.5.3 同态滤波器
第 四 章 图 像 增 强
用滤波器函数H(u,v)对Z(u,v)进行处理，有：
S(u,v) = H(u,v)Z(u,v) = H(u,v)Fi(u,v) + H(u,v) Fr(u,v) 其中S(u,v)是结果图像的傅立叶变换。 在空域中： s(x,y) = F-1{S(u,v)} = F-1{H(u,v)Fi(u,v)}+F-1{H(u,v)Fr(u,v)}
v
u
H(u,v)作为u、v的 函数的三维透视图
4.5.2 高通滤波器
第 2) Butterworth高通滤波器截止频率设计 四 章 – 变换函数中不存在一个不连续点作为通过的和被 滤波掉的频率的明显划分。 图 – 通常把H(u,v)开始小于其最大值（为“1”）的一 像 定比例的点当作其截止频率点。 增 强 – 有两种选择： 选择1：H(u,v) = 0.5 当 D0 = D(u,v)时
4.5.1 低通滤波器
第 四 章 图 像 增 强 振铃效应实例
4.5.1 低通滤波器
第 四 章 图 像 增 强
2 Butterworth低通滤波器 1) Butterworth低通滤波器的定义
一个截止频率为D0（与原点距离）的n阶 Butterworth低通滤波器（BLPF）的变换函 数如下：
4.5.2 高通滤波器
第 四 理想高通滤波器的定义 章 (1) 一个二维的理想高通滤波器（ILPF）的转换函 图 数满足（是一个分段函数） 像 增 D(u, v) D0 0 if 强 H (u, v)
2 理想高通滤波器
1 if
D(u, v) D0
其中：D0 为截止频率 D(u,v)为距离函数 D(u,v)=(u2+v2)1/2
H (u, v)
1 D(u, v) / D0
1
2n
4.5.1 低通滤波器
第 • Butterworth低通滤波器的截面图 四 章 H(u,v) H(u,v)作为D(u,v)/D0的函数 图 的截面图 像 增 1 强
0.5 D(u,v)/D0
0
1
2
3
4.5.1 低通滤波器
第 四 章 图 像 增 强
4.5.3 同态滤波器
第 四 章 图 像 增 强
也即：
g(x,y) = exp[s(x,y)] = exp[i’(x,y)] exp[r’(x,y)] = i0(x,y)r0(x,y) 其中 i0(x,y) = exp[i’(x,y)] 和 r0(x,y) = exp[r’(x,y)] 是输出图像的明度和反射分量。
4.5.2 高通滤波器
3) Butterworth高通滤波器的分析 第
四 章 图 像 增 强
–问题：低频成分被严重地消弱了，使图像失去 层次。 高通滤波器只记录了图像的变化，而不能保 持图像的能量。低频分量大部分被滤除后，虽 然图中各区域的边界得到了明显的增强，但图 中原来比较平滑区域内部的灰度动态范围被压 缩，整幅图像比较昏暗。这在边缘提取中是合 适的，但仍不能满足一般的图像增强的要求。
100 P(u, v) / PT u v
4.5.1 低通滤波器
第 四 章 图 像 增 强
由于傅立叶变换的实部 R(u,v)及虚部I(u,v)随着频率 u,v的升高而迅速下降，所 以能量随着频率的升高而迅 速减小，因此在频域平面上 能量集中于频率很小的圆域 内, 当D0增大时能量衰减很 快。高频部分携带能量虽少 ，但包含有丰富的边界、细 节信息，所以截止频率D0变 小时，虽然亮度足够（因能 量损失不大），但图像变模 糊了。
1
2n
4.5.2 高通滤波器
第 (2) Butterworth高通滤波器的截面图 四 章 H(u,v) H(u,v)作为D(u,v)/D0的函 图 数的截面图 像 增 1 强
0.5 D(u,v)/D0
0
1
2
3
4.5.2 高通滤波器
第 (3) Butterworth高通滤波器的三维透视图 四 H(u,v) 章 图 像 D0=1, n=2 增 强
4.5.1 低通滤波器
第 四 章 图 像 增 强
• 理想低通滤波器的截面图
H(u,v)
1
H(u,v)作为距离函数D(u,v) 的函数的截面图
0
D0
D(u,v)
4.5.1 低通滤波器
第 理想低通滤波器的三维透视图 四 H(u,v) 章 图 像 增 强