实验四傅立叶变换与频率域滤波实验目的通过本次实验，实现以下几个目标：1.理解傅立叶变换；2.熟悉MATLAB中各种傅立叶变换相关的函数；3.掌握频域滤波的步骤以及MATLAB的实现方法；4.理解频域滤波器与空域滤波器的关系。
实验内容一、傅立叶变换及傅立叶反变换1.傅立叶变换相关函数MATLAB提供了几个和傅里叶变换相关的函数。
其说明如下：F=fft2(f); 二维傅立叶变换abs(F); 获得傅立叶频谱fftshift(F); 将变换的原点移至频率矩形的中心ifft2(F); 二维傅立叶反变换real(ifft2(F)); 提取变换后的实部imag(ifft2(F)); 提取变换后的虚部2.傅里叶频谱傅里叶频谱反映了图像的频率成分。
下面的例子对课本中123页和125页的图Fig4.03(a) 和图Fig4.04(a)进行傅立叶变换，得到傅立叶频谱。
显示傅立叶频谱时，使用了对数变换以获得更好效果。
f=imread('Fig4.03(a).jpg');F=fft2(double(f));F=fftshift(F);figure(1), imshow(f);figure(2), imshow(log(abs(F)+1),[ ]);f=imread('Fig4.04(a).jpg');F=fft2(double(f));F=fftshift(F);figure(1), imshow(f);figure(2), imshow(log(abs(F)+1),[ ]);为了更好地理解频谱，显示下面三个图像（x6.jpg，x60.jpg，y6.jpg）的傅里叶频谱，观察并比较、分析结果。
显示频谱时使用下面的语句来做灰度变换可找出其主要的频率成分。
figure(2), imshow(log(abs(F)+1).^4,[ ]); %先对数、再幂次变换这些都是用Matlab 制作的空间域存在明显周期的图像，生成图像x60.jpg的代码如下。
for i=1:300for j=1:300if(mod(j-1,60)<30) c(i,j)=255;else c(i,j)=0;endendendimwrite(c,'x60.jpg')3．傅立叶变换对将一幅图像进行傅立叶变换，再进行傅立叶反变换，可以得到原始图像。
下面的例子对课本中134页的图Fig4.11(a)进行傅立叶变换，然后再进行傅立叶反变换，观察并了解实现过程。
f=imread('Fig4.11(a).jpg');F=fft2(f);ff=ifft2(F);fa= abs (real (ff));figure(1),imshow(f);figure(2),imshow(F);figure(3),imshow(ff,[0 255]);figure(4),imshow(fa,[0 255]);理论上，经过傅里叶变换和傅里叶反变换，应该得到原始图像。
比较fa和f，基本差不多。
但用下面的语句可以看到他们之间有细微的差别，为什么？imshow(fa-double(f),[]);下面的例子将一幅图像进行傅立叶变换和傅立叶反变换，并将0频率分量移到矩阵的中心，并将四幅图放在一起，便于观察。
f=imread('Fig4.11(a).jpg');F=fft2(f);F=fftshift(F);ff=ifft2(F);fa= abs (real (ff));subplot(2,2,1);imshow(f);subplot(2,2,2);imshow(log(abs(F)+1),[]);subplot(2,2,3);imshow(ff,[0 255]);subplot(2,2,4);imshow(fa,[0 255]);二、频率域滤波频域滤波的步骤在课本中124页有详细描述。
按照该步骤，在MATLAB中很容易编程实现频域滤波。
由于滤波器就是频率域中的函数，关键是如何构造滤波器函数。
1. 低通滤波低通滤波是使低频部分通过，而使高频部分受到抑制，从而使图像变得平滑。
常用的低通滤波有理想低通滤波、巴特沃斯低通滤波和高斯低通滤波。
下面的例子实现了对课本135页图Fig4.11(a)进行理想低通滤波处理，改变截止频率D0重复实验，对结果进行分析和比较。
f=imread('Fig4.11(a).jpg');% 傅里叶变换，移位F=fft2(double(f));F=fftshift(F);% 构造理想低通滤波器，并用它滤波[height width]=size(F);H(1: height,1: width)=0;x0= height /2; y0= width /2;for x=1:heightfor y=1:widthif(sqrt((x- x0)*(x- x0)+(y-y0)*(y- y0))<30) % 注1H(x,y)=1;endFF(x,y)=F(x,y)*H(x,y);endend% 傅里叶反变换g=ifft2(FF);% 显示并比较结果figure(1), imshow(f);figure(2), imshow(log(abs(F)+1),[ ]);figure(3), imshow(log(abs(FF)+1),[ ]);figure(4),imshow(abs(real(g)),[ ]);2. 高通滤波高通滤波是使高频部分通过，而使低频部分受到抑制，从而使图像变得平滑。
常用的高通滤波有理想高通滤波、巴特沃斯高通滤波和高斯高通滤波。
下面的例子实现了对课本145页图Fig4.11(a)进行理想高通滤波处理。
改变截止频率D0重复实验，对结果进行分析和比较。
f=imread('Fig4.11(a).jpg');% 傅里叶变换，移位F=fft2(double(f));F=fftshift(F);% 理想高通滤波器，滤波[height width]=size(F);H(1: height,1: width)=1;x0= height /2; y0= width /2;for x=1:heightfor y=1:widthif(sqrt((x- x0)*(x- x0)+(y-y0)*(y- y0))<30) % 注1H(x,y)=0;endFF(x,y)=F(x,y)*H(x,y);endend% 傅里叶反变换g=ifft2(FF);% 显示并比较结果figure(1), imshow(f);figure(2), imshow(log(abs(F)+1),[ ]);figure(3), imshow(log(abs(FF)+1),[ ]);figure(4),imshow(abs(real(g)),[]);注1：将语句改为(x- x0)*(x- x0)+(y-y0)*(y- y0))<900免去了复杂的开平方运算sqrt，可大大减少计算量。
三、频域滤波器的空间形式由卷积定理我们知道，空间域滤波和频域滤波之间存在对应关系。
频域滤波器在空间域存在对应的空间域滤波器。
下面的例子得到了课本136页理想低通滤波器的空间形式。
F=imread('Fig4.13(a).jpg');f=ifft2(double(F));f=fftshift(f);figure(1), imshow(F);figure(2),imshow(abs(real(f)),[]);下面的例子得到了课本137页巴特沃斯低通滤波器的空间形式。
F=imread('Fig4.14(b).jpg');f=ifft2(double(F));f=fftshift(f);figure(1), imshow(F);figure(2),imshow(abs(real(f)),[]);下面的例子得到了课本143页理想高通滤波器的空间形式。
F=imread('Fig4.22(b).jpg');f=ifft2(double(F));f=fftshift(f);figure(1), imshow(F);figure(2),imshow(abs(real(f)),[]);注：为了能够更好地观察空间形式的图像，可以使用一些灰度变换的技巧附录习题4.9参考代码f=imread('FigProb4.09(left).jpg');% 傅里叶变换，移位F=fft2(double(f));F=fftshift(F);% 取复共轭[height width]=size(F);for x=1:heightfor y=1:widthFF(x,y)= complex(real(F(x,y)),-imag(F(x,y)));endend% 傅里叶反变换g=ifft2(FF);% 显示并比较结果figure(1),imshow(f);figure(2),imshow(abs(real(g)),[]);高斯低通滤波器f=imread('Fig4.11(a).jpg');% 傅里叶变换，移位F=fft2(double(f));F=fftshift(F);% 高斯低通滤波器，滤波[height width]=size(F);x0= height /2; y0= width /2;twoD02=2*15*15;H(1: height,1: width)=0;for x=1:heightfor y=1:widthD2=(x- x0)*(x- x0)+(y-y0)*(y- y0);H(x,y)=exp(-D2/twoD02);FF(x,y)=F(x,y)*H(x,y);endend% 傅里叶反变换g=ifft2(FF);% 显示并比较结果figure(1), imshow(f);figure(2), imshow(log(abs(F)+1),[ ]);figure(3), imshow(log(abs(FF)+1),[ ]);figure(4),imshow(abs(real(g)),[]);。