三角形综合题归类
考点：利用角相等证明垂直
1. 已知BE ，CF 是△ABC 的高，且BP=AC ，CQ=AB ，试确定AP 与AQ 的数量关系和位置关系
2. 如图，在等腰R t△ABC 中，∠ACB =90°，D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作
BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF ．(1)求证：CD=BF ；(2)求证：AD ⊥CF ；(3)连接AF ，
试判断△ACF 的形状.
拓展巩固：如图9所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：∠ADC ＝∠BDE ．
3. 如图1，已知正方形ABCD 的边CD 在正方形DEFG 的边DE 上，连接AE ，GC . （1）试猜想AE 与GC 有怎样的位置关系，并证明你的结论；
（2）将正方形DEFG 绕点D 按顺时针方向旋转，使E 点落在BC 边上，如图2，连接AE 和GC .你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.
B
A
C E F
Q
P
D A B
C
D
E
F
图9
A
B
C
D
E F
4.如图1，ABC ∆的边BC 在直线l 上，,AC BC ⊥且,AC BC =EFP ∆的边FP 也 在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF FP =
（1） 在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB 与AP 所满足的 数量关系和位置关系；
（2） 将EFP ∆沿直线l 向左平移到图2的位置时，EP 交AC 于点Q ,连接 ,AP BQ .猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； （3）将EFP ∆沿直线l 向左平移到图3的位置时，EP 的延长线交AC 的延长 线于点Q,连结,AP BQ ,你认为（2）中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.
等腰三角形（中考重难点之一） 考点1：等腰三角形性质的应用
1. 两个全等的含30，60角的三角板ADE 和三角板ABC ，如图所示放置，,,E A C 三点在
一条直线上，连结BD ，取BD 的中点M ，连结,ME MC ．试判断EMC ∆的形状，并说
明理由． M
E
D C
B
A
压轴题拓展：（三线合一性质的应用）已知Rt ABC ∆中，AC BC =，90C ∠=︒，D 为AB 边的中点，90EDF ∠=︒，EDF ∠绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ．
l
(1)
A B
(F) (E)
C P
A
B
E
C
F
P
Q (2) l
A
B
E
C F
P l
(3)
Q
当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时（如图1），易证1
2
DEF CEF ABC S S S ∆∆∆+=
．
当EDF ∠绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，
在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立? 若成立，请给予证明；若不成立，DEF S ∆，CEF S ∆，ABC S ∆又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
F
E
D
C
B
A
图1
A
E
C
F B
D
图2
A
E
C
F
B
D
图3
2. 已知：如图，△ABC 中，∠ABC =45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，
与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G 。

(1) BF =AC (2) CE =1
2
BF (3)CE 与BC 的大小关系如何。

考点：等腰直角三角形（45度的联想）
1. 如图1，四边形ABCD 是正方形，M 是AB 延长线上一点。

直角三角尺的一条直角边 经过点D ，且直角顶点E 在AB 边上滑动（点E 不与点A ，B 重合），另一条直角边与∠CBM 的平分线BF 相交于点F .
⑴ 如图14―1，当点E 在AB 边的中点位置时：
① 通过测量DE ，EF 的长度，猜想DE 与EF 满足的数量关系是 ； ② 连接点E 与AD 边的中点N ，猜想NE 与BF 满足的数量关系是 ； ③ 请证明你的上述两猜想.
⑵ 如图14―2，当点E 在AB 边上的任意位置时，请你在AD 边上找到一点N, 使得NE=BF ，进而猜想此时DE 与EF 有怎样的数量关系并证明
2. 在Rt △ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，D 是AC 的中点，DG ⊥AC 交AB 于点G.
（1）如图1，E 为线段DC 上任意一点，点F 在线段DG 上，且DE=DF ，连结EF 与 CF ，过点F 作FH ⊥FC ，交直线AB 于点H ．①求证：DG=DC ②判断FH 与FC 的数量关系并加以证明．
（2）若E 为线段DC 的延长线上任意一点，点F 在射线DG 上，(1)中的其他条件不变，借助图2画出图形。

在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在(1)中得出的结论是否
发生改变．
（直接写出结论，不必证明）
同类变式： 已知：△ABC 为等边三角形，M 是BC 延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点A ，且60º角的顶点
E 在BC 上滑动，（点E 不与点B 、C 重合），斜边与∠ACM 的平分线C
F 交于点F
（
1）如图（1）当点E 在BC 边得中点位置时
○
1猜想AE 与EF 满足的数量关系是 . ○2连结点E 与ＡＢ边得中点Ｎ，猜想ＢＥ和ＣＦ满足的数量关系是 .
○
3请证明你的上述猜想； （２）如图（２）当点Ｅ在ＢＣ边得任意位置时，ＡＥ和EF 有怎样的数量关系，并说明你的理由？
附加思考题： 以ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆，90BAD CAE ∠=∠=︒.连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的
位置关系及数量关系．
⑴如图① 当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是 ；线段AM 与DE 的数量关系是 ；
⑵将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转θ︒(090θ<<)后，如图②所示，⑴问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．
图①
N
M E
D
C
B A
图②
N M
E
D
C
B
A
图
G
H
F
E
D
C
B
A
图
图（1）
图（2）
24、已知：如图，矩形ABCD 中点G 为BC 延长线上一点，连接,DG BH DG H ⊥于，且GH DH =，点,E F 分别在,AB BC 上，且//EF DG 。

（1）若
3,2AD CG ==，求DG 的长；
（2）若GF AD BE =+，求证：1
2
EF DG =。

12、（2010年宁德市）（本题满分13分）如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM.
⑴ 求证：△AMB ≌△ENB ；⑵ ①当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小； ②当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由； ⑶ 当AM ＋BM ＋CM 的最小值为13+时，求正方形的边长.
28．如图甲，已知∠ABC =90°，△ABD 是边长为2的等边三角形，点E 为射线BC 上任意一点（点E 与点B 不重合），连结AE ，在AE 的上方作等边三角形AEF ，连结FD 并延长交射线BC 于点G ．
（1）如图乙，当BE=BA 时，求证：△ABE ≌△ADF ；
（2）如图甲，当△AEF 与△ABD 不重叠时，求∠FGC 的度数；
（3）若将已知条件中的“在AE 的上方作等边三角形AEF ，连结FD 并延长交射线BC 于点
G ．”改为“在AE 的下方作等边三角形AEF ，连结FD 交射线BC 于点G ．”（如图丙所示），试问当点E 在何处时BD ∥EF ？并求此时△AEF 的周长．
B C N
M
图甲
A
C
B
D
F
G
E 图乙
A
B
D
F
E
G
C
图丙
F
G
A
C
B
D
E。