专题16 不等式（组）
阅读与思考
客观世界与实际生活既存在许多相等关系，又包含大量的不等关系，方程（组）是研究相等关系的重要手段，不等式（组）是探求不等关系的基本工具，方程与不等式既有相似点，又有不同之处，主要体现在：
1. 解一元一次不等式与解一元一次方程类似，但解题时要注意两者之间的重要区别；等式两边都乘（或除）以同一个数时，只要考虑这个数是否为零，而不等式两边都乘以（或除以）同一个数时，不但要考虑这个数是否为零，而且还要考虑这个数的正负性.
2. 解不等式组与解方程组的主要区别是：解方程组时，我们可以对几个方程进行“代入”或“加减”式的加工，但在解不等组时，我们只能对某个不等式进行变形，分别求出每个不等式的解集，然后再求公共部分.通俗地说，解方程组时，可以“统一思想”，而解不等式组时只能“分而治之”.
例题与求解
【例1】已知关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<-+->-+x t x x x 2
35
35
2恰好有5个整数解，则t 的取值范围是（ ）
A 、2116-<<-t
B 、2116-<≤-t
C 、2116-≤<-t
D 、2
116-≤≤-t
(2013 年全国初中数学竞赛广东省试题）
解题思路：把x 的解集用含t 的式子表示，根据题意，结合数轴分析t 的取值范围. 【例2】如果关于x 的不等式7
10
05)2(<
>---x n m x n m 的解集为那么关于x 的不等式)0(≠>m n mx 的解集为 .
（黑龙江省哈尔滨市竞赛试题）
解题思路：从已知条件出发，解关于x 的不等式，求出m ，n 的值或m ，n 的关系. 【例3】已知方程组⎩⎨
⎧=+=-6
2y mx y x 若方程组有非负整数解，求正整数m 的值.
（天津市竞赛试题）
解题思路：解关于x ，y 的方程组，建立关于m 的不等式组，求出m 的取值范围.
【例4】已知三个非负数a ，b ，c 满足3a ＋2b ＋c ＝5和2a ＋b －3c ＝1，若m ＝3a ＋b －7c ，求m 的最大 值和最小值.
（江苏省竞赛试题）
解题思路：本例综合了方程组、不等式（组）的知识，解题的关键是用含一个字母的代数式表示m ，通过解不等式组，确定这个字母的取值范围，在约束条件下，求m 的最大值与最小值.
【例6】设765,4321,,,,,x x x x x x x 是自然数，7654321x x x x x x x <<<<<<，
6
54543432321,,,x x x x x x x x x x x x =+=+=+=+，
2010,7654321765=++++++=+x x x x x x x x x x 又，求321x x x ++的最大值.
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：代入消元，利用不等式和取整的作用，寻找解题突破口.
【例6】已知实数a ，b 满足,10,41≤-≤≤+≤b a b a 且a －2b 有最大值，求8a ＋2003b 的值. 解题思路：解法一：已知a －b 的范围，需知－b 的范围，即可知a －2b 的最大值得情形. 解法二：设a －2b ＝m （a ＋b ）＋n （a －b )＝（m ＋n )a ＋（m －n )b
能力训练
A 级
1、已知关于x 的不等式
4
3
21432≥-≤+x mx x m 的解集是那么m 的值是 （“希望杯”邀请赛试题）
2、不等式组⎩
⎨
⎧<->+5242b x a x 的解集是
20<<x ，那么a ＋b 的值为
（湖北省武汉市竞赛试题）
3、若a ＋b ＜0，ab ＜0，a ＜b ，则b b a a --,,,的大小关系用不等式表示为
（湖北省武汉市竞赛试题）
4、若方程组⎩⎨
⎧+=++=+3
6542m y x m y x 的解x ，y 都是正数，则m 的取值范围 是 （河南省中考试题）
5、关于x 的不等式x a ax +>+33的解集为3-<x ，则a 应满足（ ） A 、a ＞1 B 、a ＜1 C 、1≥a D 、1≤a
(2013年全国初中数学竞赛预赛试题） 6、适合不等式21414312-≥+->-x x x 的x 的取值的范围是（ ）
7、已知不等式0)2)(1(>+-x mx 的解集23-<<-x 那么m 等于（ ）
A 、
31 B 、3
1
- C 、3 D 、－3 8、已知0≠a ，下面给出4个结论：①012
>+a ；②012
<-a ；③1112>+
a ④11
12
<-a ，其中，一定成立的结论有（ ）
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
（江苏省竞赛试题）
9、当k 为何整数值时，方程组 ⎩⎨
⎧-=-=+k
y x y x 3962有正整数解？
（天津市竞赛试题）
10、如果⎩⎨
⎧==2
1y x 是关于x ，y 的方程
08)12(2=+-+-+by ax by ax 的解，求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+<-+>
-3
31413x ax b
x a x 的解集
11、已知关于x 的不等式组⎪⎩
⎪⎨⎧<≥-20
3b x a x 的整数解有且仅有4个：－1，0，1，2那么，适合这个不等式组的所有可能的整数对（a ，b ）共有多少个？
（江苏省竞赛试题）
B 级
1、如果关于x 的不等式03≥+ax 的正整数解为1，2，3那么a 的取值范围是
（北京市”迎春杯“竞赛试题） 2、若不等式组⎩
⎨
⎧-≥-≥+2210x x a x 有解， 则a 的取值范围是___________.
（海南省竞赛试题）
3、已知不等式03≤-a x 只有三个正整数解，那么这时正数a 的取值范围为 .
（”希望杯“邀请赛试题） 4、已知1121<-<-x 则
12
-x
的取值范围为 . (“新知杯”上海市竞赛试题）
5、若正数a ，b ，c 满足不等式组 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<+<<+<<+<b c a b a c b a c b a c 4112
53523
2611
，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）
A 、a ＜b ＜c
B 、 b ＜c ＜a
C 、c ＜a ＜b
D 、不确定
（“祖冲之杯”邀请赛试题） 6、一共（ ）个整数x 适合不等式99992000≤+-x x
A 、10000
B 、20000
C 、9999
D 、80000
（五羊杯“竞赛试题）
7、已知m ，n 是整数，3m ＋2＝5n ＋3，且3m ＋2＞30，5n ＋3＜40，则mn 的值是（ ） A 、70 B 、72 C 、77 D 、84 8、不等式5+>x x 的解集为（ ） A 、25<
x B 、25>x C 、25-<x D 、2
5->x （山东省竞赛试题）
9、31,2
351312++---≥--x x x
x x 求已知
的最大值和最小值. （北京市”迎春杯”竞赛试题）
10、已知x ，y ，z 是三个非负有理数，且满足3x ＋2y ＋z ＝5，x ＋y －z ＝2，若s ＝2x ＋y －z ，求s 的取值范围.
（天津市竞赛试题）
11、求满足下列条件的最小正整数n ，对于n 存在正整数k 使13
7158<+<k n n 成立.
12、已知正整数a ，b ，c 满足a ＜b ＜c ，且11
11=++c
b a ，试求a ，b ，
c 的值.。