复合函数的定义域和值
域
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如果y是u的函数,记为,u又是x函数,记为,且g(x)的值域与f(u)的定义域的交集不空,则确定了一个y关于x的函数,这就是函数的复合函数,而称为外函数,称为内函数。
本文举例
介绍复合函数问题的一些常见类型及解法。
1.求复合函数的定义域
关键是正确分析函数的复合层次,由里向外或由外向里逐层解决。
例1已知f(x)的定义域为[0,1)若,则函数的定义域是
________。
解析由
故函数的定义域为。
例2已知函数f(x)的定义域为(1,3],求函数的定义域(a>0)。
解析由
由a>0,而知只有当0<a<1时,不等式线才有解,解集为;否则,不等式组的解集为空集,这说明仅当o<a<1时,g(x)才能是x的函数,且其定义域为。
2.求复合函数的值域
关键是由里向外,逐层解决。
例3函数的值域是()
(A)(B)[0,4]
(C)(D)
解析函数是由函数与y=lgu复合而成的。
由
知,由y=lgu知,,故所给函数的值域为,应该选C。
例4求函数的值域。
解析函数是由函数复合而成的。
由u的定义域得:。
由,或y>1,故所给函
数的值域为。
3.求复合函数的奇偶性
(1)若内函数为偶函数,那么复合函数的奇偶性与外函数无关,必为偶函数;
(2)若内与外函数都为奇函数,那么复合函数也是奇函数;
(3)若内函数为奇函数,外函数为偶函数,那么复合函数必为偶函数。
除以上类型外,其它类复合函数的奇偶性和须严格按函数奇偶性定义来判断。
例5判断下列函数的奇偶性。
解析(1)由于内函数为偶函数,据以上结论知f(x)必为偶函数。
解析(2)由于内函数为偶函数,虽外函数是非奇非偶函数,但f(x)仍为偶函数。
例6若f(x)为奇函数,试判断函数的奇偶性。
解析根据以上结论,由于内函数和外函数f(u)都为奇函数,故函数必为奇函数。
例7已知,试判断函数f(x)的奇偶性。
解析由于内函数非奇非偶,外函数也非奇偶性,这时,f(x)
的定义域为(-1,1),又所以,函数f(x)为奇函数。