h1 h2 h3
k1 l1 k 2 l2 ＝0，则三个晶轴同属一个晶带 则三个晶面同属一个晶带 k3 l3
（6）晶面间距
两相邻近平行晶面间的垂直距离 —晶面间距，用dhkl表示
从原点作（h k l）晶面的法线， 则法线被最近的（h k l）面所交 截的距离
1 直角坐标系dhkl＝ h 2 k 2 l 2 （ ） ＋（ ） ＋（ ） a b c
六方 Hexagonal a1=a2＝a3≠c，α=β＝90º ， γ=120º 菱方 Rhombohedral a=b=c, α=β=γ≠90º 四方（正方）Tetragonal a=b≠c, α=β=γ＝90º
布拉菲点阵
简单三斜
布拉菲点阵
简单六方
单斜 Monoclinic a≠b≠c， α=γ=90º≠β
简单单斜 底心单斜
简单菱方
简单四方 体心四方 简单立方 体心立方 面心立方
正交 a≠b≠c，α=β=γ＝ 90º
简单正交 底心正交 体心正交 面心正交
立方 Cubic a=b=c， α=β=γ＝90º
简单三斜
简单单斜
底心单斜
简单正交
体心正交
底心正交
面心正交
简单六方
简单菱方
简单四方
体心四方
简单立方
Ⅰ)选取的平行六面体应与宏观晶体 具有同样的对称性； Ⅱ）平行六面体内的棱和角相等的数 目应最多； Ⅲ）当平行六面体的棱角存在直角 时，直角的数目应最多； Ⅳ）在满足上条件，晶胞应具有最小 的体积。
⎧ a,b,c 棱边长（点阵常数） 描述晶胞 ⎨ 或用点阵矢量a,b,c ⎩ α,β,γ晶轴间的夹角
体心立方点阵
面心立方点阵
密排六方点阵
三种典型金属结构的晶体学特点
晶胞中的原子数
Nc + N=Ni + 2 8
点阵常数：a，c 原子半径： R 配位数：晶体界结构中任一原子周围 最近邻且等距离的原子数 轴比：c/a 致密度：晶体结构中原子体积占总体积的百分比 致密度
4 n π R3 nv K= = 3 V V
体心立方
面心立方
体心立方和面心立方晶胞的不同取法
（a）
（b）
（c）
（4）晶体结构与空间点阵 晶体结构与空间点阵的区别：
空间点阵是晶体中质点的 几何学抽象，用以描述和 分析晶体结构的周期性和 对称性，由于各点阵的周 围环境相同，只有14种。 晶体是指晶体中实际质点 （原子、离子和分子）的 具体排列情况，它们能组 成各种类型的排列，因此， 实际存在的晶体结构是无 a 1 限的。 a3 a2
三指数系统
→
四指数系统 four－index system
three－index system
（h k l）
（h k i l） i＝（h＋k）
[U V W] [u v t w] U = u - t, V = v - t, W = w 1 1 u = [2U - V], v = [2V - U], t = -(u + v), w = W 3 3
α − Fe
BCC
910°C
γ − Fe
FCC
1400°C
δ − Fe
BCC
1540°C
Liquid
1.032 1.028 1.024
L /L0
线膨胀系数
1.020 1.016 1.012 1.008 1.004 1.000 0.995 -273 0 400 温度 800 1200 1600 2000
(1 1 0)
三坐标系 a1，a2，c
120°
四轴坐标系 a1，a2，a3，c 120° (0001)
120°
c
(1100)
(100)
c
四轴坐标系： (1100), (1010) 等
a3
b a
[100]
a2 a1
(1120)
[110]
三轴坐标系
四轴坐标系
（h k i l ) [u v t w]
i= -( h+k ) t= -( u+v )
1
B’
2 1 2
1
2
1 2 1
1
B’
2
1 2 1
1 2 2 1
1
2
1
2
1
2 2 1
1
2
1
2
1
2
1
B (a) 滑动面
B (b)
1 2
1 3
3 2 1 1
螺旋轴
点群（point group）—晶体中所有点元素的集合 根据晶体外形对称性，共有32种点群
空间群（space group）—晶体中原子组合所有可能方式
*指数看特征，正负看走向
（3）晶面指数
求法： 1）在所求晶面外取晶胞的某一顶点为原点o，三棱边为三坐标 轴x，y，z 2）以棱边长a为单位，量出待定晶面在三个坐标轴上的截距； 3）取截距之倒数，并化为最小整数h，k，l并加以圆括号 z （h k l）即是。 Oa1＝1/2a Ob1=1/3b
a1
c1
第二章 固体结构
⎧ ⎪ ⎪气态（gas state） ⎪ 物质（substance） ⎨液态（liquid state） ⎪ ⎧晶体（crystal） ⎪固态（solid state） ⎨ ⎪ ⎩非晶体（amorphous solid） ⎩
金的AFM 照片
一.晶体学基础
晶体结构的基本特征： 原子（或分子、离子）在三 维空间呈周期性重复排列。即存 在长程有序。 性能上两大特点： （1） 固定的熔点；（2） 各 向异性
立方晶系 d hkl＝
a h 2＋k 2＋l2
1
六方晶系 dhkl＝
4 h2＋hk＋k 2 l 2 （ ）＋（ ） 2 3 a c
上述公式仅适用于简单晶胞,对于复杂晶胞则要考虑附加面的影响 立方晶系： fcc 当（hkl）不为全奇、偶数时，有附加面： 1 a d hkl＝ ，如{1 0 0},{1 1 0} 2 2 2 2 h ＋k ＋l bcc 当h＋k＋l＝奇数时，有附加面：如{1 0 0},{1 1 1} 六方晶系
晶体间隙（Interstice）
fcc，hcp 间隙为正多面体，且八面体和四面体间隙相互独立 bcc 间隙不是正多面体，四面体间隙包含于八面体间隙之中
溶质 多面体分散 ⎯⎯⎯ → 不对称点阵畸变
2.2.3 多晶型性
有些固态金属在不同的温度和压力下具有不同的晶 体结构即具有多晶型性，转变的产物称为同素异构体。 由于不同晶体结构的致密度不同，当金属由一种晶体结 构变为另一种晶体结构时，将伴随有质量体积的跃变即 体积的突变
α
γ
δ
/℃
纯铁加热时的膨胀系数
2.3 合金相结构
合金: 是指由两种或两种以上的金属或金属与非金属经熔炼、 烧结或其他方法组合而成并具有金属特性的物质。 组元: 组成合金的基本的独立的物质。组元可以是金属和非金 属元素，也可以是化合物。 相：合金中具有同一聚集状态、同一晶体结构和性质并以界 面相互隔开的均匀组成部分。 固溶体：以某一组元为溶剂，在其晶体点阵中溶入其他组元 原子（溶剂原子）所形成的均匀混合的固态溶体，它保持着 溶剂的晶体结构类型。 影响合金相性质的主要因素：（1）电化学因素；（2）原子 尺寸因素；（3）电子浓度因素
Nf
晶体的原子堆垛方式和间隙
三种晶体结构中的原子的密排面和密排方向 fcc：{1 1 1} <110> ABCABCABC······ bcc：{110} <111> hcp: {0001} <1120> ABABABAB······
两种三层堆叠方式
ABA: 第三层位于第一层 正上方
ABC: 第三层位于一二层间隙
阵点 ruvw = ua+vb+wc
体积V＝a ⋅(b×c)
简单晶胞（初级晶胞）： 只有在平行六面体每个 顶角上一阵点 复杂晶胞： 除在顶角外，在体心、 面心或底心上有阵点
晶胞坐标及晶胞参数
（3）晶系与布拉菲点阵 七个晶系，14个布拉菲点阵 晶系
三斜Triclinic a≠b≠c ，α≠β≠γ
A. Bravais (1811–1863) French physicist 晶系
c
o
b1
a x
b
y
Oc1=2/3c
{110} = (110) + ( 1 10) + (101) + (10 1 ) + (011) + (0 1 1)
{111} = (111) + ( 1 11) + (1 1 1) + (11 1 )
（4）六方晶系指数
三轴坐标系： (100), (010), (110), (100), (010), (110)
c
βα b a γ
1.晶体的空间点阵
（1）空间点阵的概念 将晶体中原子或原子团抽象为纯几何点（阵点） 即可得到一个由无数几何点在三维空间排列成规则的阵列 —空间点阵 特征：每个阵点在空间分布必须具有完全相同的周围环境
+
分子 单元
=
点阵
实际晶体
（2）晶胞 晶胞：代表性的基本单元 （最小平行六面体） 选取晶胞的原则：
（5）晶带
所有相交于某一晶向直线或平行于此直线的晶面构成一 个 “晶带”。此直线称为晶带轴，所有的这些晶面都称为共带 面。晶带轴[u v w]与该晶带的晶面（h k l）之间存在以下关 系 hu ＋ kv ＋ lw＝0 ————晶带定律 凡满足此关系的晶面都属于以[u v w]为晶带轴的晶带
u1 u2 u3 v1 v2 v3 w1 w 2 ＝0，则三个晶轴同在一个晶面上 w3
对称性——晶体的基本性质 对称元素（symmetry elements）