第1讲 导数概念运算和几何意义[基础回顾]1.函数y =f (x )在x =x 0处的导数(1)定义:称函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率0lim x ∆→f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx =0lim x ∆→ ΔyΔx 为函数y =f (x )在x =x 0处的导数,记作f ′(x 0)或y ′|x =x 0,即f ′(x 0)=0limx ∆→ΔyΔx =0lim x ∆→f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx 。
(2)几何意义:函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y =f (x )上点(x 0,f (x 0))处的切线的斜率.相应地,切线方程为y -y 0=f ′(x 0)(x -x 0). 2.函数y =f (x )的导函数如果函数y =f (x )在开区间(a ,b )内的每一点处都有导数,其导数值在(a ,b )内构成一个新函数,函数f ′(x )=lim Δx →0 f (x +Δx )-f (x )Δx称为函数y =f (x )在开区间内的导函数.3.导数公式表4.导数的运算法则 若f ′(x ),g ′(x )存在,则有: (1)[f (x )±g (x )]′=f ′(x )±g ′(x ); (2)[f (x )·g (x )]′=f ′(x )g (x )+f (x )g ′(x ); (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′=f ′(x )g (x )-f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0). 5.复合函数的导数复合函数y =f (g (x ))的导数和函数y =f (u ),u =g (x )的导数间的关系为y x ′=y u ′·u x ′.[完美题型展现]题型一 导数的运算【玩转角度1】 根据求导法则求函数的导数 例1 分别求下列函数的导数: (1)y =e x ln x ; (2)y =cos x e x ;(3)f (x )=ln1+2x .【解析】(1)y ′=(e x)′ln x +e x(ln x )′=e xln x +e x x =e x ⎝⎛⎭⎫ln x +1x . (2)因为 y ′=⎝⎛⎭⎫cos x e x′=(cos x )′e x-cos x (e x)′(e x )2=-sin x +cos x e x . (3)因为y =ln1+2x =12ln ()1+2x ,所以y ′=12·11+2x ·(1+2x )′=11+2x .【玩转角度2】 抽象函数的导数计算例2 (2020·天津河西区调研)已知函数f (x )的导函数是f ′(x ),且满足f (x )=2xf ′(1)+ln 1x ,则f (1)=( ) A.-eB.2C.-2D.e【解析】 由已知得f ′(x )=2f ′(1)-1x ,令x =1得f ′(1)=2f ′(1)-1,解得f ′(1)=1,则f (1)=2f ′(1)=2.[题型特训]1.求下列函数的导数. (1)y =cos x -sin x ;(2)y =(x +1)(x +2)(x +3); (3)y =ln x x 2+1.解:(1)y ′=(cos x )′-(sin x )′=-sin x -cos x . (2)∵y =(x +1)(x +2)(x +3)=(x 2+3x +2)(x +3) =x 3+6x 2+11x +6,∴y ′=3x 2+12x +11.(3)y ′=(ln x )′(x 2+1)-ln x (x 2+1)′(x 2+1)2=1x(x 2+1)-2x ·ln x(x 2+1)2=x 2(1-2ln x )+1x (x 2+1)2.2.(2020·南昌模拟)已知函数f (x )=f ′⎝⎛⎭⎫π4cos x +sin x ,则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________.解析:因为f (x )=f ′⎝⎛⎭⎫π4cos x +sin x ,所以f ′(x )=-f ′⎝⎛⎭⎫π4sin x +cos x ,故f ′⎝⎛⎭⎫π4=-f ′⎝⎛⎭⎫π4sin π4+cos π4,得f ′⎝⎛⎭⎫π4=2-1.所以f ⎝⎛⎭⎫π4=(2-1)·cos π4+sin π4=1.答案:1题型二 导数的几何意义【玩转角度1】 导数求切线方程(两类)例3 (1)(2018·全国Ⅰ卷)设函数f (x )=x 3+(a -1)x 2+ax .若f (x )为奇函数,则曲线y =f (x )在点(0,0)处的切线方程为( ) A.y =-2x B.y =-x C.y =2xD.y =x解析 因为函数f (x )=x 3+(a -1)x 2+ax 为奇函数,所以a -1=0,则a =1,所以f (x )=x 3+x ,所以f ′(x )=3x 2+1,所以f ′(0)=1,所以曲线y =f (x )在点(0,0)处的切线方程为y =x . 答案 D(2)(2019·湖北百所重点高中联考)已知函数f (x )=x ln x ,若直线l 过点(0,-1),并且与曲线y =f (x )相切,则直线l 的方程为 . 答案 x -y -1=0解析 ∵点(0,-1)不在曲线f (x )=x ln x 上,∴设切点为(x 0,y 0).又∵f ′(x )=1+ln x , ∴直线l 的方程为y +1=(1+ln x 0)x .∴由⎩⎪⎨⎪⎧y 0=x 0ln x 0,y 0+1=(1+ln x 0)x 0,解得x 0=1,y 0=0.∴直线l 的方程为y =x -1,即x -y -1=0. 【玩转角度2】 导数求切点坐标例4(1)(2019·聊城月考)已知曲线y =x 24-3ln x 的一条切线的斜率为12,则切点的横坐标为( ) A.3B.2C.1D.12(2)设曲线y =e x 在点(0,1)处的切线与曲线y =1x (x >0)上点P 处的切线垂直,则P 的坐标为________.【解析】 (1)设切点的横坐标为x 0(x 0>0), ∵曲线y =x 24-3ln x 的一条切线的斜率为12,∴y ′=x 2-3x ,即x 02-3x 0=12,解得x 0=3或x 0=-2(舍去,不符合题意),即切点的横坐标为3. (2)∵函数y =e x 的导函数为y ′=e x ,∴曲线y =e x 在点(0,1)处的切线的斜率k 1=e 0=1.设P (x 0,y 0)(x 0>0),∵函数y =1x 的导函数为y ′=-1x 2,∴曲线y =1x (x >0)在点P 处的切线的斜率k 2=-1x 20,由题意知k 1k 2=-1,即1·⎝⎛⎭⎫-1x 20=-1,解得x 20=1,又x 0>0,∴x 0=1. 又∵点P 在曲线y =1x (x >0)上,∴y 0=1,故点P 的坐标为(1,1).【玩转角度3】 求参数的值或取值范围例5 (1)函数f (x )=ln x +ax 的图象存在与直线2x -y =0平行的切线,则实数a 的取值范围是( ) A.(-∞,2] B.(-∞,2) C.(2,+∞)D.(0,+∞)(2)(2019·河南六市联考)已知曲线f (x )=x +ax +b (x ≠0)在点(1,f (1))处的切线方程为y =2x +5,则a -b =________.【解析】 (1)由题意知f ′(x )=2在(0,+∞)上有解. ∴f ′(x )=1x +a =2在(0,+∞)上有解,则a =2-1x .因为x >0,所以2-1x <2,所以a 的取值范围是(-∞,2).(2)f ′(x )=1-ax2,∴f ′(1)=1-a ,又f (1)=1+a +b ,∴曲线在(1,f (1))处的切线方程为y -(1+a +b )=(1-a )(x -1),即y =(1-a )x +2a +b ,根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧1-a =2,2a +b =5,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-1,b =7,∴a -b =-1-7=-8. 【玩转角度4】 公切线求法例6 (2016全国卷)若直线y =kx +b 是曲线y =ln x +2的切线,也是曲线y =ln(x +1)的切线,则b =________.解析:直线y =kx +b 与曲线y =ln x +2,y =ln(x +1)均相切,设切点分别为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由y =ln x +2得y ′=1x ,由y =ln(x +1)得y ′=1x +1,∴k =1x 1=1x 2+1,∴x 1=1k ,x 2=1k-1,∴y 1=-ln k +2,y 2=-ln k .即A ⎝⎛⎭⎫1k ,-ln k +2, B ⎝⎛⎭⎫1k -1,-ln k ,∵A 、B 在直线y =kx +b 上, ∴⎩⎨⎧2-ln k =k ·1k+b ,-ln k =k ·⎝⎛⎭⎫1k -1+b⇒⎩⎪⎨⎪⎧b =1-ln 2,k =2.答案:1-ln 2【玩转角度5】 与切线有关的距离最值问题 例7 已知,x y ∈R ,则()222x y x y ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的最小值为 .解: 构造函数1y x =,22y x =-,则(),x x 与2,y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭两点分别在两个函数图象上,故所求看成两点(),x x 与2,y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭之间的距离平方,令222080222y x m x mx m m y x =+⎧⎪⇒++=⇒∆=-=⇒=⎨=-⎪⎩,所以22y x =+是与1y x =平行的22y x=-的切线,故最小距离为2d =所以()222x y x y ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的最小值为4[题型特训]1.(2020·衡阳模拟)曲线f (x )=x 2+a x +1在点(1,f (1))处切线的倾斜角为3π4,则实数a =( )A .1B .-1C .7D .-7解析:选C.f ′(x )=2x (x +1)-(x 2+a )(x +1)2=x 2+2x -a(x +1)2,又∵f ′(1)=tan 3π4=-1,∴a =7.2.若曲线f (x )=a cos x 与曲线g (x )=x 2+bx +1在交点(0,m )处有公切线,则a +b =( ) A .-1 B .0 C .1D .2解析:选C.依题意得,f ′(x )=-a sin x ,g ′(x )=2x +b , 于是有f ′(0)=g ′(0),即-a sin 0=2×0+b ,b =0, m =f (0)=g (0),即m =a =1,因此a +b =1.3.(2018·江西南昌二中月考)已知曲线f (x )=ln x 的切线经过原点,则此切线的斜率为( ) A .eB .-e玩 转 秘 籍处理与切线有关的参数问题,通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数:①切点处的导数是切线的斜率;②切点在切线上;③切点在曲线上..C.1eD .-1e解析:选C.解法一:∵f (x )=ln x ,∴x ∈(0,+∞),f ′(x )=1x .设切点P (x 0,ln x 0),则切线的斜率k =f ′(x 0)=1x 0=ln x 0x 0,∴ln x 0=1,x 0=e ,∴k =1x 0=1e .解法二:(数形结合法)在同一坐标系中作出曲线f (x )=ln x 及曲线f (x )=ln x 经过原点的切线,如图所示,数形结合可知,切线的斜率为正,且小于1,故选C.4.(2018·江西新余质检)已知f (x )=ln x ,g (x )=12x 2+mx +72(m <0),直线l 与函数f (x ),g (x )的图象都相切,且与f (x )图象的切点为(1,f (1)),则m 的值为( ) A .-1 B .-3 C .-4D .-2解析:选D.∵f ′(x )=1x ,∴直线l 的斜率k =f ′(1)=1.又f (1)=0,∴直线l 的方程为y =x -1.g ′(x )=x +m ,设直线l 与g (x )图象的切点为(x 0,y 0),则⎩⎪⎨⎪⎧x 0+m =1,y 0=x 0-1,y 0=12x 2+mx 0+72(m <0),∴-m =12(1-m )2+m (1-m )+72,得m =-2,故选D.5.函数g (x )=ln x 图象上一点P 到直线y =x 的最短距离为________.【解析】 设点(x 0,ln x 0)是曲线g (x )=ln x 的切线中与直线y =x 平行的直线的切点,因为g ′(x )=(ln x )′=1x ,则1=1x 0,∴x 0=1,则切点坐标为(1,0),∴最短距离为(1,0)到直线y =x 的距离, 即为|1-0|1+1=22. [特训作业]1.下列求导数的运算中错误的是( ) A.(3x )′=3x ln 3 B.(x 2ln x )′=2x ln x +x C.⎝⎛⎭⎫cos x x ′=x sin x -cos x x 2 D.(sin x ·cos x )′=cos 2x【答案】 C【解析】 因为⎝⎛⎭⎫cos x x ′=-x sin x -cos xx 2,C 项错误. 2.(2019·日照质检)已知f (x )=x ln x ,若f ′(x 0)=2,则x 0等于( ) A.e 2 B.eC.ln 22D.ln 2【答案】 B【解析】f (x )的定义域为(0,+∞),f ′(x )=ln x +1,由f ′(x 0)=2,即ln x 0+1=2,解得x 0=e. 3.(2019·南阳一模)函数f (x )=x -g (x )的图象在点x =2处的切线方程是y =-x -1,则g (2)+g ′(2)=( ) A.7 B.4C.0D.-4【答案】 A【解析】 ∵f (x )=x -g (x ),∴f ′(x )=1-g ′(x ),又由题意知f (2)=-3,f ′(2)=-1, ∴g (2)+g ′(2)=2-f (2)+1-f ′(2)=7.4.已知e 为自然对数的底数,曲线y =a e x +x 在点(1,a e +1)处的切线与直线2e x -y -1=0平行,则实数a =( ) A.e -1eB.2e -1eC.e -12eD.2e -12e【答案】 B【解析】 ∵y ′=a e x +1,∴在点(1,a e +1)处的切线的斜率为y ′|x =1=a e +1,又切线与直线2e x -y -1=0平行, ∴a e +1=2e ,解得a =2e -1e.5.如图所示为函数y =f (x ),y =g (x )的导函数的图象,那么y =f (x ),y =g (x )的图象可能是( )【答案】 D【解析】 由y =f ′(x )的图象知,y =f ′(x )在(0,+∞)上是单调递减的,说明函数y =f (x )的切线的斜率在(0,+∞)上也是单调递减的,故可排除A ,C ;又由图象知y =f ′(x )与y =g ′(x )的图象在x =x 0处相交,说明y =f (x )与y =g (x )的图象在x =x 0处的切线的斜率相同,故可排除B.故选D.6.(2019·广州调研)已知直线y =kx -2与曲线y =x ln x 相切,则实数k 的值为( ) A.ln 2 B.1 C.1-ln 2D.1+ln 2【答案】 D【解析】 由y =x ln x 得y ′=ln x +1,设切点为(x 0,y 0),则k =ln x 0+1,∵切点(x 0,y 0)(x 0>0)既在曲线y =x ln x 上又在直线y =kx -2上,∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0=kx 0-2,y 0=x 0ln x 0,∴kx 0-2=x 0ln x 0,∴k =ln x 0+2x 0,则ln x 0+2x 0=ln x 0+1,∴x 0=2,∴k =ln 2+1. 7.已知曲线f (x )=2x 2+1在点M (x 0,f (x 0))处的瞬时变化率为-8,则点M 的坐标为________. 【答案】 (-2,9)【解析】 由题意得f ′(x )=4x ,令4x 0=-8,则x 0=-2, ∴f (x 0)=9,∴点M 的坐标是(-2,9).8.(2017·天津卷)已知a ∈R ,设函数f (x )=ax -ln x 的图象在点(1,f (1))处的切线为l ,则l 在y 轴上的截距为________. 【答案】 1【解析】 f (1)=a ,切点为(1,a ).f ′(x )=a -1x ,则切线的斜率为f ′(1)=a -1,切线方程为:y-a =(a -1)(x -1),令x =0得出y =1,故l 在y 轴上的截距为1.9.已知函数f (x )的导函数为f ′(x ),且满足关系式f (x )=x 2+3xf ′(2)+ln x ,则f ′(2)=________.【答案】 -94【解析】 因为f (x )=x 2+3xf ′(2)+ln x , 所以f ′(x )=2x +3f ′(2)+1x,所以f ′(2)=4+3f ′(2)+12=3f ′(2)+92,所以f ′(2)=-94.10.已知函数y =f (x )的图象在点(2,f (2))处的切线方程为y =2x -1,则曲线g (x )=x 2+f (x )在点(2,g (2))处的切线方程为________________. 【答案】 6x -y -5=0【解析】 由题意,知f (2)=2×2-1=3,∴g (2)=4+3=7, ∵g ′(x )=2x +f ′(x ),f ′(2)=2,∴g ′(2)=2×2+2=6,∴曲线g (x )=x 2+f (x )在点(2,g (2))处的切线方程为y -7=6(x -2),即6x -y -5=0. 11.(2019·深圳二模)设函数f (x )=x +1x +b ,若曲线y =f (x )在点(a ,f (a ))处的切线经过坐标原点,则ab =( ) A.1 B.0C.-1D.-2【答案】 D【解析】 由题意可得,f (a )=a +1a +b ,f ′(x )=1-1x 2,所以f ′(a )=1-1a 2,故切线方程是y -a -1a -b =⎝⎛⎭⎫1-1a 2(x -a ),将(0,0)代入得-a -1a -b =⎝⎛⎭⎫1-1a 2(-a ),故b =-2a ,故ab =-2.12.已知函数f (x )=|x 3+ax +b |(a ,b ∈R ),若对任意的x 1,x 2∈[0,1],f (x 1)-f (x 2)≤2|x 1-x 2|恒成立,则实数a 的取值范围是________. 【答案】 [-2,-1]【解析】 当x 1=x 2时,f (x 1)-f (x 2)≤2|x 1-x 2|恒成立;当x 1≠x 2时, 由f (x 1)-f (x 2)≤2|x 1-x 2|得f (x 1)-f (x 2)|x 1-x 2|≤2,故函数f (x )在[0,1]上的导函数f ′(x )满足|f ′(x )|≤2,函数y =x 3+ax +b 的导函数为y ′=3x 2+a ,其中[0,1]上的值域为[a ,a +3],则有⎩⎪⎨⎪⎧|a |≤2,|a +3|≤2,解得-2≤a ≤-1.综上所述,实数a 的取值范围为[-2,-1].13.若函数f (x )=12x 2-ax +ln x 存在垂直于y 轴的切线,则实数a 的取值范围是________. 【答案】 [2,+∞)【解析】 ∵f (x )=12x 2-ax +ln x ,定义域为(0,+∞), ∴f ′(x )=x -a +1x. ∵f (x )存在垂直于y 轴的切线,∴f ′(x )存在零点,即x +1x-a =0有解, ∴a =x +1x≥2(当且仅当x =1时取等号).。