江苏省丹徒高级中学、句容实验高中、扬中二中2019-2020学年高一数学下学期期中试题 考试时间：120分钟 试卷总分150分 一．单项选择题（本大题共8小题,每小题5分,共计40分）. 1. 若直线经过(1,0),(4,3)A B -两点，则直线AB 的倾斜角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 2. 复数1i -的虚部为( ) A ．1 B ． -1 C ．i D ．i - 3. 已知向量()()1,2,3,1a b ==-,则2a b -等于( ) A.(5,3) B.(5,1) C.(-1,3) D.(-5,-3) 4. 如图，已知向量,,a b c ，那么下列结论正确的是（ ） A ．a b c += B ．a b c -=- C ．a b c +=- D ．b c a += 5. 在△ABC 中，a ＝2，b ＝2，B ＝6π，则角A 为( ) A ．4π B ．3π C ．34π D ．4π或34π 6. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，则△ABC 的形状为（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形 7. 在边长为2的正方形ABCD 中，E,F 分别为BC 和DC 的中点，则（ ） A ．52 B ． 52- C ．4 D ．4 8. 在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，3,ABC S ∆= 求2sin 2sin sin a b cA B C ++++=( )A ．3B ． 43C ．2D ．239二．多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.漏选得3分，错选不得分）.9. 在下列四个命题中，错误的有（ ） h5 0 ．A ．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率[]B ．直线的倾斜角的取值范围是[0，]πC ．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率D ．直线y ＝3x ﹣2 在y 轴上的截距为210. 已知复数12i z i=-，则以下说法正确的是（ ） A ．复数z 的虚部为5i B ．z 的共轭复数255i z =-C ．||z =D ．在复平面内与z 对应的点在第二象限11. 对于ABC ∆，有如下判断，其中正确的判断是（ ）A ．若AB >，则sin sin A B >B ．若sin 2sin 2A B =，则ABC ∆为等腰三角形C ．若222sin sin sin A B C +<，则ABC ∆是钝角三角形D ． 若8a =，10c =，60B ︒=，则符合条件的ABC ∆有两个12. 在△ABC 中，下列结论正确的是( )A.AB AC CB -=;B.0AB BC CA ++=;C. 若0AB AC •>,则△ABC 是锐角三角形D. 若()()0AB AC AB AC +•-=,则△ABC 是等腰三角形;三．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13. 直线l 过点M (1，－2)，倾斜角为60°.则直线l 的斜截式方程为______________14. 如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D .现测得15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒，CD =，并在点C 测得塔顶A 的仰角为30，则塔高AB =15. 已知向量()1,3a =，()2,1b λ=+，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________.16. 在△ABC 中，D 为边BC 的中点，4AB =,2AC =, 30BAD ∠=，则AD = ．四．解答题（本大题共6小题，共计70分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17. 已知复数1z 2ai =+（其中a R ∈且a 0,i >为虚数单位），且21z 为纯虚数．（1）求实数a 的值；（2）若1z z 1i=-，求复数z 的模z ．18. 已知平面向量a ＝(1，x)，b ＝(2x ＋3，－x)，x ∈R.(1)若a ⊥b ，求x 的值；(2)若a ∥b ，求|a －b |的值．19. 已知a ，b ，c 分别是ABC ∆中角A ，B ，C 的对边，且sin 3cos c B b C =.（1）求角C 的大小；（2）若3c =，sin 2sin A B =，求ABC ∆的面积ABC S ∆.20. 如图，已知正三角形ABC 的边长为1，设AB a =，AC b =.（1）若D 是AB 的中点，用,a b 分别表示向量CB ，CD ；（2）求2a b +；（3）求2a b +与32a b -+的夹角.21. 已知直线l 过点P （3，4）(1)它在y 轴上的截距是在x 轴上截距的2倍，求直线l 的方程.(2)若直线l 与x 轴，y 轴的正半轴分别交于点,A B ，求△AOB 的面积的最小值.22. 如图，在ABC ∆中，2ABC π∠=，3ACB π∠=，1BC =.P 是ABC ∆内一点，且2BPC π∠=.（1）若6ABP π∠=，求线段AP 的长度；（2）若23APB ∠=π，求ABP ∆的面积.高一下学期数学期中试卷参考答案1.D2.B3.A4.C5.D6.B7. C8.D9.BCD 10.CD 11.AC 12.ABD13. 2y =- 14.20 15.555,,33⎛⎫⎛⎫---+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭17. （1）()2221244z ai a ai =+=-+, ……………………………………………………………2分因为21z 为纯虚数，所以24000a a a ⎧-=⎪≠⎨⎪>⎩，解得：2a =． …………………………………………………5分（2）122z i =+，()()()()22122421112i i i i z i i i i +++====--+，………………………………………8分2z =．…………………………………………………10分18. (1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，………………… 3分整理得x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3. …………………………………5分(2)若a ∥b ，则有1×(－x)－x(2x ＋3)＝0，即x(2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2. ……………………………7分当x ＝0时，a ＝(1，0)，b ＝(3，0)，a －b ＝(－2，0)，∴|a －b |2；………………………………………… 9分当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1，2)，a －b ＝(2，－4)，∴|a －b |11分综上，可知|a －b |＝2或12分19.（1）由sin cos c B C =及正弦定理sin sin b c B C=，………………………2分得sin C C =，所以tan C =，又0C π<<，故3C π=.……………………………………5分（2）由sin 2sin A B =及sin sin a b A B=，得2a b =.………………………………………7分 由3c =及余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得229a b ab =+-.所以a =b =10分故11sin 22ABC S ab C ∆==⨯=.…………………………………………………12分 20（1）CB AB AC a b =-=-，…………………………………………………1分 11.22CD AD AC AB AC a b =-=-=- ………………………………3分 （2）由题意知，1a b ==，且0,60a b =， 则2222224444cos ,4217a b a a b b a a b a b b +=+⋅+=++=++=， …………5分 所以2=7.a b + …………………………………………………7分 （3） 与（2）解法相同，可得32=7.a b -+…………………………………………………9分设2a b +与32a b -+的夹角为θ，则()()2272326212cos 277232232a b a b a a b b a b a b a b a b θ-+⋅-+-+⋅+====-⨯+-++-+，…………………11分因为[0,180]θ∈所以2a b +与32a b -+的夹角为0120.…………………………………………………12分(范围不写或写错扣1分)21.（1）①当直线l 过原点时，符合题意，斜率k=，直线方程为，即4x ﹣3y=0；.…………………………………………………2分②当直线l 不过原点时，∵它在y 轴上的截距是在x 轴上截距的2倍，∴可设直线l 的方程为：． ∵直线l 过点P （3，4），∴，解得a=5． ∴直线l 的方程为：，即2x+y ﹣10=0．.………………………………………………5分综上所述，所求直线l 方程为4x ﹣3y=0或2x+y ﹣10=0．.…………………………………6分（2）设直线l 的方程为（a ＞0，b ＞0）， 由直线l 过点P （3，4）得：．.…………………………………8分 ∴，化为ab≥48，当且仅当a=6，b=8时取等号． (10)分∴△AOB 的面积==24，其最小值为24．.…………………………………………………12分22.（1）因为6PBC π∠=，所以在Rt PBC ∆中，2BPC π∠=，1BC =，3PBC π∠=， 所以12PB =．.………………………………………2分 在APB ∆中，6ABP π∠=，12BP =，3AB = 由余弦定理得22211372cos 3234224AP AB BP AB BP PBA =+-⋅⋅∠=+-⋅=，所以72AP =．.…………………………………………………5分 （2）设PBA α∠=，则PCB α∠=，在Rt PBC ∆中，2BPC π∠=，1BC =，PCB α∠=，所以sin PB α=，.……………………………………7分在APB ∆中，ABP α∠=，sin BP α=，AB =23APB π∠=，由正弦定理得sin 2sin sin 33αππα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，. 所以1sin 2α1sin 2αα⎫=-⎪⎪⎝⎭，所以sin αα=， 又22sin cos 1αα+=， 所以23sin 7α=，.…………………………………………………10分 所以1sin 2ABP S AB BP ABP ∆=⋅⋅∠214α==..…………………………………………………12分。