[2011· 内江]同学们，我们曾经研究过 n×n 的正方形网 格，得到了网格中正方形的总数的表达式为 12＋22＋32＋… ＋n2.但 n 为 100 时， 应如何计算正方形的具体个数呢？下面 我们就一起来探究并解决这个问题．首先，通过探究我们已 1 经知道 0×1＋1×2＋2×3＋…＋(n－1)×n＝ n(n＋1)(n－1) 3 时，我们可以这样做：
第2课时
实数的运算
考点管理
1．实数的运算顺序：先算乘方，开方，再算乘除，最后 算加减，有括号的要先算括号内的，若没有括号，在 左至右依次 进行运算． 同一级运算中，要从______________ 绝对值 符号，再进行计 2．遇到绝对值一般要先去掉_________ 算；无论何种运算，都要先确定符号后运算．
2S＝2＋22＋23＋24＋25＋…＋22 013＋22 014.
将下式减去上式，得2S－S＝22 014－1. 即S＝22 014－1.
即1＋2＋22＋23＋24＋…＋22 013＝22 014－1.
请你仿照此法计算： (1)1＋2＋22＋23＋24＋…＋210； (2)1＋3＋32＋33＋34＋…＋3n(其中n为正整数)．
5．[2013· 宿迁]计算：( 2－1)
0Hale Waihona Puke 1－1 －2 ＋2cos60°.
1 解：原式＝1－2＋2× ＝1－2＋1＝0. 2
归类探究
类型之一 实数的运算
[2013· 成都]计算：(－2)2＋|－ 3|＋2sin 60°－ 12.
3 解：原式＝4＋ 3＋2× －2 3＝4. 2
1－1 1．[2013· 广安]计算：2 ＋|1－
类型之二
实数运算的创新应用
a b b 的意义是 c d d
[2012· 张家界]阅读材料：
a 对于任何实数， 我们规定符号 c 1 ＝ad－bc.例如： 3
－2 2 ＝ 1 × 4 － 2 × 3 ＝－ 2 ， 4 3
3 【正解】 原式＝3＋ 3× －2－1＝3＋1－2－1＝1. 3
课时作业
易错警示
3 [2013· 遂宁]计算：|－3|＋ 3·tan30°－ 8－(2 013－π )0.
【错解】 原式＝－3＋ 3× 3－3－0＝－3.
实数的运算有陷阱
【错因】 错在对绝对值的概念、零指数次幂理解错
误，特殊角三角函数值的记忆混淆．
3 |－3|＝3，tan30°＝ ，(2 013－π)0＝1. 3
4 ＝ 5
(－2)×5－4×3＝－22.
5 (1)按照这个规定请你计算 7
6 的值； 8
(2)按照这个规定，请你计算当 x2－4x＋4＝0 时，
x＋1 x－1 2x 的值． 2x－3
【解析】
a (1)根据符号 c
b 的意义进行实数的运算； d
3|－ －8－2sin60°.
3
解：原式＝2＋ 3－1＋2－ 3＝3.
2．[2013· 义乌]计算：(π －3.14)
0
1－1 ＋2 ＋|－2
2|－ 8.
解：原式＝(π－3.14)
0
1－1 ＋2 ＋|－2
2|－2 2
＝1＋2＋2 2－2 2＝3.
【点悟】 (1)在进行实数的混合运算时，首先要明确与 实数有关的概念、性质、运算法则和运算律，要弄清按 怎样的运算顺序进行．中考中常常与绝对值、锐角三角 函数、二次根式结合在一起考查；(2)要注意零指数幂和 1 － 负整数指数幂的意义．负指数的运算 a p＝ap(a≠0，且 p 是正整数)，零指数幂的运算 a0＝1(a≠0)．
2)×3＋…＋[1＋(n—1)]n
＝1＋0×1＋2＋1×2＋3＋2×3＋…＋n＋(n－ 1)×n＝(____________)＋[____________]＝________＋
1 ＝ ×________________． 6
(3)实践应用：
通过以上探究过程，我们就可以算出当n为100时，
正方形网格中正方形的总个数是________． 解：(1＋3)×4
D．(－5)4÷(－5)2＝－52
3． [2013· 锦州]计算： |1－ 3|＋ 12－(3.14－π )
0
1 － 1 －－2 ＝
3 3 ． ______
4． [2013· 福州]计算： (－1)0＋|－4|－ 12.
解：(－1)0＋|－4|－ 12＝1＋4－2 3＝5－2 3.
(1)观察并猜想： 12＋22＝(1＋0)×1＋(1＋1)×2＝1＋0×1＋2＋1×2
＝(1＋2)＋(0×1＋1×2)．
12＋22＋32＝(1＋0)×1＋(1＋1)×2＋(1＋2)×3 ＝1＋0×1＋2＋1×2＋3＋2×3 ＝(1＋2＋3)＋(0×1＋1×2＋2×3)．
12＋22＋32＋42＝(1＋0)×1＋(1＋1)×2＋(1＋2)×3 ＋____________＝(1＋2＋3＋4)＋(_______________)． (2)归纳结论： 12＋22＋32＋…＋n2＝(1＋0)×1＋(1＋1)×2＋(1＋
(2)利用配方法解方程 x2－4x＋4＝0 得 x＝2，然后根据
a 符号 c
b 的意义进行实数的运算． d
5 解：(1) 7
6 ＝5×8－6×7＝－2； 8 4 ＝3×1－4×1＝－1. 1
(2)由 x2－4x＋4＝0 得 x＝2，
x＋1 x－1 2x 3 ＝ 2x－3 1
1 1． [2012· 自贡]若 x 是不等于 1 的实数， 我们把 1－x 1 称为 x 的差倒数，如 2 的差倒数是 ＝－1，－1 的 1－2 1 1 1 差倒数为 ＝ ，现已知 x1＝－ ，x2 是 x1 的 3 1－（－1） 2 差倒数，x3 是 x2 的差倒数，x4 是 x3 的差倒数，…，依 3 4 ． 此类推，则 x2 012＝_______
3．零指数幂，负整数指数幂要防止出现类似下面的错误： 1 1 －2 －2 3 ＝－ ，2a ＝ 2. 9 2a
1．[2013· 南充]计算－2＋3的结果是 A．－5 B．1
(
B )
C．－1
D．5 2．[2013· 广东]下列等式正确的是 A．(－1)－3＝1 B．(－4)0＝1 ( B )
C．(－2)2×(－2)3＝－26
解：(1)设S＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋210， 将等式两边同时乘以2，得2S＝2＋22＋23＋24＋25＋…＋ 210＋211， 将下式减去上式，得2S－S＝211－1，
即S＝211－1，
则1＋2＋22＋23＋24＋…＋210＝211－1； (2)设S＝1＋3＋32＋33＋34＋…＋3n， 两边乘以3，得3S＝3＋32＋33＋34＋35＋…＋3n＋3n＋1， 下式减去上式，得3S－S＝3n＋1－1， 3n＋1－1 即 S＝ ， 2 n＋ 1 3 －1 2 3 4 n 则 1＋3＋3 ＋3 ＋3 ＋…＋3 ＝ . 2
图2－1
【解析】 首先发现奇数的个数与前面的底数相同，
再得出每一组分裂出的第一个数是底数×(底数－1)＋1. 【点悟】 解答此类新概念型问题时，要弄清楚新数 的定义，在新定义下进行运算．
类型之三
实数中的数字规律问题
[2013· 张家界]阅读材料：求1＋2＋22＋23＋24 ＋…＋22 013的值． 解：设S＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋22012＋22 013，将等 式两边同时乘以2，得
4＋3×4
0×1＋1×2＋2×3＋3×4 1＋2＋3＋…＋n 0×1＋1×2＋2×3＋…＋(n－1)×n 1 1 n(n＋1) n(n＋1)(n－1) 2 3 n(n＋1)(2n＋1)
【点悟】 此类实数规律性问题的特点是给定一列数
或等式或图形，要求适当进行运算，必要的观察，猜想， 归纳，验证，利用从特殊到一般的数学思想，分析特点， 探索规律，总结结论．
1 3 【解析】 根据差倒数定义可得： x1＝－ ， x ＝ ， 3 2 4 1 x3＝4， x4 ＝－ ， 很明显， 进入一个三个数的循环数组， 3 3 只要分析 2 012 被 3 整除余 2，即可知道 x2 012＝ . 4
2．[2012· 菏泽]一个自然数的立方，可以分裂为若干 个连续奇数的和，例如：23，33和43分别可以按如图2－1 所示的方式“分裂”为2个，3个和4个连续奇数的和，即23 ＝3＋5；33＝7＋9＋11；43＝13＋15＋17＋19；…；若63 也按照此规律进行“分裂”，则63“分裂”出的奇数中最大 的那个奇数是_______ 41 ．