(高起专)第十章二重积分习题解答(一) 选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选出正确的选项） 1．1220I dy x y dx =⎰，则交换积分次序后得 C 。

（A）1220I dy x y dy =⎰； （B）12203I x y dy =⎰；（C ）2112203x I dx x y dx -=⎰⎰； （D ）2112203x I dx x y dy +=⎰⎰。

2．设积分域为{(,)|11,11}D x y x y =-≤≤-≤≤，则x yDedxdy +=⎰⎰ D. .(A)2)1(-e , (B)21)(2--e e , (C) 42)1(-e , (D) 21)(--e e ;3. 设积分域D 由直线,2,2y x x y x =+==围成，则(,)D f x y dxdy =⎰⎰ C(A)120(,)xxdx f x y dy -⎰⎰, (B) 21(,)yydyf x y dx -⎰⎰, (C) 212(,)xxdx f x y dy -⎰⎰, (D) 1(,)xdx f x y dy ⎰⎰.;4．22x y DI e dxdy --=⎰⎰，D :221x y +≤,化为极坐标形式是 D 。

（A ）221[]r I edr d πθ-=⎰⎰；（B ）21204[]r I e dr d πθ-=⎰⎰；（C ）21202[]r I e rdr d πθ-=⎰⎰；（D ）221[]r I e rdr d πθ-=⎰⎰。

5. 2DI xy d σ=⎰⎰, 其中22:1D x y +≤的第一象限部分,则 C 。

（A）120I dy xy dy =⎰； （B ）1120I dx xy dy =⎰⎰；（C）12I dx dy =⎰；（D ）1232cos sin I d r dr πθθθ=⎰⎰。

填空题1.交换二次积分次序，1(,)xI f x y dy =⎰＝ 。

故211(,)(,)yxy I dx f x y dy dy f x y dx ==⎰⎰⎰2．设积分域D 由11,22,x y -≤≤-≤≤围成，则3(2)Dxy dxdy +=⎰⎰ 03．设积分域为22{(,)|14,}D x y x y y x =≤+≤≥，则积分22()Df x y dxdy +=⎰⎰在极坐标下的二次积分为 。

解52422214()()Df x y d x d y dr f r d rππθ+=⎰⎰⎰⎰。

4．积分224()x y x y dxdy +≤+⎰⎰在极坐标下的二次积分为 。

222224()(cos sin )x y x y dxdy d r dr πθθθ+≤+=+⎰⎰⎰⎰5．二重积分22221()x y x y d σ+≤+=⎰⎰__________ 。

22212231()2x y x y dxdy d r dr ππθ+≤+==⎰⎰⎰⎰6．交换二次积分次序，2200(,)xI dxf x y dy -=⎰⎰＝ 。

故 2222(,)(,).yxI d x f x y d yd yf x y d x--==⎰⎰⎰⎰ （三）解答题 1．计算积分xy Dxe dxdy ⎰⎰，其中D ：01,10≤≤-≤≤y x 。

解 由被积函数可以看出先对y 积分较简单。

110101111|(1)().xy xy xy Dxx xe dxdy xdx e dy e dx e dx x e e -----===-=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰2．计算dxdy xy D⎰⎰2，其中D 是由直线1,==x x y 和x 轴围成的平面区域。

解 由积分区域和被积函数可以看出可以任选积分次序。

解1 先对y 积分1112234510000001111()|333515x x D xy dxdy xdx y dy x y dx x dx x =====⨯⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 解2 先对x 积分11122221001()2y D y xy dxdy y dy xdx y x dy ==⎰⎰⎰⎰⎰ 1122350011111(1)()22325111121().23521515y y dy y y =-=-=-==⎰3．计算dxdy y x D⎰⎰+)cos(，其中D 是由直线π===y x x y ,0,围成的平面区域。

解 由积分区域和被积函数可以看出可以任选积分次序，先对y 积分000cos()cos()sin()|1[sin()sin 2]cos()|cos 2| 2.2xDxx y dxdy dx x y dy x y dxx x dx x x πππππππππ+=+=+=+-=-++=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰4．计算dxdy y D⎰⎰，其中D 是由直线,x y =,0,1==x x 及曲线xe y =围成的平面区域。

解 由积分区域可以看出，先对y 积分较简单。

11122222000111115|().22446412xx e e x x D x e ydxdy dx ydy y dx e x dx e ===-=--=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 5．计算22()Dx y dxdy +⎰⎰，其中D 是由抛物线,2x y =直线0,1==y x 围成的平面区域。

解2211122222346001126()()()()33105x x Dx y d x d y d x xy d y x y y d x x x d x+=+=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 6．将二重积分dxdy y x f D),(⎰⎰化为两种二次积分次序，其中D 是由直线1,1,x y x y +=-=0x =围成的平面区域。

解11110111(,)(,)(,)(,)y yxDx f x y dxdy dx f x y dxdy dy f x y dxdy dy f x y dxdy +----==+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰7．交换I=110yxdx dy ⎰的积分次序，并求该积分的值。

解 由所给二次积分次序写出积分域D的不等式表达式：01x y ≤≤≤≤ 由此可得积分域的图形：故2110(,)(,)yxy Idx f x y dy dy f x y dx ==⎰⎰⎰8．设()f x 在[0,1]上连续，证明：21100()()()yx dy f x dx e e f x dx =-⎰⎰证 积分dx x f edy y y)(01⎰⎰可以表达成dx x f dy e yy)(01⎰⎰，函数)(x f 为抽象表达式，不便先对x 积分，故可考虑交换积分次序，2221111110()()()|()().yyy x x x f x dx f x dx e dy f x e dx e e f x dx ===-⎰⎰⎰⎰⎰9．计算二重积分dxdy x y I D)22(--=⎰⎰，其中D 是由抛物线,22x y =和直线42=+y x 围成的平面区域。

解 第一步：绘出区域图形，第二步：解方程22(1)24(2)y xx y ⎧=⎨+=⎩，求交点， 将（1）代入（2）得212202,1y y y y +-=⇒=-=，交点为12(8,2),(2,1)M M -。

第三步：确定积分限：由区域特点知，先对x ，后对y 积分较方便，2:21,242D y y x y -≤≤≤≤-2242122124222123452(2)(2)22(2)41181(4432)2510yD y yy x xI y dxdy dy y dxx x xy dyy y y y y dy -----=--=--=--=--+++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰10．计算二重积分22(1)DI x y dxdy =--⎰⎰，其中D 是由221x y +=和直线0,==y x y 在第一象限内围成的平面区域。

解 区域是单位圆的一部分，被积函数有表达式22y x+，一般用极坐标计算二重积分，144422224100000111(1)(1)()|24416D I x y dxdy d r rdr r r d d ππππθθθ=--=-=-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰11．计算二重积分DI =，其中D 是圆222x y y +=围成的平面区域。

解 区域是圆，被积函数有表达式22y x+，一般用极坐标计算二重积分，由直角坐标化为极坐标，变换公式为：cos ,sin ,x r y r dxdy rdrd θθθ===，因此圆222x y y +=在极坐标下的表达式为22sin 2sin r r r θθ=⇒=，积分域:0,02sin D r θπθ≤≤≤≤， 于是2sin 20320030188sin (1cos )(1)cos 338132(1)(cos cos )339DI d r drd d πθπππθθθθθθθ====--=--=⎰⎰⎰⎰ 12．计算二重积分DI =⎰⎰，其中D 是圆环22224x y ππ≤+≤。

解 用极坐标2202222sinsin 2(cos )2(cos |cos )6.Dd r rdrrd r r r rdr πππππππππθπππ==-=-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰13．已知D 是圆域222(0)x y a a +≤>，求a 的值，使22()2xy DI e dxdy π-+==⎰⎰。

解 利用极坐标有：22222()2012()(1)2xy D ar r a a I e dxdyd e rdre e πθππ-+---===-=-⎰⎰⎰⎰令 2(1)2a eππ--=，解得a =14．求抛物面222z x y =--与上半圆锥面z =所围成的立体的体积V 。

解 由二重积分的几何意义，⎰⎰Dd y x f σ),(的值等于以D 为底，以曲面),(y x f z =为顶的曲顶柱体的体积，所以抛物面222z x y =--与上半圆锥面z =所围成的立体的体积为2222(2)(2DDDV x y d x y d σσσ=---=--⎰⎰⎰⎰其中D 为抛物面222z x y =--与圆锥面z =所围成的立体在xoy 面上的投影。

为求区域D，由222z x y z ⎧=--⎪⎨=⎪⎩消去z ，得221x y +=，所以区域22:1D x y +≤是圆，被积函数有表达式22y x +，用极坐标计算二重积分，得2134222210005(2(2)2[]346D r r V x y d d r r rdr r πσθππ=--=--=--=⎰⎰⎰⎰.。