第1章指数分布冷贮备单元的串联系统简介lk +个同型单元组成，其中系统需有l 个单元串联工作，其它单l l l 系统的寿命）的分布函数是1exp lx θ⎛⎫--⎪⎝⎭，一去替换，替换后仍是l 个单元串联工作。

个单元都是新的条件下同时开始工作。

因此，直到有一个单元失效的时间的分布函数仍为1exp lx θ⎛⎫--⎪⎝⎭，由于有k 个贮备单元，可作k 次替换，因此，系统产品的寿命是l k +个独立的随机变量之和，每个随机变量的分布函数均为1exp l x θ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以这系统产品等价于lk +个独立单元的冷贮备系统，其中每个单元的失效率为/l θ。

因而，系统产品的寿命X 的分布函数为：()()0xX X F x f x dx =⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰x l d k x l kxθθexp !10（1） ()⎰⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-xk kx l d k x l x l k x l 01exp !11.exp !1θθθθ111exp !iki l l x x i θθ=⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑特别，当1k =时，()11exp Xl l F x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝令lθη=，即()11exp Xxx F x ηη⎛⎫⎛⎫=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此即完全类似于“指数分布冷贮备产品的统计分析—转换开关完全可靠的情形[2]”。

当2k =时，()2111exp 2X l l l F x x x x θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦令lθη=，()211exp exp exp 2X xx xx xF x ηηηηη⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=------ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2223111exp exp exp exp exp 2X x x x x xx x x f x ηηηηηηηηηη⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+---+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭231exp 2xx ηη⎛⎫=- ⎪⎝⎭一般地，令lθη=，0()1exp !ik X i i x x F x i ηη=⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∑1011()exp exp !(1)!ii k k X i ii i x x x xf x i i ηηηηη-==⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑∑()1101exp !1!i i k k i ii i x x xi i ηηη-+==⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎣⎦∑∑，令1j i =- （2）111100exp exp !!!i j k k k i j k i j x x x xx i j k ηηηηη-+++==⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑ ()()111exp exp !!k kk k y xxEX x dx y dy k k ηηηηη+∞∞++⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭⎰⎰()()()11exp 21!!k k yy dy k k k k lηηηθ∞++=-=Γ+=+=⎰ （3）()()22211exp exp !!k kk k y xx EXx dx y dy k k ηηηηη+∞∞++⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭⎰⎰()222222(2)(1)exp (3)(2)(1)!!k k k yy dy k k k k k lηηηθ∞+++=-=Γ+=++=⎰（4）()()()[]222222222111121k k k k k D X k k l l l l θθθ⎡⎤+++++=-=+--=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（5）第2章2.1 设12,,,n X X X 为来自总体分布函数为()X F x 的一个容量为n 的一个简单随机样本。

由矩估计思想可建立如下方程：1k X lθ+=解得：ˆ1l Xk θ=+，而：1ˆ1l k E k lθθθ+==+,2221ˆ(1)1lD D X k k θθ==++所以，θ2.2 参数的极大似然估计似然函数为：()()1111111exp exp !!n kk k k nn nk n i i i i k i i i x llll L x x x k k θθθθθ++-++===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∏∏ ()()111ln ln ln 1ln !n kk n ni ii i l l L x k n x k θθθ+==⎛⎫⎛⎫=+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∏()()∑=++-=n i ix lnk d L d 121ln θθθθ令()0ln =θθd L d ，则可解得：Xk l 1ˆ+=θ，即参数θ的矩估计和极大似然估计是相同的。

2.3 参数的逆矩估计2.3.1由于：⎡--⎢⎢⎣()2012ln ~2!j k j l l X X j χθθ=⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑于是有：()21012ln ~2!j nk i i i j l l X X n j χθθ==⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑可建立如下方程[4]：1012ln 2!j nk i i i j l l X X nj θθ==⎡⎤⎛⎫-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑…… …… …… …… …… …… …… …… ……为考察点估计的精度，取参数θ的真值为1，而2l =，2,3,4k=样本容量取为5(1)10(10)40n =，进行表1。

从表1矩估计。

表knθ矩估计 θ矩估计 θ逆矩估计 θ逆矩估计 θ修正逆矩 θ修正逆矩20 1.0056 0.0160 1.0024 0.0162 1.0328 0.0183 30 1.0053 0.0111 1.0032 0.0113 1.0232 0.0123 40 1.0059 0.0086 1.0030 0.0092 1.0181 0.00983 5 1.0086 0.0505 0.9921 0.0532 1.1101 0.07536 1.0065 0.0430 0.9942 0.0433 1.0889 0.06007 1.0056 0.0362 0.9954 0.0373 1.0753 0.04938 1.0088 0.0311 1.0000 0.0316 1.0694 0.04109 1.0081 0.0285 0.9998 0.0289 1.0608 0.036310 1.0089 0.0251 1.0018 0.0250 1.0565 0.0311 20 1.0048 0.0120 1.0015 0.0123 1.0280 0.0138 30 1.0045 0.0084 1.0024 0.0086 1.0194 0.0095 40 1.0050 0.0065 1.0030 0.0066 1.0152 0.00744 5 1.0076 0.0404 0.9929 0.0464 1.0967 0.05926 1.0056 0.0344 0.9936 0.0350 1.0781 0.04757 1.0048 0.0289 0.9948 0.0301 1.0662 0.03918 1.0078 0.0248 0.9991 0.0255 1.0612 0.03269 1.0071 0.0228 0.9990 0.0233 1.0536 0.028910 1.0078 0.0201 1.0009 0.0202 1.0499 0.0248 20 1.0042 0.0096 1.0011 0.0100 1.0248 0.0111 30 1.0040 0.0067 1.0019 0.0069 1.0176 0.0075 40 1.0044 0.0052 1.0031 0.0055 1.0113 0.0064…………………………………………[１] 曹晋华、程侃.可靠性数学引论（第二版）[M],2006:38—57.[２] 王蓉华、卜敏佳、徐晓岭.指数分布冷贮备系统产品的统计分析——转换开关完全可靠的情形[R]，上海师范大学科研报告.[3] 王炳兴. Weibull分布的统计推断[J],应用概率统计，1992，8（4）:357－364.[4] 王蓉华、顾蓓青、徐晓岭、孙祝岭.逆矩估计方法探讨[J],数理统计管理待发表.[5] 茆诗松、程依明、濮晓龙.概率论与数理统计教程[M]：高等教育出版社，2004：157-158 .[6] 陈传璋、金福临.数学分析[M]：高等教育出版社,1983:120-125[7] ………………附录 MATLAB程序代码1.计算指数分布参数 矩估计、极大似然估计、逆矩估计的均值以及均方误差的程序Array a=1；l=2;k=3;n=10;syms z i t1t2;for s=1:1000y2=0;y3=0;for r=1:nx(r)=gexian1(1-exp(-l*z/a)*symsum((l*z/a)^i/gamma(i+1),i,0,k)-y1);y2=y2+exp(-l*x(r)/t1)*symsum((l*x(r)/t1)^i/gamma(i+1),i,0,k);y3=y3+l*x(r)/t2-log(symsum((l*x(r)/t2)^i/gamma(i+1),i,0,k));endp(s)=l/(k+1)*mean(x);q1(s)=gexian2(y2-n/2);q2(s)=gexian3(y3-n+1);endavgp=mean(p)sn2p=(sum((p-a).^2))/1000avgq1=mean(q1)sn2q1=(sum((q1-a).^2))/1000avgq2=mean(q2)sn2q2=(sum((q2-a).^2))/1000…………………………………………………………。