考研数学三（线性代数）历年真题汇编1(总分：50.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：14，分数：28.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________2.设n阶方阵A的秩r(A)=r＜n，那么在A的n个行向量中【】（分数：2.00）A.必有，一个行向量线性无关．B.任意r个行向量都线性无关．C.任意r个行向量都构成极大线性无关向量组．D.任意一个行向量都可以由其它r个行向量线性表出．3.设A为n阶方阵且∣A∣=0，则【】（分数：2.00）A.A中必有两行(列)的元素对应成比例．B.A中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合．C.A中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合．D.A中至少有一行(列)的元素全为0．4.向量组α1，α2，…，αs线性无关的充分条件是【】（分数：2.00）A.α1，α2，…，αs均不为零向量．B.α1，α2，…，αs中任意两个向量的分量不成比例．C.α1，α2，…，αs中任意一个向量均不能由其余s一1个向量线性表示．D.α1，α2，…，αs中有一部分向量线性无关．5.设有任意两个n维向量组α1，…，αm和β1，…，βm，若存在两组不全为零的数λ1，…，λm和k 1，…，k m，使(λ1 +k 1 )α1 +…+(λm +k m )αm +(λ1一k 1 )β1 +…+(λm一k m )βm =0，则【】（分数：2.00）A.α1，…，αm和β1，…，βm都线性相关．B.α1，…，αm和β1，…，βm都线性无关．C.α1 +β1，…，αm +βm，α1一β1，…，αm一βm线性无关．D.α1 +β1，…，αm +βm，α1—β1，…，αm一βm线性相关．6.设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组中，线性无关的是【】（分数：2.00）A.α1 +α2，α2 +α3，α3一α1B.α1 +α2，α2 +α3，α1 +2α2 +α3C.α1 +2α2，2α2 +3α3，3α3 +α1D.α1 +α2 +α3，2α1一3α2 +22α3，3α1 +5α2一5α37.设向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表示，但不能由向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αm-1。

线性表示，记向量组(Ⅱ)：α1，α2，…，αm-1，β，则【】（分数：2.00）A.αm不能由(Ⅰ)线性表示，也不能由(Ⅱ)线性表示．B.αm不能由(Ⅰ)线性表示，但可由(Ⅱ)线性表示．C.αm可由(Ⅰ)线性表示，也可由(Ⅱ)线性表示．D.αm可由(Ⅰ)线性表示，但不可由(Ⅱ)线性表示．8.设α1，α2，…，αs均为n维向量，下列结论不正确的是【】（分数：2.00）A.若对于任意一组不全为零的数k 1，k 2，…，k s，都有k 1α1 +k 1α2 +…+k sαs≠0，则α1，α2，…，αs线性无关．B.若α1，α2，…，αs线性相关，则对于任意一组不全为零的数k 1，k 2，…，k s，有k 1α1 +k 2α2 +…+k sαs =0C.α1，α2，…，αs线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s．D.α1，α2，…，αs线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关．9.设α1，α2，…，α3均为n维列向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是【】（分数：2.00）A.若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs，线性相关．B.若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs，线性无关．C.若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs，线性相关．D.若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs，线性无关．10.设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是【】（分数：2.00）A.α1一α2，α2一α3，α3一α1．B.α1 +α2，α2 +α3，α3 +α1．C.α1一2α2，α2—2α3，α3—2α1．D.α1 +2α2，α2 +2α3，α3 +2α111.设向量组Ⅰ：α1，α2，…，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，…，βs线性表示．下列命题正确的是【】（分数：2.00）A.若向量组Ⅰ线性无关，则r≤s．B.若向量组Ⅰ线性无关，则r＞s．C.若向量组Ⅱ线性无关，则r≤s．D.若向量组Ⅱ线性无关，则r＞s．12.设 2.00）A.α1，α2，α3B.α1，α2，α4C.α1，α3，α4D.α2，α3，α413.设A，B，C均为n阶矩阵．若AB=C，且B可逆，则【】（分数：2.00）A.矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价．B.矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价．C.矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价．D.矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价．14.设α1，α2，α3均为3维向量，则对任意常数k，ι，向量组α1 +kα3，α2 +ια3线性无关是向量组α1，α2，α3线性无关的【】（分数：2.00）A.必要非充分条件B.充分非必要条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件二、填空题(总题数：3，分数：6.00)15.假设D是矩阵A的，r阶子式，且D≠0，但含D的一切r+1阶子式都等于0．那么矩阵A的一切r+1阶子式都等于0． 1（分数：2.00）填空项1:__________________16.设矩阵 2.00）填空项1:__________________17.设行向量组(2，1，1，1)，(2，1，α，α)，(3，2，1，α)，(4，3，2，1)线性相关，且α≠1，则α= 1（分数：2.00）填空项1:__________________三、解答题(总题数：8，分数：16.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 19.已知向量组α1，α2，…，αs (s≥2)线性无关．设β1 =α1 +α2，β2 =α2 +α3，…，βs-1 =αs-1 +αs，βs =αs +α1．试讨论向量组β1，β2，…，βs的线性相关性．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________20.设α 1 =(1，1，1)，α 2 =(1，2，3)，α 3 =(1，3，t) (1)问当t 为何值时，向量组α 1 ，α 2 ，α 3 线性无关? (2)问当t 为何值时，向量组α 1 ，α 2 ，α 3 线性相关? (3)当向量组α 1 ，α 2 ，α 3 线性相关时，将α 3 表示为α 1 和α 2 的线性组合．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________21.试证明n 维列向量组α 1 ，α 2 ，…，α n 线性无关的充分必要条件是行列式 2.00） __________________________________________________________________________________________22.已知向量组(Ⅰ)：α 1 ，α 2 ，α 3 ；(Ⅱ)α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 ；(Ⅲ)：α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 5 ．如果各向量组的秩分别为R(Ⅰ)=R(Ⅱ)=3，R(Ⅲ)=4．证明：向量组(Ⅳ)：α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 5 一α 4 的秩为4．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________23.设向量α 1 ，α 2 ，…，α t 是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系，向量β不是方程组AX=0的解，即A β≠0．试证明；向量组β，β+α 1 ，…，β+α t 线性无关．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________24.设4维向量组α 1 =(1+α，1，1，1) T ，α 2 =(2，2+α，2，2) T ，α 3 =(3，3，3+α，3) T ，α 4 =(4，4，4，4+α) T ，问α为何值时，α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 线性相关?当α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关蛆线性：表出．（分数：2.00） __________________________________________________________________________________________25.设向量组α 1 =(1，0，1) T ，α 2 =(0，1，1) T ，α 3 =(1，3，5) T 不能由向量组β 1 =(1，1，1) T ，β 2 =(1，2，3) T ，β 3 =(3，4，α) T线性表示． (Ⅰ)求α的值； (Ⅱ)将β 1 ，β 2 ，β 3 用α 1 ，α 2 ，α 3 线性表示．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________。