2020年湖南省永州市中考数学试卷一、选择题（共10小题）.1．（4分）2020-的相反数为( ) A ．12020-B ．2020C ．2020-D ．120202．（4分）永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是( )A ． 注意安全B ．水深危险C ．必须戴安全帽D ．注意通风3．（4分）永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是( ) A ．56.35310⨯人B ．563.5310⨯人C ．66.35310⨯人D ．70.635310⨯人4．（4分）下列计算正确的是( ) A ．223323a b ab a b += B ．632a a a ÷= C ．639a a a =D ．325()a a =5．（4分）已知一组数据1，2，8，6，8，对这组数据描述正确的是( ) A ．众数是8B ．平均数是6C ．中位数是8D ．方差是96．（4分）如图，已知AB DC =，ABC DCB ∠=∠，能直接判断ABC DCB ∆≅∆的方法是( )A ．SASB ．AASC ．SSSD ．ASA7．（4分）如图，已知PA ，PB 是O 的两条切线，A ，B 为切点，线段OP 交O 于点M ．给出下列四种说法：①PA PB=；②OP AB⊥；③四边形OAPB有外接圆；④M是AOP∆外接圆的圆心．其中正确说法的个数是()A．1B．2C．3D．48．（4分）如图，在ABC∆中，//EF BC，23AEEB=，四边形BCFE的面积为21，则ABC∆的面积是()A．913B．25C．35D．639．（4分）如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是()A．4B．2C3D．2310．（4分）已知点0(P x ，0)y 和直线y kx b =+，求点P 到直线y kx b =+的距离d 可用公式002||1kx y b d k-+=+计算．根据以上材料解决下面问题：如图，C 的圆心C 的坐标为(1,1)，半径为1，直线l 的表达式为26y x =-+，P 是直线l 上的动点，Q 是C 上的动点，则PQ 的最小值是( )A 35B 351- C 651- D ．2二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卡的答案栏内） 11．（4分）函数13y x =-中，自变量x 的取值范围是 ． 12．（4分）方程组422x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是 ．13．（4分）若关于x 的一元二次方程240x x m --=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 ．14．（4分）永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表： 成绩 90100x 8090x < 7080x < 6070x <60x <人数2515541根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有 人． 15．（4分）已知圆锥的底面周长是2π分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是 平方分米．16．（4分）已知直线//a b ，用一块含30︒角的直角三角板按图中所示的方式放置，若125∠=︒，则2∠= ．17．（4分）如图，正比例函数y x =-与反比例函数6y x=-的图象交于A ，C 两点，过点A 作AB x ⊥轴于点B ，过点C 作CD x ⊥轴于点D ，则ABD ∆的面积为 ．18．（4分）AOB ∠在平面直角坐标系中的位置如图所示，且60AOB ∠=︒，在AOB ∠内有一点(4,3)P ，M ，N 分别是OA ，OB 边上的动点，连接PM ，PN ，MN ，则PMN ∆周长的最小值是 ．三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）计算：01312020830()2-+︒-．20．（8分）先化简，再求值：2221221()(2)1144a a a a a a a a +-+-++-++，其中2a =． 21．（8分）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A ，B ，C ，D 四个等级，:90100A S <，:8090B S <，:7080C S <，:70D S ．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整．（2）扇形统计图中m = ，n = ，B 等级所占扇形的圆心角度数为 ．（3）该校准备从上述获得A 等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用1A ，2A 表示），两名女生（用1B ，2B 表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．22．（10分）一艘渔船从位于A 海岛北偏东60︒方向，距A 海岛60海里的B 处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A 海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：3 1.73≈，5 2.24≈，7 2.65)≈（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由． （2）渔船航行3小时后到达C 处，求A ，C 之间的距离．23．（10分）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和95N 口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，95N 口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比95N 口罩的单价少10元． （1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和95N 口罩的单价各是多少元？（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？24．（10分）如图，ABC∆内接于O，AB是O的直径，BD与O相切于点B，BD交AC的延长线于点D，E为BD的中点，连接CE．（1）求证：CE是O的切线．（2）已知35BD=，5CD=，求O，E两点之间的距离．25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，等腰直角ABC∆的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且4AB=，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．①求CMN∆面积的最小值．②已知3(1,)2Q-是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．26．（12分）某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6cm，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45︒的角，将该纸条从右往左平移．（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形ABCD时，求证：四边形ABCD是菱形．（3）设平移的距离为(0662)scm．求s与x的函xcm x<+，两张纸条重叠部分的面积为2数关系式，并求s的最大值．参考答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上） 1．（4分）2020-的相反数为( ) A ．12020-B ．2020C ．2020-D ．12020解：2020-的相反数为：2020． 故选：B ．2．（4分）永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是( )A ． 注意安全B ．水深危险C ．必须戴安全帽D ．注意通风解：根据轴对称图形的定义可知： 选项A 、B 、C 中的图形是轴对称图形， 选项D 不是轴对称图形． 故选：D ．3．（4分）永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是( ) A ．56.35310⨯人B ．563.5310⨯人C ．66.35310⨯人D ．70.635310⨯人解：635.3万66353000 6.35310==⨯．则“现有户籍人口数”用科学记数法表示为66.35310⨯人． 故选：C ．4．（4分）下列计算正确的是( ) A ．223323a b ab a b += B ．632a a a ÷= C ．639a a a =D ．325()a a =解：A 选项的两个加数不是同类项，不能加减； 6332a a a a ÷=≠，故选项B 错误； 639a a a =，故选项C 正确；3265()a a a =≠．故选项D 错误．故选：C ．5．（4分）已知一组数据1，2，8，6，8，对这组数据描述正确的是( ) A ．众数是8B ．平均数是6C ．中位数是8D ．方差是9解：将这组数据重新排列为1，2，6，8，8， 所以这组数据的众数为8，中位数为6，平均数为1268855++++=，方差为22221[(15)(25)(65)2(85)]8.85⨯-+-+-+⨯-=，故选：A ．6．（4分）如图，已知AB DC =，ABC DCB ∠=∠，能直接判断ABC DCB ∆≅∆的方法是( )A ．SASB ．AASC ．SSSD ．ASA解：AB DC =，ABC DCB ∠=∠，BC CB =，()ABC DCB SAS ∴∆≅∆，故选：A ．7．（4分）如图，已知PA ，PB 是O 的两条切线，A ，B 为切点，线段OP 交O 于点M ．给出下列四种说法： ①PA PB =； ②OP AB ⊥；③四边形OAPB 有外接圆； ④M 是AOP ∆外接圆的圆心．其中正确说法的个数是()A．1B．2C．3D．4解：PA，PB是O的两条切线，A，B为切点，PA PB∴=，所以①正确；OA OB=，PA PB=，OP∴垂直平分AB，所以②正确；PA，PB是O的两条切线，A，B为切点，OA PA∴⊥，OB PB⊥，90OAP OBP∴∠=∠=︒，∴点A、B在以OP为直径的圆上，∴四边形OAPB有外接圆，所以③正确；只有当30APO∠=︒时，2OP OA=，此时PM OM=，M∴是不一定为AOP∆外接圆的圆心，所以④错误．故选：C．8．（4分）如图，在ABC∆中，//EF BC，23AEEB=，四边形BCFE的面积为21，则ABC∆的面积是()A ．913B．25C．35D．63解：//EF BC，AEF ABC∴∆∆∽，∴224()()25AEFABCS AE AES AB AE EB∆∆===+，425AEF ABCS S∆∆∴=．21ABC AEFBCFES S S∆∆=-=四边形，即212125ABCS∆=，25ABCS∆∴=．故选：B．9．（4分）如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是()A．4B．2C．3D．23解：如图，过点B作BD AC⊥于点D，此正三棱柱底面ABC∆的边AB在右侧面的投影为BD，2AC =，1AD ∴=，2AB AD ==， 3BD ∴=，左视图矩形的宽为2， ∴左视图的面积为23．故选：D ．10．（4分）已知点0(P x ，0)y 和直线y kx b =+，求点P 到直线y kx b =+的距离d 可用公式002||1kx y b d k-+=+计算．根据以上材料解决下面问题：如图，C 的圆心C 的坐标为(1,1)，半径为1，直线l 的表达式为26y x =-+，P 是直线l 上的动点，Q 是C 上的动点，则PQ 的最小值是( )A 35B 351- C 651- D ．2解：过点C 作CP ⊥直线l ，交圆C 于Q 点，此时PQ 的值最小， 根据点到直线的距离公式可知：点(1,1)C 到直线l 的距离2351(2)d ==+-． Q 的半径为1， 351PQ ∴=-， 故选：B ．二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卡的答案栏内） 11．（4分）函数13y x =-中，自变量x 的取值范围是 3x ≠ ． 解：根据题意得，30x -≠， 解得3x ≠． 故答案为：3x ≠．12．（4分）方程组422x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是 22x y =⎧⎨=⎩ ．解：422x y x y +=⎧⎨-=⎩①②，①+②得：36x =，即2x =， 把2x =代入①得：2y =， 则方程组的解为22x y =⎧⎨=⎩，故答案为：22x y =⎧⎨=⎩13．（4分）若关于x 的一元二次方程240x x m --=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 4m >- ． 解：由已知得：△224(4)41()1640b ac m m =-=--⨯⨯-=+>， 解得：4m >-． 故答案为：4m >-．14．（4分）永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表：根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有 480 人． 解：251560048050+⨯=（人)， 即该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有480人， 故答案为：480．15．（4分）已知圆锥的底面周长是2π分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是4平方分米．解：圆锥的侧面积11224ππ=⨯⨯=平方分米． 故答案为4π．16．（4分）已知直线//a b ，用一块含30︒角的直角三角板按图中所示的方式放置，若125∠=︒，则2∠= 35︒ ．解：过点B 作//EF a ． //a b ， ////EF a b ∴．1ABF ∴∠=∠，2FBC ∠=∠． ABC ∆是含30︒角的直角三角形， 60ABC ∴∠=︒． 60ABF CBF ∠+∠=︒， 2602535∴∠=︒-=︒．故答案为：35︒．17．（4分）如图，正比例函数y x =-与反比例函数6y x=-的图象交于A ，C 两点，过点A 作AB x ⊥轴于点B ，过点C 作CD x ⊥轴于点D ，则ABD ∆的面积为 6 ．解：正比例函数y x =-与反比例函数6y x=-的图象交点坐标(6A -，6)，(6C ，6)-， AB x ⊥轴，CD x ⊥轴，6OB AB OD CD ∴====，11266622ABD S BD AB ∆∴==⨯⨯=， 故答案为：6．18．（4分）AOB ∠在平面直角坐标系中的位置如图所示，且60AOB ∠=︒，在AOB ∠内有一点(4,3)P ，M ，N 分别是OA ，OB 边上的动点，连接PM ，PN ，MN ，则PMN ∆周长的最小值是 53 ．解：分别作P 关于射线OA 、射线OB 的对称点P '与点P ''，连接P P '''，与OA 、OB 分别交于M 、N 两点，此时PMN ∆周长最小，最小值为P P '''的长， 连接OP '，OP ''，OP ，OA 、OB 分别为PP '，PP ''的垂直平分线，(4,3)P ，22435OP OP OP ∴'==''=+=，且POA P OA ∠=∠'，POB P OB ∠=∠''，60AOB AOP BOP ∠=∠+∠=︒， 120P OP ∴∠'''=︒，过O 作OQ P P ⊥'''，可得P Q P Q '=''，30OP Q OP Q ∠'=∠''=︒， 52OQ ∴=，53P Q P Q '=''=532253P P P Q ∴'''='==， 则PMN ∆周长的最小值是3． 故答案为：53三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）计算：01312020830()2-+︒-．解：原式11222=+⨯-112=+- 0=．20．（8分）先化简，再求值：2221221()(2)1144a a a a a a a a +-+-++-++，其中2a =． 解：原式2212(1)[](2)1(1)(1)(2)a a a a a a a +-=-+++-+11[](2)1(1)(2)a a a a a -=-++++ 2111a a a a +-=-++ 31a =+， 当2a =时， 原式3121==+． 21．（8分）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A ，B ，C ，D 四个等级，:90100A S <，:8090B S <，:7080C S <，:70D S ．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整．（2）扇形统计图中m = 15 ，n = ，B 等级所占扇形的圆心角度数为 ． （3）该校准备从上述获得A 等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用1A ，2A 表示），两名女生（用1B ，2B 表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 解：（1）被调查的总人数为410%40÷=（人)， C ∴等级人数为40(4282)6-++=（人)，补全图形如下：（2）6%100%15%40m =⨯=，即15m =， 2%100%5%40n =⨯=，即5n =； B 等级所占扇形的圆心角度数为36070%252︒⨯=︒，故答案为：15，5，252︒； （3）画树状图如下：共有12种可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的有8种结果， ∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为82123=． 22．（10分）一艘渔船从位于A 海岛北偏东60︒方向，距A 海岛60海里的B 处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A 海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：3 1.73≈，5 2.24≈，7 2.65)≈（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由． （2）渔船航行3小时后到达C 处，求A ，C 之间的距离．解：（1）这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险，理由如下： 作AD BC ⊥于D ，如图： 则90ADB ADC ∠=∠=︒，由题意得：60AB =，906030BAD ∠=︒-︒=︒， 1302BD AB ∴==，330351.950AD BD ==≈>， ∴这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险；（2）由（1）得：30BD =，303AD = 33090BC =⨯=，903060DC BC BD ∴=-=-=，在Rt ADC ∆中，2222(303)6030779.50AC AD DC =+=+=≈（海里）； 答：A ，C 之间的距离约为79.50海里．23．（10分）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和95N 口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，95N 口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比95N 口罩的单价少10元． （1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和95N 口罩的单价各是多少元？（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？解：（1）设一次性医用外科口罩的单价是x 元，则95N 口罩的单价是(10)x +元，依题意有 1600960010x x =+， 解得2x =，经检验，2x =是原方程的解， 1021012x +=+=．故一次性医用外科口罩的单价是2元，95N 口罩的单价是12元； （2）设购进一次性医用外科口罩y 只，依题意有 212(2000)10000y y +-，解得1400y ．故至少购进一次性医用外科口罩1400只．24．（10分）如图，ABC ∆内接于O ，AB 是O 的直径，BD 与O 相切于点B ，BD 交AC 的延长线于点D ，E 为BD 的中点，连接CE ．（1）求证：CE 是O 的切线．（2）已知35BD =5CD =，求O ，E 两点之间的距离．【解答】证明：（1）如图，连接OC ，OE ，OB OC =， OBC OCB ∴∠=∠，AB 是直径， 90ACB ∴∠=︒，E 为BD 的中点， BE CE DE ∴==， ECB EBC ∴∠=∠，BD 与O 相切于点B ， 90ABD ∴∠=︒， 90OBC EBC ∴∠+=︒， 90OCB ECB ∴∠+∠=︒， 90OCE ∴∠=︒OC CE ∴⊥，又OC 为半径，CE ∴是O 的切线；（2）D D ∠=∠，BCD ABD ∠=∠，BCD ABD ∴∆∆∽， ∴BD CD AD BD =， 2BD AD CD ∴=，2(35)5AD ∴=，9AD ∴=，E 为BD 的中点，AO BO =，1922OE AD ∴==， O ∴，E 两点之间的距离为92． 25．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，等腰直角ABC ∆的直角顶点C 在y 轴上，另两个顶点A ，B 在x 轴上，且4AB =，抛物线经过A ，B ，C 三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l 交抛物线于M ，N 两点，如图2所示．①求CMN ∆面积的最小值．②已知3(1,)2Q -是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P ，使得点P 与点Q 关于直线l 对称，若存在，求出点P 的坐标及直线l 的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．解：（1）设抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，在等腰Rt ABC ∆中，OC 垂直平分AB ，且4AB =，2OA OB OC ∴===，(2,0)A ∴-，(2,0)B ，(0,2)C -，∴4204202a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=-⎩， 解得，1202a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，∴抛物线的解析式为2122y x =-； （2）①设直线l 的解析式为y kx =，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ， 由2122y x y kx⎧=-⎪⎨⎪=⎩，可得21202x kx --=， 122x x k ∴+=，124x x =-，∴222121212()()4416x x x x x x k -=+-=+，∴12||x x -=∴121||2CMN S OC x x ∆=-=， ∴当0k =时取最小值为4．CMN ∴∆面积的最小值为4．②假设抛物线上存在点21(,2)2P m m -，使得点P 与点Q 关于直线l 对称， OP OQ ∴==解得，1m2m =，31m =，41m =-，31m =，41m =-不合题意，舍去，当1m =1)2P -， 线段PQ的中点为1)-，∴1=-，∴1k =-，∴直线l 的表达式为：(13)y x =-， 当23m =-时，点(3P -，1)2-， 线段PQ 的中点为13(2-，1)-， ∴1312k -=-， ∴13k =+，∴直线l 的解析式为(13)y x =+．综上，直线l 的解析式为(13)y x =-或(13)y x =+．26．（12分）某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6cm ，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45︒的角，将该纸条从右往左平移．（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形ABCD 时，求证：四边形ABCD 是菱形．（3）设平移的距离为(0662)xcm x <+，两张纸条重叠部分的面积为2scm ．求s 与x 的函数关系式，并求s 的最大值．解：（1）在平移过程中，重叠部分的形状分别为：三角形，梯形，菱形，五边形．如下图所示，（2）分别过B，D作BE CD⊥于点F，如图，⊥于点E，DF CB∴∠=∠=︒，BEC DFC90两纸条等宽，BE DF∴==，6BCE DCF∠=∠=︒，45∴==，62BC CD两纸条都是矩形，//∴，//BC AD，AB CD∴四边形ABCD是平行四边形，又BC DC=，∴四边形ABCD是菱形；（3）①当06x <时，重叠部分为三角形，如图所求，212s x ∴=， 06x <，∴当6x =时，s 取最大值为218s cm =；②当662x <时，重叠部分为梯形，如图所求，梯形的下底为xcm ，上底为(6)x cm -，1(6)66182s x x x ∴=+-⨯=-， 当62x =时，s 取最大值为2(36218)cm -；③当62662x <<+时，重叠部分为五边形，如图所求，(2211626(62)[62]222s s s x x ∴=-=-+-=--++五边形三角形菱形，此时，36218362S -<<五边形； ④当662x =+时，重叠部分为菱形，如图所求，∴2362S cm =菱形， 综上，s 与x 函数关系为：21(06)2s x x =<，或618(662)s x x =-<，或21[(662)]362(6262)2s x x =--++<<+，或362(62)s x ==+． 故s 的最大值为2362cm ．。