智巧趣题知识要点数学问题中有许多趣题，它们充分地体现了数学思维和方法的神奇魅力，学习这些趣题，并掌握其中的数学原理，有利于我们思维的拓展，同时激发对数学的兴趣。

本讲主要考察学生对于所学知识的活学活用能力，注意观察生活中的各类事实，学会用数学方法巧解各类问题。

旨在锻炼学生的灵活思考、创新思考的能力，鼓励学生多多动手、动脑，从解决问题的过程中感受学习的乐趣。

翻硬币【例 1】（2003年4月20日第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛五年级2试第6题）桌面上4枚硬币向上的一面都是“数字”，另一面都是“国徽”，如果每次翻转3枚硬币，至少_______次可使向上的一面都是“国徽”。

【分析】将4枚硬币都翻转成向上的一面都是“国徽”要翻转偶数次；翻转2次后的情况为⑴“国徽”、“国徽”、“国徽”、“数字”⑵“数字”、“数字”、“国徽”、“国徽”；所以翻转2次不能使向上的一面都是“国徽”；通过如下操作，可使硬币只翻转4次后为向上的一面都是“国徽”；①“数字”、“国徽”、“国徽”、“国徽”②“国徽”、“数字”、“数字”、“国徽”；③“数字”、“国徽”、“数字”、“数字”；④“国徽”、“国徽”、“国徽”、“国徽”。

【例 2】桌上放有345枚正面朝下的硬币，第1次翻动其中1枚，第2次翻动其中2枚，第3次翻动其中3枚，……，第345次翻动其中345枚。

经过345次翻动后，能否使这345枚硬币都正面朝上？【分析】第1次与第344次合起来共翻动345枚硬币，可将所有硬币各翻动一次；同理，第2次与第343次，第3次与第342次，……，第172次与第173次，都可将所有硬币各翻动一次；第345次也将所有硬币各翻动一次；所以所有硬币都被翻动()34512173+÷=次，即每枚硬币都被翻动了奇数次，都变为正面朝上。

所以经过345次翻动后，能否使这345枚硬币都正面朝上。

倒墨水【例 3】（2005年第三届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级培训题）甲杯中有200毫升红墨水，乙杯中有100毫升蓝墨水，从甲杯倒出50毫升到乙杯里，搅匀后，又从乙杯倒出50毫升到甲杯里。

这时，甲杯中混入的蓝墨水与乙杯中混入的红墨水的多少关系是_______（填“前者少”、“前者多”、“相同”或“不确定的”）。

【分析】因为最后甲、乙两杯墨水的体积均不变，甲杯中混入多少蓝墨水，乙杯中就混入多少红墨水；所以填相同。

【例 4】（2005年3月13日第三届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第1试第18题）小华和爸爸分享“红、黑甜品”（红豆沙加芝麻糊）。

方法是：小华先将两勺红豆沙倒进盛载芝麻糊的碗中，搅匀后再取回两勺放入原先盛载红豆沙的碗中，混成后，爸爸问小华：“如果混合前红豆沙与芝麻糊的体积一样，那么混合后红豆沙含芝麻糊的分量与芝麻糊含红豆沙的分量比较，哪一个多？”。

小华的正确答案是_______。

【分析】因为混合前红豆沙与芝麻糊的体积一样；所以混合后红豆沙含芝麻糊的分量与芝麻糊含红豆沙的分量一样多。

【例 5】欣欣喝一杯牛奶，第一次喝了这杯牛奶的13，用水加满；第二次又喝了杯里的13，又用水加满；第三次又喝了杯里的13，又用水加满；之后她把这一杯全部喝完。

想想欣欣喝的牛奶多还是水多？【分析】首先整体上欣欣喝了1杯牛奶；欣欣加了3次水，每次都是整个杯子13，一共加了1杯水，所以欣欣一共喝了1杯水；所以欣欣喝的牛奶和水一样多。

【例 6】有一个注入了1999升的容器A和一个与A大小相同的空着的容器B。

第一回把A的12移入B；第二回把B的13移入A；第三回把A的14移入B；然后把B的15移入A……就这样不断地移下去。

请问：当第1999回把A中的水移入B中时，B容器中有多少升水？【分析】当第一回把A的12移入B时，A、B的各自的水量相等；第二回把B的13移入A时，移入的量是A现有的量的14，第三回把A的14移入B时，这个14是第二回从B移入的部分；所以经过前三回移动后，A、B中的水量相等；第四回把B的15移入A时，移入的量是A现有的量的16，第三回把A的16移入B时，这个16是第二回从B移入的部分；所以经过前五回移动后，A、B中的水量相等；……所以第偶数回从B移到A的部分在下一回又以相同的量从A移到B；所以第奇数次后，A和B中的水量相等，为19992999.5÷=升；因为最后甲、乙两杯墨水的体积均不变，甲杯中混入多少蓝墨水，乙杯中就混入多少红墨水；【例 7】有两个相同大小的试杯A、B，里面分别装有同样多的红墨水（A）和蓝墨水（B），第一次将A 中墨水平均分成两份，将其中一份倒入B中，第二次将B中溶液平均分成三份，将其中一份倒入A中，第三次将A中溶液平均分成四份，将其中一份倒入B中，……，按照这样的程序，一直操作2010次，此时，A中的红墨水是B中蓝墨水的_______倍。

【分析】第一次把A的12移入B时，移入的量是B现有的量的13，第二次把B的13移入A时，这个13是第一次从A移入的部分；所以经过前两次移动后，A、B中的墨水量相等；第三次把A的14移入B时，移入的量是B现有的量的15，第四次把B的15移入A时，这个15是第三次从A移入的部分；所以经过前四次移动后，A、B中的墨水量相等；……所以第奇数次从A移到B的部分在下一回又以相同的量从B移到A；所以第偶数次后，A和B中的墨水量相等；因为最后A、B两杯墨水的体积均不变，甲杯中有多少红墨水，乙杯中就有多少蓝墨水；操作2010次后，A中的红墨水是B中蓝墨水的1倍。

【例 8】今有10升果汁一瓶，要用7升和3升的两种容器分成5升一份的两份果汁，怎么分？【例 9】已知有3个杯子，其中2个杯子的容量为8升，1个杯子的容量为3升。

现在2个容量为8升的杯子装满水，1个3升的杯子空着，要把这些水平均分给4个人喝，该怎么分？【分析】每个人喝到的水为8244⨯÷=升。

最短时间【例 10】 （2003年“数学大王”小学趣味数学测试题中年级组（3、4年级）第10题）要把图中四段链子接成一条圆项链，最少要断开_______个环。

【分析】最少要断开3个环，即将D 的3个环拆开将A 、B 、C 接成一条圆项链。

【例 11】 如图所示，有六条铁链，每条有四个环。

已知打开一个环要用5分钟，闭合一个打开的环要用7分钟。

现在要把六条铁链连成一条长铁链，至少要用多少时间？【分析】打开一条铁链的4个环，用这4个环将其余五条铁链连在一起，所以至少要()57448+⨯=(分钟)【例 12】 现有5段铁环，每段上有4个封闭的铁环。

现在要打开一些铁环，把这20个铁环焊接成一个一环套一环的圆圈。

如果打开一个铁环要2分钟，焊接一个铁环要3分钟。

那么焊成这个圆圈，至少需要_______时间。

【分析】时间最短的方法是把其中一段的4个环都打开，然后用4个环把剩余的4段铁链连接起来，这样最少需要()23420+⨯=(分钟)还原【例 13】（2006年第四届“走进美妙的数学花园”中国青少年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛三年级初赛第9题）24枚棋子排成三行，第一行6枚，第二行7枚，第三行11枚。

每次可将一些棋子从一行移入另一行，但移动的棋子数必须等于移入那一行的棋子数。

只移动三次，使每行都变成8个。

把移动过程写如下表。

【分析】采用倒推法。

最后一步是（8，8，8）；倒数第二步必定是（12，8，4）；倒数第三步是（16，4，4）或（14，8，2）或（12，10，2）或（14，6，4）或（10，8，6）；发现（6，7，11）变成（14，6，4）；所以答案如下。

【例 14】（2010年3月20日第十届“中环杯”小学生思维能力训练活动第二（4）题）一个小孩在沙滩上把16个贝壳分成8个，3个，5个共三堆。

按照下面的规则进行移动：取其中的任意两堆贝壳。

记为1号堆和2号堆，且1号堆的贝壳不少于2号堆。

然后从1号堆拿去与2号堆相同数量的贝壳，放入2号堆。

经若干次这样的移动，使所有的贝壳成为一堆。

以下是一种移动方法：（8，3，5）→（8，6，2）→（8，4，4）→（8，8，0）→（16，0，0），共移动了4次。

现在把16个贝壳分成9个，5个，2个共三堆，那么按照上面的规则，最少移动多少次，就能使所有的贝壳成为一堆？请写出移动过程。

【分析】采用倒推法。

最后一步是（16，0，0）；倒数第二步必定是（8，8，0）；倒数第三步是（12，4，0）或（8，4，4）；倒数第四步是（14，2，0）或（12，2，2）或（10，6，0）或（6，6，4）或（10，4，2）或（8，6，2）；发现（9，5，2）可以变成（10，4，2）；所以至少要移动4次，移动方法如下：（9，5，2）→（10，4，2）→（8，4，4）→（8，8，0）→（16，0，0）走迷宫【例 15】（2006年第四届“走进美妙的数学花园”中国青少年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛三年级初赛第4题四年级初赛第3题）如图是一座迷宫，请画出任意一条从A到B的通道。

AB【分析】只要走出来即可，答案不惟一。

AB【例 16】（2006年第四届“走进美妙的数学花园”中国青少年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛五年级初赛第12题六年级初赛第12题）如图是一座迷宫，请画出任意一条从A到B的通道，每个格子至多经过一次，通道上处于同一列小方格恰好等于该列上方所标出的数。

AB12345678987654321【分析】①如果一次不能达到规定的格数，可以留大于1格，以便进出。

（不可留1格，有进无出）；②可从出口进来，逆向推导；③可先选择一条可以通行的路线再根据要求的格子数逐渐修改； 经过尝试和逐步推断，答案如图所示。

【例 17】 （2007年台湾省第十一届小学数学世界邀请赛队际赛第1题）如图是某个小城镇的街道图，共有A ，B ，C ，D ，E ，F 六个城门。

此镇有一个很奇怪的交通规则：除非无法再继续直行，否则在任何路口都不可以转弯。

在可以转弯的情况下，可以任意选择左转或右转。

某人驾车从城门E 进城，欲由其他的城门出城，但除了某一个城门之外，其他的都可以出城。

请问，哪一个城门是不可能的？ABCDEFFEDCBA【分析】如图所示，C 城门是不可能的。

其他【例 18】 （2004年4月11日第二届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第2试第14题）如图所示，在22⨯方格中，画一条直线最多穿过3个方格；在33⨯方格中，画一条直线最多穿过5个方格可知；那么在55⨯方格中，画一条直线，最多穿过_______个方格。

⑧⑦⑥⑤④③②①【分析】如图所示在55⨯的方格中，当直线穿过①~⑧时，能够碰到新的方格；因为最多只能穿过8条直线，所以能够穿过9个方格。

【说明】在n n ⨯方格中，画一条直线，最多穿过（21n -）个方格（n +∈）。