§空瓶换酒悖论
空瓶换酒是厂家为促销而采用的一种销售策略,它被抽象为数学题, 常在竞赛题中出现.
如果我买了n瓶啤酒, 商家规定, n 个空瓶又可以换得一瓶啤酒,问我最多可以喝到多少瓶啤酒?这是空瓶换酒类问题中最简单的一种先看, n=10 , m=3 的特殊情况. 10瓶啤酒喝光后可得到10个空酒瓶, 用它们可换取3瓶酒,还剩了1个空瓶. 把酒喝完后又得到4个空瓶, 再换一瓶酒, 还剩余1个空瓶, 喝完酒后总共有2个空瓶. 实际上我已喝了10 + 3 + 1 =14瓶啤酒. 这就是最多的啤酒数吗? 不是的, 我还可以用最后剩下的那两个空瓶再换一瓶酒喝. 我先向别人,如老板, 借一个空瓶, 凑足 3 个空瓶后按规定就能换到一瓶酒了, 把换得的酒喝光后, 我把空瓶还给那人即可. 因此我最多可喝到15瓶酒再
看一般的解答. 由已知, 若设一瓶酒的价格为x元, 则一个空瓶
的价格应为x
m元, 瓶内纯酒的价格应为(x - x
m)元, n瓶酒的总价格
为nx元可喝到的纯酒瓶数为
若(m-l) 整除n , 则瓶数为n+n
m-1; 若(m-l)不能整n, 则瓶数为n
+[
n
m-1]可以合写为n +[
n
m-1]当n== 10 , m= 3 时代人这个公式,算出
结果为10+[10
3-1]=15，与我们的分析是一致的。

我在讲解这个问题时发现一些同学的回答相当不可思议, 他认为我可以喝到1000瓶酒. 原因很简单, 从上面的讨论中我们发现: (l) 当m个空瓶可以换( A ) 得一瓶酒, 则( m-1)个空瓶照样可以换(B) 取一瓶啤酒. 即空瓶的数目能减少一个. 因为向他人借一个空瓶后可得到m瓶, 把这个空瓶还给那人就行了.
(2) 既然(m -1)个空瓶能换(C)一瓶啤酒,同理, ( m-2)个空瓶也能换(D)取一瓶酒.
(3)以此类推, 空瓶数目逐次少一个，最终一个空瓶也能换一瓶酒, 进而不要空瓶也可以换啤酒. 因此啤酒是可以白喝的. 如果商店足够大. 啤酒足够多, 就能喝到1000瓶啤酒.
这个结论显然是极其荒谬的, 但要将其中的道理解释清楚却并不容易.
我发现这个悖论后, 经过了仔细分析, 认为产生错误的原因如下.
我们已将错误的论述分为了三个部分, 给它们加上了编号, 下面逐一分析.
(l) 是完全正确的, 从刚才那个一般的结论中也可以看出,
仅用空瓶换得的啤酒为[
n
m-1]分母m-1 . 其中最关键的一
个字为“ 换” , 我们也给它编了号.
在(A)中的“换” 意为: 用m个空瓶交换一瓶啤酒, 是直接交换.
在(B)中的“换”意思就不一样了, 是间接的交换, 因为直接用(m-1)个空瓶是换不到啤酒的. 我就先去借一个, 凑足了数目以后再
给店老板m个空瓶, 换得一瓶酒. 但借了要还呀, 因此就把换来的酒喝光了, 将空瓶还给人家. 我只能借一个, 否则还不了.我在换酒时给老板的仍是m个空瓶, 而不是(m-1)个. 这个“换”字与上一个相比多了两个步骤, 即借空瓶与还空瓶.
(2) 是错误产生的根源. ( 2)中也有两个“换”字, (C)中的“换”本来与(B)中的“换” 含义完全相同, 但是他却将其等于(A)中的“换” . 他在悄悄的偷换概念, 因此就产生了悖论. (3) 以(2) 为前提也就跟着错了.
数学中由于偷换概念产生的语义悖论是很多的, 在高中数学的简易逻辑部分体现得尤其明显. 在哲学领域也有大量这样的悖论. 如汉代公孙弘的“白马非马” 论. 他使用了反证法来证明自己的观点. 思路如下若白马是马, 则黑马也是马, 由“ A是 C , B 是C=>A是B” 可知白马是黑马. 这是一个矛盾, 产生矛盾的根源在于开始的假设, 因为推理过程并无错误, 所以白马不是马. 这个著名的悖论就是语义悖论.“是” 有多种含义.
( 1) 等于, 如高一( 3) 班的班长是王小刚.
(2) 属于, 如杨振宁是科学家. 指的是元素与集合的关系.
(3) 包含于, 如男人是人. 指的是集合与集合的关系.公孙弘推理的依据是“A是C , B是C => A是B ” , 这个依据中的“是” 含义显然为( l) 中所说的“ 等同于” , 而在“若白马是马, 则黑马也是马” 中的“是” 含义为(3) , 即“包含于” , 意思完全不同,不可以使用那个依据. 因此公孙弘的推理过程是错误的.我们在学习数学时, 要
养成严密的思维习惯, 避免掉进语义悖论的旋涡之中。