第二十七讲不定方程、方程组不定方程（组）就是指未知数的个数多于方程的个数的方程（组）,其特点就是解往往有无穷多个，不能惟一确定.对于不定方程（组）,我们往往限定只求整数解，甚至只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定• 二元一次不定方程就是最简单的不定方程 ，一些复杂的不定方程（组）常常转化为二元一次不定方程问题加以解决，与之相关的性质有：设a 、b 、c 、d 为整数，则不定方程ax by c 有如下两个重要命题: （1）若（a ，b ）=d ，且d 卜c ，则不定方程ax byc 没有整数解；x x 0 bt,⑵若X 。

，y o 就是方程ax by c 且（a ，b ）=1的一组整数解（称特解），则 （t 为整数）就是方程的y y o at全部整数解（称通解）.解不定方程（组），没有现成的模式、固定的方法可循 ，需要依据方程（组）的特点进行恰当的变形，并灵活运 用以下知识与方法；奇数偶数，整数的整除性、分离整系数、因数分解。

配方利用非负数性质、 穷举，乘法公式， 不等式分析等.举例【例1】 正整数m 、n 满足8m+9n=mn+6,则m 的最大值为 _______________ .（新加坡数学竞赛题）思路点拔 把m 用含n 的代数式表示，并分离其整数部分（简称分离整系数法）.再结合整除的知识，求出m 的最大值.注:求整系数不定方程 ax by c 的整数解。

通常有以下几个步骤：（1）判断有无整数解;（2）求一个特解;（3）写出通解;（4）由整数t 同时要满足的条件（不等式组）,代入⑵中的表 达式，写出不定方程的正整数解.分离整系数法解题的关键就是把其中一个未知数用另一个未知数的代数敷式表示 ，结合整除的知识讨论.【例2】 如图，在高速公路上从3千米处开始，每隔4千米设一个速度限制标志，而且从10千米处开始，每隔 9千米设一个测速照相标志，则刚好在19千米处同时设置这两种标志 .问下一个同时设置这两种标志的地点的千米数就是（ ）.1115（3）求方程的正整数解.x y z 6（“希望杯”邀请赛试题）p 1思路点拨 设置限速标志、照相标志千米数分别表示为定方程3+4x=0+9y 的正整数解.【例3】（1）求方程15x+52y=6的所有整数解.（2）求方程x+y = x 2一 xy+y 2的整数（河南省竞赛题）3+4x 、10十9y （x,y 为自然数），问题转化为求不A.32千米B.37千米C.55千米D.90千米思路点拨对于（1）通过观察或辗转相除法，先求出特解.对于（2）易想到完全平方公式，从配方人手，对于（2）1 11易知x 、y 、z 都大于1,不妨设l<x w y <乙则，将复杂的三元不定方程转化为一元不等式，通过解不x y z等式对某个未知数的取值作出估计，逐步缩小其取值范围，求出其结果•注:方程与不等式的相关性质，寻求井缩小某个字母的取值范围，通过验算获得全部解答.【例4】一个盒子里装有不多于 200粒棋子，如果每次2粒，3粒，4粒或6粒地取出，最终粒盒内都剩1粒棋子； 如果每次11粒地取出，那么正好取完，求盒子里共有多少粒棋子？（2002年重庆市竞赛题）思路点拨无论怎么取，盒子里的棋子数不变，恰当设未知数，把问题转化为求不定方程的正整数解 •【例5】中国百鸡问题：一,值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一 •百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？（出自中国数学家张丘建的著作《算经》 ）x y z 100思路点拨 设鸡翁、鸡母、鸡雏分别为x 、y 、z ，则有 z' 5x 3y — 1003通过消元，将问题转化为求二元一次不定方程的非负整数解【例6】 甲组同学每人有 28个核桃，乙组同学每人有 30个核桃，丙组同学每人有31个核桃，三组的核桃 总数就是365个,问三个小组共有多少名同学？（2001年海峡两岸友谊赛试题）思路点拨 设甲组学生a 人，乙组学生b 人，丙组学生c 人，由题意得28a+30b+31c=365,怎样解三元一次不定 方程？运用放缩法，从求出a+b+c 的取值范围入手• 注：解不定方程组基本方法有：（1）视某个未知数为常数，将其她未知数用这个未知数的代数式表示；（2）通过消元，将问题转化为不定方程求解 ；（3 ）运用整体思想方法求解.【例7】不定方程4x+7y=2001有 ____________ 组正整数解. x 667易知『667就是其一组特解，•••其通解为667 7t 1 667 4t 1,解之得96"七"166t 可取整数值共71个. 4x+7y=2001有71组正整数解学力训练1.已知 X 、y 、z 满足 x+y=5 及 z 2=xy+y — 9,则 x+2y+3z= ______（2002年山东省竞赛题）2.已知4x -2 2 2前,2x 3y6z 砧/古出「3y — 6z=0,x+2y 一 7c=0（xyz 丰 0）,那么222的值为3. _________________________________________________________________________ 用一元钱买面值 4分、8分、1角的3种邮票共18张,每种邮票至少买一张，共有 ______________________________ 种不同的买法思路点拨 49十7y=3 X 667667 7t 667 4t ，t12345（北京市竞赛题）5•希望中学收到王老师捐赠的足球、篮球、排球共20个，其总价值为330元，这三种球的价格分别就是足球每个60元,篮球每个30元排球每个10元，那么其中排球有_________ 个.（温州市中考题）6.方程（x+1）2+（y-2）2 = 1的整数解有（）•A.1组B.2组C.4组D.无数组7.二元方程x+y+z=1999的非负整数解的个数有（）.A.20001999 个B.19992000 个C.2001000 个D.2001999 个（“希望杯”邀请赛试题）8.以下就是一个六位数乘上一个一位数的竖式，各代表一个数（不一定相同）,则a+b+c+d+e+f=（）.A.27B.24C.30D.无法确定1（“五羊杯”邀请赛试题）9.求下列方程的整数解：（1）1lx+5y=7;（2）4x+y=3xy.10.在车站开始检票时，有a（a>0）名旅客在候车室排队等候检票进站.检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站，设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也就是固定的，若开放一个检票口，则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕如果要在5分钟内将排队等侯检票的旅客全部检票完毕，以便后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放几个检票口？（广州市中考题）11.下面就是同学们玩过的“锤子、剪子、布”的游戏规则：游戏在两位同学之间进行，用伸出手掌表示“布”两人同时口念“锤子、剪子、布”，一念到“布”时，同时出手，“布”赢“锤子”,“锤子”赢“剪子”，“剪子”赢“布”.现在我们约定：“布”赢“锤子”得 9分，“锤子”赢“剪子”得 5分，“剪子”赢“布” 得2分.（1）小明与某同学玩此游戏过程中，小明赢了 21次，得 108分,其中“剪子”赢“布” 7次.聪明的同学请您用所学的数学知识求出小明“布”赢“锤子”、“锤子”赢“剪子”各多少次？（2）如果小明与某同学玩了若干次，得了 30分,请您探究一下小明各种可能的赢法，并选择其中的三种赢法填人下表.13.有理数x,y,z满足％ 6 3y2x 3y 2xy 2z，则22y+z的值为0赢法14.1998年某人的年龄恰等于她出生的公元年数的数字之与，那么她的年龄就是___ 岁.15.江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用2台抽水机抽水,40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水,16分钟可抽完•如果要在10分钟内抽完水，那么，至少需要抽水机 ______ 台• 16. 有甲、乙、丙3种商品，某人若购甲3件、乙7件、丙1件共需24元若购甲4件、乙10件、丙I 件共需 33元，则此人购甲、乙、丙各 1件共需 ________ 元• 17. 一个布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的小球 ，红球上标有数字1,黄球上标有数字2,蓝球上标有数字3,小明从布袋中摸出10个球,它们上面所标数字的与等于 21,则小明摸出的球中红球的个数最多不超过个•18. （1）求满足y 4+2x 4+仁4x 2y 的所有整数对（x,y ）;（2）求出所有满足 5（xy+yz+zx ） = 4xyz 的正整数解.（新加坡奥林匹克试题）19.兄弟二人养了一群羊，当每只羊的价钱（以元为单位）的数值恰等于这群羊的只数时，将这群羊全部卖出，兄 弟二人平分卖羊得来的钱：哥哥先取I0元，弟弟再取10元;这样依次反复进行，最后，哥哥先取10元，弟弟再取 不足10元，这时哥哥将自己的一顶草帽给了弟弟 ，兄弟二人所得的钱数相等.问这顶草帽值多少钱？（北京市竞赛题），将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得 16970,求此人家的电话号码.（武汉市选拔赛试题）21.月日摘要 数量（米） 单价（元/米）金额（元） 1 13全毛花呢XX49、36XXX7、283个数码瞧不清楚了，请您帮助查清这笔账（上海市”金桥杯”数学知识应用竞赛试题 ）22.一支科学考察队前往某条河流上的上游去考察一个生态区.她们出发后以每天17km 的速度前进，沿河岸向上游行进若干天后到达目的地 ，然后在生态区考察了若干天，完成任务后以每天25km 的速度返回，在出发后的 第60 天,考察队行进了 24km 后回到出发点 试问:科学考察队在生态区考察了多少天 ？（四川省竞赛题）参考答案2）不建方程、方建组【例題購器】洌1 7&握拒旳=*" ［ = 9卜= 9时皿豪大H 为版丹—吊Jf 0(?] +1» =氛由就博方W H (21 ao*l>.(2.(1亠即严扌■今 点比甲厂4或5就“專却工・$时」tq*由比耶們时心」e 共加.圳"由于r.j.i 圧方秆申灿拉平可得厚方抵的）5l>r （4.3»4）蝌4 提于1设鱼手樂韭有m 社犠子.11上St 趴月.4持的■#、公情魅12除时"黑JE 为h 即加+ 12均自又工亠1讪柑曲自拾D* 12tt 4-1-11*^ ^^■a + e^*LL|fl+i 圧 g 応20山故 0<：皿 + 】£剜爪 0<4<1>2+皆订応= 4*1—121*即|［子日共书J21粒稱子,20.某人家的电话号码就是八位数 的数与后五位数组成的数相加得 14405,将前三位数组成 s C 摆示汕=匚导=巧十】+宁为所眾料辭..解苗［讴一峠2令也严■卯n "■別一蓟比简再JT -42- $盅Zbi的屉"心是那的-估仆町程的"刘：：二补上整I于是有荫击方柠％中折厂得r-IOO-j--y-IOO + 4/-（2S R?J>-7$-丸由 且 r%/敷得TAD一 25十「耳勺・L Q ・一I ・一2・一$.胡H 的痢世人通苗.得吋組倍75- 3/>0(.ity 11>= <tl,£5.75) 34*18*7# > (8 J LI2,«T B4)段学IH .乙1H .丙SlifS （冇学主h 人上人』人.甥?ga-i-50*+Slc-365Pl 賀5 +鸟+和<：24«1 +』轴+31（—34乩睥血十占^£< 呀比 a+A<-rCt3 tS 3l(a+* + <)>28ti -30*^31c*365.fl(a^H-H>^>H.7 w IWlH讯此.fl + fr+r-12M 13^a+6^c = n 片，融 26〜3c = [.此方RtXiLStt* 敏 a4 i+r^ U R *+ 64-< = 12【学力训域】].B 2. 8二2tl 丽ttt£ *勞丄卅*1角的■碑暂別卉生乘洛张話注，*(”十M 2y-¥U ・14*|»得4・_y 』｝・tl2“* UzTaj+Ki-ioo2).(13 4. 1000 S r 15U f 4-］）1 ■（> *• C 锂亦I 因KkHH+ty —2F = 】，Jl JT,y 均为正挣ft .只權 \l<y-8P-l7-匕 龍示 I 当 k-o 时」亠±=i999,y 好&）耿0・14-*1 娉9 时 y <1 1999,1998. —,0.有 2000 亍■数解 i 与 J"—】 Bf.y+士一 19咄冲1的9午8（数薛.当，=2时』+¥=1的匚有均関亍狂敷解严十^-139!1时屮斗尸0」1有［非如■ tlfl?什有 如）+ 】9»9十 19咄十”*+3十r+ l = ZOOlQQD（-t>& A «^ ||OQ£K>y -r 』创dlr ■朴匕.谁j ■林林」■饰打可求常*■緘趴$.则必乔JL 42&5 7 J. 9047^4^95 f± = 2^ l£/，T| = 1 ；!>- — ] f J,—© »>J -2 1 JI ^Imi&亠ZZO毀示■隣+册)・畀站=1><百X—用】与5 +研！新鼻性梱所Hsis St Jkrti4f§jji - IO +J -+>«.KP 11亍*童$=号£|（得"斗:丄=i 111的瞌配他ft $Iar+S.y t 3；**21ii ，廉方程金峯为士烈*-拙」+(*-"*三①由住潺蝉甘相的程覚总方丄半丄斗丄士2“參塔體H J I 5»>・黑方扈■■力(QJMtbl *“・!«・(*・■・ 4>.<«|£.10>| (4«M|l3iCM>l f l)iCM v <»n^^B]>i< 3，10.5)| ($.$. ]O)t (S JO»J).riaJ.5>t(lo T S,S).盘羊群楚】“+“貝.劇舟R 準的歯怪为1血+帀兀彳且中帀擅牛｛J 散字n 这評担箍丈r I + 2^i + #r f Til ).由十悔抚取m 朮、址京-出帕锥审的不豹m 元.刃此取山弟借散拱樹枚抚'旳此胪祸有十妆进快，井耳进醐毘牛曲醴.I 用-“曲的平办戢中■只石4一- M.A —丽的卜位歡卞足功戰"膺置A 那F41*氣山此再谴圧草粘血2元. btHLg 條确垦 IOOCM J tlOQGOy'T 衣耳中 r* * r 均九门煤数.吐 100t ：J < ?I<W. O< ,v < g + IQM «； ><«99.网 J lo^+y+t^mflS 心一 、.卅llll,v-J = I«5.由1吹K ；能得= 罐睡诂号艸呈 ^l«H4r '.x~f JOOOQ^+t ：33® Ky*?^ 民吞I 截魔養mt 为工米・舍話嗝三慣散为y,Wl 49.36J -10/+7,2R.«L + 計⑺ S*125ajr 11I 跖17 —4*-17—12SJI —r “舅专 气才T ・《| 丁匕—盲型=：一机*4 〒血福 仟一即于皇『一腿』7曲’却断卖■弭黑戡为酹粕金新为 4输T ，2fl #. 2.壯再察孰列主応医用r 『Ji*返回闭r 『犬注划阳了 氓时,T-v-r-tu 1 舟軽①的料解为几土-監卅-7・方悝②曲一切惜数馆为广■一3' ?5\i 为輕如观j+y-^r lg5y —口丁=1 ②ly=-2-F17j-5. X &■ '：J^广"Q*低育(一】汁忡肯懸，色"亘吋』ItJ L1鷲撻示，设检瑕升抬蒔井忡新増松的簞客为工人•检暮的速度为幷半粒H □毎企轉检$人*5莎评内检聚完华同时开放”今检眾口”購4 4- 30z — 3。