系统的稳定性
系统能在实际生活中应用的必要条件是系统要稳定。

分析系统稳定性是经典控制理论的重要组成部分。

经典控制理论对于判定一个线性定常系统是否稳定提供了多种方法。

一、系统稳定性的初步了解
了解不稳定现象发生的原因，对于建立系统的数学模型的建立稳定性概念是很有帮助的。

线性系统的不稳定现象有如下几点值得注意。

首先，线性系统不稳定现象发生与否，取决于系统内部条件，而与输入无关。

其次，系统发生不稳定现象必有适当的反馈作用。

再次，控制理论中所讨论的稳定性其实都是指自由振荡下的稳定性，也就是说，是讨论输入为零，系统仅存在与有初始状态不为零时的稳定性，即讨论自由振荡是收敛的还是发散的，也可以说是讨论系统初始状态为零时，系统脉冲响应是收敛还是发散的。

二、稳定的定义和条件
若系统在初始状态下（不论是无输入时的初态，还是输入引起的初态，还是这两者之和）的影响下，由它所引起的系统的时间响应随着时间的推移，逐渐衰减并趋向于零（回到平衡位置），则称该系统为稳定的；反之，若在初始状态影响下，由它所引起的系统的时间随时间的推移而发散（即偏离平衡位置越来越远），则称系统为不稳定的。

系统稳定的充要条件为：系统的全部特性根都具有负实部；反正若特征根中只要有一个或一个以上具有正实部，则系统必不稳定。

三、关于稳定性的一些提法
1、李亚普诺夫意义下的稳定性
指对系统平衡状态为稳定或不稳定所规定的标准。

主要涉及稳定、渐近稳定、大范围渐近稳定和不稳定。

① 稳定
用 S(ε)表示状态空间中以原点为球心以ε为半径的一个球域，S(δ)表示另一个半径为δ的球域。

如果对于任意选定的每一个域S(ε),必然存在相应的一个域S(δ)，其中δ<ε，使得在所考虑的整个时间区间内，从域 S(δ)内任一点 x0出发的受扰运动φ(t；x0，t0)的轨线都不越出域S(ε)，那么称原点平衡状态 xe=0是李雅普诺夫意义下稳定的。

② 渐近稳定
如果原点平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的,而且在时间t趋于无穷大时受扰运动φ(t；x0，t0)收敛到平衡状态xe=0,且此过程中，都不脱离S（ε），则称系统平衡状态是渐近稳定的。

从实用观点看，渐近稳定比稳定重要。

在应用中，确定渐近稳定性的最大范围是十分必要的，它能决定受扰运动为渐近稳定前提下初始扰动x0的最大允许范围。

③ 大范围渐近稳定
又称全局渐近稳定，是指当状态空间中的一切非零点取为初始扰动x0时，受扰运动φ(t；x0，t0)都为渐近稳定的一种情况。

在控制工程中总是希望系统具有大范围渐近稳定的特性。

系统为全局渐近稳定的必要条件是它在状态空间中只有一个平衡状态。

④ 不稳定
如果存在一个选定的球域S(ε)，不管把域S(δ)的半径取得多么小，在S(δ)内总存在至少一个点x0，使由这一状态出发的受扰运动轨线脱离域 S(ε),则称系统原点平衡状态xe=0是不稳定的。

2渐进稳定性
渐进稳定性就是对线性系统定义的稳定性，它要求由初态引起的响应最终衰减到零。

3、“小偏差”稳定性
“小偏差”稳定性又称“小偏差”或“局部稳定性”。

由于实际系统往往存在非线性，因此，系统的动力学往往是建立在“小偏差”线性变化的基础上的。

四、一些稳定判据
1、Routh（劳斯）稳定判据
它是根据系统特征方程式来判断特征根在S平面的位置，从而决定系统的稳定性.由于不必求解方程，为系统的稳定性
的判断带来了极大的便利。

2、Nyquist（乃奎斯特）稳定判据
设G(s)为系统开环传递函数，在G(s)中取s=jω得到系统开环频率响应G（jω）。

当参变量ω由0变化到+∞时，可在复数平面上画出 G（jω）随ω的变化轨迹，称为奈奎斯特图。

奈奎斯特稳定判据的基本形式表明，如果系统开环传递函数G(s)在s 复数平面的虚轴jω上既无极点又无零点，那么有 Z=P-2N Z是闭环控制系统的特征方程在右半s平面上根的个数，所谓特征方程是传递函数分母多项式为零的代数方程。

P是开环传递函数在右半s平面上的极点数。

N是当角频率由ω=0变化到ω=+∞时 G（jω）的轨迹沿逆时针方向围绕实轴上点(-1，j0)的次数。

奈奎斯特稳定判据还指出：Z=0时，闭环控制系统稳定；Z≠0时，闭环控制系统不稳定。

判据的推广形式。

当开环传递函数 G(s)在s复数平面的虚轴上存在极点或零点时，必须采用判据的推广形式才能对闭环系统稳定性作出正确的判断。

在推广形式判据中,开环频率响应G（jω）的奈奎斯特图不是按ω连续地由 0变到+∞ 来得到的，ω的变化路径如图所示，称为推广的奈奎斯特路径。

在这个路径中，当遇到位于虚轴上G(s)的极点（图中用×表示）时，要用半径很小的半圆从右侧绕过。

只要按这条路径来作出G(ω)从ω=0变化到ω=+∞时的奈奎斯特图，则Z=P-2N和关于稳定性的结论仍然成立。