第五章 系统的稳定性
例： 已知单位反馈系统开环传递函数 2 = GK s s- 1 试判别系统闭环后的稳定性 解：由GK(s)得，开环系统有 一正极点 ∴开环系统不稳定 P=1 GK(j)的N氏图如右。
GK(j)正向包围(-1,jo)点半圈 N = 1= P
=o (-1,jo)
Im
o =
L
第五章 系统的稳定性
D1=an-1>0
an-1 D2 = an an-3 >0 an-2
Dn>0
an-1 an-3 an-5 D3 = an-2 an-4 an-6 >0 0 an-1 an-3
Hurwitz行列式直接由系数排列，规律简单 而明确，因此，比列Routh表要简单些，使用也 较为方便，但对六阶以上的系统，由于行列式 计算麻烦，故应用较少。对于简单形式：
n = 2 : a2 > 0 n = 3 : a3 > 0 n = 4 : a4 > 0 a1 > 0 a2 > 0 a3 > 0 a0 > 0 a1 > 0 a2 > 0 a0 > 0 a1 > 0 a 2 a1 - a 0 a 3 > 0 a0 > 0
2 >0 a1 a 2 a 3 - a12 a 4 - a 0 a 3

1 ×3 - 1 ×5 = -2 1
2 + 2

5 0 0
-2 5
∵ 第一列符号改变两次
∴系统不稳定，有两个具有正实部的特征根。
第五章 系统的稳定性 2）Routh表某行元素全为零：（若第k行）
处理方法： a)以上一行（k-1）行的系数构成一个辅助方程 （阶次一般为偶数）Sn-k+2
b)对该辅助方程求导，所得系数代替k行 c)继续计算Routh表 该情况表示特征根中存在以原点对称的根 i) 存在一对绝对值相等的正负实根 ii) 一对共轭纯虚根 iii)两对复根，实部符号相异，虚部相同 这些根可由辅助方程求得。
§5-1 系统稳定性的基本概念
一、定义：
若控制系统在任何足够小的初
始偏差的作用下，其过渡过程
（输出）随着时间的推移，逐
图5-1
渐衰减并趋于零，具有恢复平 衡状态的能力，则称该系统为稳定。
二、系统稳定的充要条件
系统特征方程的全部特征根均具有负实部。
E X E
第五章 系统的稳定性
§5-2 Routh（劳斯）稳定判据
线性系统稳定的充要条件是其特征方程的所有
特征根均具有负实部。因此，判别系统稳定性需要
求特征根，当系统阶次较高时，求解较为困难。为
此，Routh提出用特征方程的系数来判别根的正负。
第五章 系统的稳定性
一、Routh判据
1．系统稳定的必要条件：
若系统特征方程为： D(s)=ansn +an-1sn-1 +…+a0=0 则全部特征根均具有负实部，必须：
第五章 系统的稳定性
s6 s5 s4 s3 s2
a6 a5 a4 a3
3
a2 a1
-
a0
0 0 0 0
A 1 = a 5 a 4- a 6 a a5 B1
=
A2 = a 5 a
a6 a 1 A = a 5 a o = a 3 0 a5 a5
2
A 1 a3 - a 5 A 2 A1 a 1- a 5 A 3 B2 = A1 A
一单位反馈系统的开环传递函数为 例： K = GK ( s ) (T1s+1 )(T2s+1 )(T3s+1 ) T1, T2，T3均大于0 试判别闭环系统的稳定性。
解：由GK(s)得，开环系统不存在极点落在s 平面的右边，即P=0 开环系统 稳定
-1 2
Im =p0 =0 Re
o
1
1）设GK(j)的N氏图如右：曲线①→K1由图可 知，N氏图不包围(-1,jo)点。 ∴此时系统闭环稳定
1
0 0
C1
=
B 1A 2 - A 1B 2 C = B 1 A 2 B1 B1
3
=
a0
s1 D = C 1 B 2 - B 1 C 2 1 C1
s0 E
=
0
0
0
0
0
0
D 1C 2 D1
= a0
第五章 系统的稳定性
∴判别系统稳定性步骤： 1）系数排成两行
an an-1
an-2 an-3
… …
每一行元素可以同时乘以或除以相同数 2）列出Routh表 3）由稳定判据判断稳定性 第一列符号无改变，系统无实部为正的 特征根→稳定 第一列符号改变n次，则有n个实部为正 的特征根→不稳定
s1
s0
0 0
2
第五章 系统的稳定性
第一列：3 10 4.7
－3.2 2
∵ 第一列符号改变两次 ∴ 系统不稳定，具有两个实部为正的特征根。 3．Routh判据的特殊情况 1）Routh表中某行第一列元素为零，其余列 元素不全为零， 则以很小的正数0
第五章 系统的稳定性
例： D(s)=s3 -3s+2=0 试判别系统的稳定性 s3 1 -3
an>0, an-1>0, …,a0>0
即特征方程各项系数ai >0
第五章 系统的稳定性
2．系统稳定的充要条件： Routh表第一列元素均不为零，且符号相同。 注：特征方程中实部为正的根的个数等于 Routh表中第一列元素符号改变的次数。 以六阶特征方程为例： D(s)=a6s6 +a5s5 +a4s4+a3s3 +a2s2+a1s1+a0=0
0(1)
1 1 ×6 - 3× =3 1
0(3)
1 ×8 - 0 = 8 1
s4+6s2 +8=0
求导得
4s3 +12s=0
s2
s1 s0
0
0 0
0
0 0
1 3
或s3+3s=0
0 0
0
∵ 第一列元素符号没有变化 ∴ 系统稳定
第五章 系统的稳定性
二、Hurwitz(赫尔维兹)判据
D(s)=ansn +an-1sn-1 +…+a0=0
第五章 系统的稳定性
例：设系统的特征方程为 D(s)=3s4+10s3+5s2+s+2=0 试判别系统稳定性 解：列Routh表： s4 3 s3
s2
5
2
10
× 5 - 3×1 10
10
4 .7 ×1 - 10 ×2
4 .7
1
= 4 .7
= - 3 .2
0
=2
×0 10× 2 - 3
10
0 0 0
第五章 系统的稳定性
例： D(s)=s6 +2s5 +8s4 +12s3 +20s2 +16s +16=0 s6 s5 s4 s3 1 2
2× 8 - 1 12 = 2(1) 2
8 12
2 ×20 - 16 = 12 2
20 16 16 0
×
(6)
16(8) 0
0 0
2s +12s2 +16=0
辅助方程 4 或
图5-5
2） 若GK(j)的N氏图包围(-1,jo)点，如曲线②→K2 则系统闭环不稳定 K1K2 放大倍数增大，系统由稳定不稳定
第五章 系统的稳定性
§5-4 系统的相对稳定性
一、Bode判据—N氏判据的引申
由于Bode图和N氏图存在下面的对应关系，因 此可在Bode图上应用N氏稳定性判据来判别闭环系 统的稳定性。
第五章 系统的稳定性
§5-1 系统稳定性的基本概念 §5-2 Routh（劳斯）稳定判据 §5-3 Nyquist稳定判据 §5-4 系统的相对稳定性
第五章 系统的稳定性
主要内容：
1．系统稳定性的概念 2．Routh(劳斯)稳定判据 3．Nyquist(N氏)稳定判据 4．系统的相对稳定性
第五章 系统的稳定性
第五章 系统的稳定性
3. 开环的N氏图对实轴是对称的，因为当 ω由 -ω 变 到 +ω 时， G(-jω)H -jω 与G(jω)H jω 的模相同，而相位相 异，即 G(-jω)H -jω = G(jω)H jω
-G(-jω)H -jω = G(jω)H jω
所以， ω由 - ∞到0与由0到 + ∞ 的开环N氏图对实轴 对称。因而一般只需绘出 ω由0到 + ∞ 的曲线即可判 断系统的稳定性。也就是当开环N氏图在ω由0到 + ∞ 的轨迹包含（-1，j0）点P/2圈则系统稳定（P为开环在 右半平面的极点数）。 4. 系统传递函数分母反映系统本身的固有特性。
极坐标图中单位圆外的部分，|GK(j)|>1，对应 Bode中20lg|GK(j)|>0，0dB线以上。
第五章 系统的稳定性
3）N氏图上，曲线正、负穿越[-1,-]段实轴， 对应对数相频上正、负穿越-180相频线。
() Im
-1 2 -1
-1
+
1 2
(-1,jo)
0 Re o

1 + 2 -1 2
s2
s1 s0
0()
-3-2
2
0 0

2
∵ 第一列符号改变两次 ∴系统不稳定，有两个具有正实部的特征根。
第五章 系统的稳定性
例：D(s)=s5 +s4 +2s3 +2s25 s4 s3 s2 s1 s0
1 1
1 ×2 - 1 ×2 = 0( ) 1