是第8章小波变换在图像去噪与图像增强中的应用本章集中讨论小波在图像去噪与图像增强中的应用，首先研究基于小波的图像去噪方法。
设原图像（即待恢复的图像）为[]{},:,,,f i j i j I N =,被噪声污杂的图像（即观察到的图像）为[]{},:,,,g i j i j I N =，并设[][][],,,,,,,g i j f i j i j i j I N ε=+= (0.1)其中[],i j ε是噪声分量，独立同分布于()20,N πσ，且与[],f i j 独立，去噪的目的是得到[],f i j 的估计[]ˆ,f i j ，使其均方误差（MSE ）最小，其中[][]()22,,11ˆ,,N i j MSE f i j f i j N ==-∑(0.2)在小波域，利用正交小波变换，（8.1）式变换后既得[][][],,,,,1,,Y i j X i j V i j i j N =+= (0.3)其中Y [],i j 是有噪小波系数，X [],i j 是无噪小波系数，为简单记并考虑到实际问 题的需要，本章对噪声的讨论仅限于加性的高斯白噪声，即V [],i j 为互相独立、与()20,N πσ同分布的噪声分量。
图像去噪在信号处理中是一个经典的问题，传统的去噪方法多采用平均或线性方常用的是Wiener 滤波，但是去噪效果不够好，随着小波理论日趋完善，它以其自身良好的时频特性在图像、信号去噪领域法进行，受到越来越多的关注，开辟了用非线性方法去噪的先河，具体来说，小波去噪的成功主要得益于小波变换有如下特点：低熵性。
小波系数的稀疏分布，使图像变换后的熵降低；多分辩率特性，由于采用了多分辩率的方法，所以可以非常好地刻画信号的非平稳特征，如边缘、尖峰、断点等，可在不同分辩率下根据信号和噪声分布的特点去噪；去相关性。
因小波变换可对信号去相关，且噪声在变换后有白化趋势，所以小波域比时域更利于去噪；选基灵活性。
由于小波变换可以灵活选择基，也可根据信号特点和去噪要求选择多带小波、小波包、平移不变小波等，对不同场合，可以选择不同的小波母函数。
因此，本章重点讨论基于各种小波变换的去噪方法。
8．1信号的奇异性检测与小波模极大值信号（或函数）的奇异性是指信号（或函数）在某处有间断或某阶导数不连续。
显然，无限次可导的函数是光滑的或者说是没有奇异性，奇异点（即突变点）通常包含了信号的重要特征。
在数学上，某信号的奇异性通常可以通过Lipschitz 指数（或奇异指数）来度量。
在小波出现之前，通常用Fourier 变换研究信号在某处有间断、有奇异性的情况，根据信号的Fourier 变换衰减的速度来确定该信号有无奇异性并判断奇异性的大小。
由于Fourier 变换对信号的表示缺乏空间局部性，因而Fourier 变换只能确定信号奇异性的整体性质，无法确定奇异点的空间分布。
而小波变换具有时频局部化特性，能够有效地分析信号的奇异点的位置与奇异性的大小。
S.Mallat 在1992年将Lipschitz 指数与小波变换后系数模的局部极大值联系起来，通过小波变换后局部极大值在不同尺度上的衰减速度来衡量信号的局部奇异性，基于小波变换的信号奇异性检测可以应用于故障诊断、图像的多尺度边缘提取、信号恢复和去噪、语音基因周期检测等领域。
定义8.1设()()2f x L R ∈，称函数()f x 在0x 处具有Lipschitz 指数a ，是指对0x Bx ∀∈（0Bx 是0x 的任意开邻域），存在常数K ，使得|()f x -()0f x |0||a K x x -由定义可知，阶跃信号在突变点处Lipschitz 指数a 为0，脉冲函数在冲击处的Lipschitz 指数为负值，a 越大，函数越光滑，奇异性越小；反之，a 越小表明函数在该点处变换越剧烈，也就是奇异性越大。
例如，()f x 在0x 处可导，则a=1. ()f x 在0x 处不可导，但是在其一个邻域内是有界的，则a=0. 下面通过函数在不同尺度上的小波变换系数的绝对值来衡量函数的Lipschitz 指数。
定理8.1若小波()x ψ是实函数且连续可微，并具有n 价消失矩(),n z +∈()()2f x L R ∈，则函数()f x 在0x 处具有Lipschitz 指数a ，当且仅当存在常数K ，使得0x Bx ∀∈，其小波变换满足()2||2j ja W f x K ≤(0.4)设0x 是函数()f x 局部突变点（奇异点），则在该点处()f x 的小波变换取模极大值。
上述定理表明，若a>0,随着尺度的减小，小波变换后系数模的极大值也减小；若a<0，则随着尺度的减小，小波变换后系数模的极大值反而增大，它表明信号比不连续（且有界，a=0）更加奇异，这就是噪声对应的情况。
对于白噪声，可以证明它是一个几乎处处奇异的随机分布且具有负的Lipschitz指数1,02a εε=--∀>。
设()x π是一个方差为2σ的白噪声，则尺度s 上的小波变换系数Wn(s,x)满足()()()()()2,s s wn s x n u n r x u x r dudr ψψ+∞+∞-∞-∞=--⎰⎰(0.5)由于()()()2E n u n r u r σδ=-⎡⎤⎣⎦可得()()()()()2222(,)s s E wn s x n u n r x u x r dudr sσψψψ+∞+∞-∞-∞=--=⎰⎰(0.6)由上式可知，()2(,)E wn s x 和尺度s 成反比，因此，随着尺度的减少，如果某些小波变换模极大值点的模急剧递增，则信号在这些模极大值点上具有负的Lipschitz 指数，也就是它们几乎被噪声控制。
另外，小波变换的模极大值点的平均密度为()()()212212212s d s ψψπψψ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭(0.7)其中。
()()12,ψψ分别是小波()x ψ的一阶和二阶导数，由（8.7）式可知，小波系数模极大值的密度d S 也与s 成反比，所以，取尺度s=2j,j=1,2,3,…,随着尺度的增大，至少有一半的模极大值点不能传递到较大尺度上，即在某个尺度2j 上是模极大值点，但在较大尺度2j ＋1上不是模极大值点，从而，可以认为那些不能从一个尺度上传递到较大尺度上的模极大值点也是由噪声控制的。
因此，（8.6）和（8.7）式成为区分信号和噪声在多尺度空间中模极大值传播行为的重要特征之一，也是小波方法应用于信号去噪的重要理论依据，可以利用多尺度边缘重建算法恢复原始信号，达到去噪的目的。
8.2阈值去噪方法小波去噪方法中最早被提出的是小波阈值去噪方法，它是一种实现简单而效果较好的去噪方法。
最早的阈值去噪方法为Donoho 提出的VisuShrink 方法。
阈值去噪的思想很简单，就是在小波分解后的各层系数中，对模大于和小于某阈值T 的系数分别处理，然后对处理完的小波系数再反变换重构出一幅经去噪后的图像。
8.2.1阈值函数的选取在阈值去噪中，阈值函数体现了对超低和低于阈值的小波系数模的不同处理策略以及不同估计方法，设ψ是原始小波系数，η（ψ）表示阈值化后的小波系数，T 是阈值，(){1,0,X X I x =是真是假代表示性函数，常用的阈值函数有： （a ） 硬阈值函数（见图8-1（a ））()()||T ηωωω=I >(0.8)（b ） 软阈值函数（见图8-1（b ））()()()sgn T)||T ηωωωω=-I >（(0.9)在图8.1中，横坐标表示信号（或图像）的原始小波系数，纵座标表示阈值化后的小波系数。
A.G.Bruce 分析了软、硬阈值萎缩方法在高斯噪声条件下的偏差、方差及L 2风险公式，并得出以下结论○1给定阈值T ，软阈值总比硬阈值萎缩造成的方差小； ○2当系数充分大时，软阈值比硬阈值方差造成的偏差大； ○3当系数在T 附近时，硬阈值方法有较大的方差、L 2风险及偏差；两种方法在系数较小时，L 2风险都很小。
因此，硬阈值方法可以很好地保留图像边缘等局部特征，但图像会出现振铃、伪吉布斯效应等视觉失真，而软阈值处理相对要平滑，但可能会造成边缘模糊等失真现象，为了克服硬阈值方法的上述缺陷，Gao 等提出了一种半软阈值函数（见图8-1（c ）），可以兼顾软阈值和硬阈值方法的优点，其表达式如下：()()()()2112221T ||T sgn I(T ||T )||T T T ωηωωωωω-=<<+I >-(0.10)其中120T T <<虽然半软阈值方法能表现出较好的去噪效果，但是它将要估计两个阈值，实现起来较困难，因此这个缺点限制了它的应用。
另外，Zhang 在软阈值的基础上，对其改进使其具有更高价（见图8-1（d ））：()()2k 12kTT ,T 2k 11,||T 2k 1T TT ,T 2k 1ωωηωωωωω+⎧+-<-⎪+⎪⎪=≤⎨+⎪⎪-+>⎪⎩+ (0.11)可以看出它在噪声（小波系数）与有用信号（小波系数）之间存在一个平滑过渡区，更符合自然图像的连续特性。
目前，关于阈值函数的研究不多，现在小波阈值去噪法中最常用的是软阈值函数。
8.2.2阈值的估计小波阈值去噪方法除了阈值函数的选取，另一个关键因素是对阈值的具体估计，如果阈值太小，去噪后的信号仍然有噪声的存在；相反，阈值太大，重要图像特征又将被过滤掉，引起偏差，从直观上看，对于给定的小波系数，噪声越大，阈值就越大，以下介绍几种经典的阈值估计方法。
（1） Visushrink 阈值最早的小波阈值去噪方法是Donoho 在1994年提出的VisuShrink 方法（或称统一阈值去噪方法）。
它是针对多维独立正态变量联合分布，在维数趋向无穷时得出的结论，是基于最小最大估计得出的最优阈值。
阈值T 的选择满足T σ=其中πσ是噪声标准方差，N 是信号的长度。
Donoho 证明了这种估计在信号属于Besov 集时，在大量风险函数下获得近似理想的去噪风险，而现实生活的大 部分信号、图像都近似可由Besov 集建模。
然而由于这种阈值与信号的长度N 相关，当N 较大时，阈值趋向于将所有的小波系数值零，这就往往产生“过扼杀”系数的现象，虽然该方法有很好的理论支撑，但实际应用效果并不好，有人分析其根本原因在于这一准则是用渐近分析的手段推出来的，但对于实际问题而言，图像复杂性相对于尺寸是很重要的。
（2） SUREShrink 阈值SUREShrink 阈值估计方法是在SURE （Stein ’s Unbiased Risk Estimation ）准则下得到的阈值，该准则是均方差准则的无偏估计，它是专门针对软阈值函数得出的结论，且SURE 阈值趋近于理想阈值。