2007年女子数学奥林匹克第一天1．设m 为正整数，如果存在某个正整数n ，使得m 可以表示为n 和n 的正约数个数（包括1和自身）的商，则称m 是“好数”。

求证： （1）1，2，…，17都是好数； （2）18不是好数。

2．设△ABC 是锐角三角形，点D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上，线段AD 、BE 、CF 经过△ABC 的外心O 。

已知以下六个比值DC BD 、EA CE 、FB AF 、FA BF 、EC AE 、DBCD中至少有两个是整数。

求证：△ABC 是等腰三角形。

3．设整数)3(>n n ，非负实数.2,,,2121=+++n n a a a a a a 满足 求11121232221++++++a a a a a a n 的最小值。

4．平面内)3(≥n n 个点组成集合S ，P 是此平面内m 条直线组成的集合，满足S 关于P 中的每一条直线对称。

求证：n m ≤，并问等号何时成立？第二天5．设D 是△ABC 内的一点，满足∠DAC=∠DCA=30°，∠DBA=60°，E 是边BC 的中 点，F 是边AC 的三等分点，满足AF=2FC 。

求证：DE ⊥EF 。

6．已知a 、b 、c ≥0，.1=++c b a 求证：.3)(412≤++-+c b c b a7．给定绝对值都不大于10的整数a 、b 、c ，三次多项式c bx ax x x f +++=23)(满足条件32:.0001.0|)32(|+<+问f 是否一定是这个多项式的根？8．n 个棋手参加象棋比赛，每两个棋手比赛一局。

规定：胜者得1分，负者得0分，平局各得0.5分。

如果赛后发现任何m 个棋手中都有一个棋手胜了其余m —1个棋手，也有一个棋手输给了其余m —1个棋手，就称此赛况具有性质P (m ).对给定的)4(≥m m ，求n 的最小值)(m f ，使得对具有性质)(m P 的任何赛况，都有所有n 名棋手的得分各不相同。

综上，最少取出11枚棋子，才可能满足要求。

三、定义集合}.,|1{P k m k m A ∈∈+=+N 由于对任意的k 、11,,++≠∈i k i k P i 且是无理数，则对任意的k 1、P k ∈2和正整数m 1、m 2，.,1121212211k k m m k m k m ==⇔+=+注意到A 是一个无穷集。

现将A 中的元素按从小到大的顺序排成一个无穷数列。

对于任意的正整数n ，设此数列中的第n 项为.1+k接下来确定n 与m 、k 间的关系。

若.11,1111++≤+≤+i k mm k m i m 则由m 1是正整数知，对5,4,3,2,1=i ，满足这个条件的m 1的个数为].11[++i k m从而，).,(]11[51k m f i k mn i =++=∑=因此，对任意.),(,,,n k m f P k N m N n =∈∈∈++使得存在参考答案第一天1．记)(n d 为正整数n 的正约数的个数。

（1）因为)17,13,11,7,5,3()8(8==p p d pp ，又 ,)128(12816,)360(36015,)252(25214,)240(24012,)180(18010,)108(1089,)96(968,)72(726,)36(364,)8(82,)2(21d d d d d d d d d d d ===========所以，1，2，…，17都是好数。

（2）假设存在正整数n ，使得.18)(=n d n① 则可设),,2,1(,,103021k i p k p p n i k =⋅=其中ααβα是大于3的相异质数，).,,2,1(1,2,100k i i =≥≥≥αβα令.0,0.2,100≥≥=-=-b a b a 显然βα 由式①得k p p a ak a b a 131⋅=).1()1)(3)(2(1++++k b a αα ②由于对任意质数1+≥i ai i i p p α都有，从而，.32)3)(2(b a b a ≥++如果).3(33,3+>≥b b b则 而),2(212,0+≥≥a a a时则.4,3,2,1,0,0;2,1,0,1;0,2,.2.),3)(2(2332======≤++>a b a b a b b b a b a 因此故矛盾（i ）当0,2==a b 时，式②为).1()1(1013112+++=k ak a k p p αα（ii ）当2,1,0,1==a b 时，式②为).1()1)(2(2123121+++=⋅k ak a a a k p p αα（iii ）当4,3,2,1,0,0==a b 时，式②为).1()1)(2(31211+++=k a kj a a a k p p αα（i ）（ii ）（ii ）均不成立。

综上，18不是好数。

2．从六个比值中取出两个，共有两种类型： （1）涉及同一边；（2）涉及不同的边。

（1）如果同一边上的两个比值同时是整数，不妨设为DC BD 、.DBCD因它们互为倒数，又同是整数，所以，必须都取1，则BD=DC 。

由于O 是△ABC 的外心，进而得AD 是边BC 的中垂线。

于是，AB=AC 。

（2）记∠CAB=α，∠ABC=β，∠BCA=γ。

因为△ABC 是锐角三角形，所以， ∠BOC=2α，∠COA=2β，∠AOB=2γ。

于是，.2sin 2sin βγ==∆∆OAC OAB S S DC BD 同理，.2sin 2sin ,2sin 2sin αβγα==FB AE EA CE 若上述六个比值中有两个同时是整数且涉及不同的边时，则存在整数m 、n ，使得z n y z m x 2sin 2sin 2sin 2sin ==且 ①或y n z x m z 2sin 2sin 2sin 2sin ==且， ② 其中，x 、y 、z 是α、β、γ的某种排列。

以下构造△A 1B 1C 1，使得它的三个内角分别为180°—2α，180°—2β，180°—2γ。

如图1， 过点A 、B 、C 分别作△ABC 外接圆的切线，所围成的△A 1B 1C 1即满足要求。

根据正弦定理，知△A 1B 1C 1的三边与α2sin 、β2sin 、γ2sin 成正比。

在式①、②两种情况下，可知其三边之比分别为1:m:n 或m: n: mn.对于式①，由三角形两边之和大于第三边，可知必须m = n ；对于式②，要保证1)1)(1(,<-->+n m mn n m 即，由此，m 、n 中必有一个为1。

无论哪种情况，都有△A 1B 1C 1是等腰三角形。

因此，△ABC 也是等腰三角形。

3．由=++n a a a 212，知问题等价于求.111111212123232222212123222211的最大值++++++=+-+++-++-a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n因为0,0,,212≥>≥+y x x x 当所以时，.,0;211,12,1121222222上式也成立时当即=≤++≥+≥x xy x yx x yx x yx x x .)()(4),,,(:.)()(4),4(0,,,,).(2111122111322121221113221211322121212323222221n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a f a a a a a a a a a a a n a a a a a a a a a a a a a a a a a a +++-++++=+++≤++++≥≥+++≤++++++-- 设引理的证明则若引理故下面用数学归纳法证明.0),,,(21≤n a a a f ①当4=n 时，不等式①等价.)())((4243214231a a a a a a a a +++≤++由平均值不等式知，命题成立。

假设不等式①对)4(≥=k k n 时成立。

对于1+=k n ，不妨设).,,,,(),,,(,0])[(4])()([4),,,,(),,,(},,,,min{1121121111111111111121121121+-++-++-++-+-+++≤≤+--=+-+-++=+-=k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k a a a a a f a a a f a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a f a a a f a a a a 即则由归纳假设知，上式右边小于或等于0，即当1+=k n 时，不等式①成立。

回到原题。

由引理知即故,21111.21281)(81)(2121212323222221222113221≤++++++=⨯=+++≤+++a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n .,0,1.2311132121232221上式取等号时当=====≥++++++n n a a a a a a a a a a因此，所以最小值为.234．（1）记S 中的n 个点为A 1，A 2，…，A n . 建立直角坐标系，设).,,2,1)(,(n i y x A i i i =易证.)1,1(0111∑∑∑===⇔=ni n i ni i i i y n x n B BA这说明，平面内存在唯一的一点B ，使.01=∑=ni iBA我们称B 为点集S 的“质心”。

如果任取P 中一条直线l 为x 轴，建立直角坐标系，则.01∑==ni iy故点B 在l 上。

即P 中每一条直线均过质心B 。

（2）设}.|),,{(},|),,{(},,,,|),,({21上在对称关于与三元有序组l X F l Y X F Y X F l Y X F l Y X P l S Y X l Y X F ∈=≠∈=∈∈=显然，.,2121φ==F F F F F ①考虑P 中任一直线l ，X 为S 中任一点，X 关于l 的对称点Y 是唯一的。

即对每一个l ，三元有序组（X ，Y ，l ）有n 个，故.||mn F = ②对于F 1中的三元有序组（X ，Y ，l ），因为不同的两点X 、Y 的对称轴只有1条，所以，).1(22-==n n C n ③（i ）当S 中任一点至多在P 中的一条直线l 上时，.}|{||2n S X X F =∈≤ ④由式①、②、③、④得.,)1(n m n n n mn ≤+-≤即（ii ）当S 中存在一点同时在P 中的两条直线上时，由（1）所证，此点即为质点B 。