个性化教学辅导教案学科: 数学任课教师：周老师授课时间：年月日(星期) - 姓名年级：高一教学课题函数的概念及其表示阶段基础（）提高（√）巩固（）计划课时第（）次课共（）次课教学目标知识点：考点：方法：重点难点重点：难点：教学内容与教学过程课前检查作业完成情况：优□良□中□差□建议__________________________________________一、函数的基本概念1.映射:设BA、是两个非空的集合,如果按照某种对应关系f,对于集合A的任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,这样的对应叫做从集合A到集合B的映射,记作BAf→：.(包括集合BA，及A到B的对应法则)对映射概念的认识(1)BAf→：与ABf→：是不同的,即A与B上有序的.或者说：映射是有方向的.(2)集合BA、可以是数集,也可以是点集或其它类型的集合.(3)集合A中每一个输入值,在集合B中必定存在唯一输出值.输出值的集合是集合B的子集.即集合B中可能有元素在集合A中找不到对应的输入值.即：(i)不允许集合A中有空余元素； (ii)允许集合B中有剩留元素；(iii)允许多对一，不允许一对多.2.函数：设BA、是两个非空数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数)(xf和它对应。

称BAf→：为从集合A到集合B的一个函数,记作：Axxfy∈=,)((1)函数的定义域、值域：在函数Axxfy∈=,)(中，x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值{}Axxf∈)(的集合B叫做函数的值域.注意:(i)函数符号)(xfy=与)(xf的含义是一样的；都表示y是x的函数,其中x是自变量,)(xf是函数值,连接的纽带是法则f。

f是单值对应。

(ii)定义中的集合BA，都是非空的数集,而不能是其他集合；(2)一个函数的构成要素：定义域、值域和对应关系(3)相等函数：两函数定义域相同,且对应关系一致,则这两函数为相等函数。

注: 两个函数的定义域与值域相同,这两函数不一定是相等函数。

如:函数x y =和1+=x y ,其定义域与值域完全相同，但不是相等函数； x y sin =与x y cos =，其定义域为R ，值域都为[-1,1]，显然不是相等函数。

因此判断两个函数是否相等，关键是看定义域和对应关系 (4)函数的表示方法：表示函数的常用解析法、图象法和列表法。

(5)分段函数:若函数在其定义域的不同子集上,因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数。

分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数。

(6)复合函数:设)()(x g u u f y ==，,当x 在)(x g u =的定义域中变化时,)(x g u =的值在)(u f y =的定义域Df 内变化,因此变量x 与y 之间通过变量u 形成的一种函数关系,记为：)]([)(x g f u f y ==称为复合函数,其中x 称为自变量,u 为中间变量，y 为因变量(即函数)。

如：设2)(32)(2+=-=x x g x x f ，则称)])([)](([x f g x g f 或为复合函数。

111242)32()]([123)2(2)]([2222+-=++=+=-+=x x x x f g x x x g f ；例1、下列各对函数中，相同的是（ ）A 、xx x g x x f 2)(,)(== B 、33)(,)(x x g x x f ==C 、 2)()(,)(x x g x x f ==D 、x x g x x f ==)()(2，例2、}30|{},20|{≤≤=≤≤=y y N x x M 给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有（ ）A 、 0个B 、 1个C 、 2个D 、3个例3、下列图象中不能作为函数图象的是（ ） xxxx1 2 1 1 1 2 2 2 11112 2 2 2 y y yy 3 OOOO二、函数的解析式与定义域1、求函数定义域的主要依据： （1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；例1：求下列函数的定义域。

(1) f(x)=232--x x ； (2) f(x)=29x -； (3) f(x)=1+x －xx-2；2、求函数定义域的两个难点问题复合函数的定义域求法： （1）已知)(x f 的定义域为),(b a ，求)]([x g f 的定义域；求法：由b x a <<，知b x g a <<)(，解得的x 的取值范围即是)]([x g f 的定义域。

（2）已知)]([x g f 的定义域为),(b a ，求)(x f 的定义域；求法：由b x a <<，得)(x g 的取值范围即是)(x f 的定义域。

例2：已知)(x f 的定义域为[0,1]，求)1(+x f 的定义域。

例3、()x 已知f 的定义域是[-2,5],求f(2x+3)的定义域。

例4、(21)x x 已知f －的定义域是[-1,3],求f()的定义域。

例5．已知)1(-x f 的定义域为[-1,0]，求)1(+x f 的定义域。

【变式训练】（1）已知函数f(x)的定义域为[0，1]，求2(1)f x +的定义域；（2）已知函数f(2x-1)的定义域为[0，1]，求f(1-3x)的定义域三、函数值域求法：1.直接观察法:对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。

2.配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）；3.换元法（无理函数，部分三角函数；形如c x bf x af y ++=)()(2的函数） 4.分离常数法5.变量反表示法（利用变量及已学过函数的有界性，来确定函数的值域。

）6.判别式法（ 形如)0,(2122221121不同时为a a c x b x a c x b x a y ++++=分式函数）7.函数的单调性法：a.形如d cx b ax y +++=，若0>ac 用单调性法，0<ac 用换元法；b.形如 )0(>+=k xkx y 若x k x 与不能相等，用单调性法，x k x 与能相等，用不等式法（特别关注 )0(>+=k xkx y 的图象及性质） 8.不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如)0(>+=k xkx y 型函数，当x k x 与不能相等时必须用函数单调性） 9.数形结合法例．（直接法）2123y x x =++ 2．（直接法）2()2242f x x x =-+-3．（换元法）12-+-=x x y 4. （Δ法） 432+=x xy5. （Δ法）11y 22+-=x x 6. (分离常数法) ①1+=x x y ②31(24)21x y x x -=-≤≤+7. (单调性)3([1,3])2y x x x=-∈- 8.①111y x x =+--，②11y x x =+-- (结合分子/分母有理化的数学方法)9．（数形结合)232(12)y x x x =+--<≤四、求函数的解析式：常见的求函数解析式的方法有待定系数法、换元法、消去法。

例1．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求函数f(x)的解析式。

（待定系数法）例2．已知f(2x+1)=3x-2，求函数f(x)的解析式。

（换元法）例3．已知函数f(x)满足1()2()f x f x x-=，求函数f(x)的解析式。

（消去法）【巩固练习】一、选择题1. 下列四组函数中，表示同一函数的一组是（ ）A ．1xy y x==与B ．()22y x y x ==与C ． 01y x y ==与D ． 2x x y x y x x ⎧≥⎪==⎨-<⎪⎩与2. 下列图形中，是函数的图象的有（ ）A BC D3. 已知函数x x y 22-=的定义域为{}3,2,1,0，那么其值域为（ ）A ．{}1,0,3-B ．{}0,1,2,3C ．{}13y y -≤≤ D ．{}03y y ≤≤4. 设:f A B →是集合A 到B 的映射，那么下列命题中是真命题的是（ ）A ． A 中任何两个不同的元素必有不同的象B ． A 中任何一个元素在B 中的象是唯一的C ． B 中任何一个元素在A 中必有原象D ． B 中一定存在元素在A 中没有原象5. 已知函数53()8,f x x ax bx =+++且(2)10f -=,那么(2)f 等于（ ） A ．18-B ．6C ．10-D ．106. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<=>=,0,0,0,,0,)(2x x x x x f π那么(){}3f f f -⎡⎤⎣⎦的值等于（ ）A ．0B ．πC ．2πD ．9二、填空题 7. 函数35-+=x x y 的定义域为___________． 8. 已知函数22)(x x f =，则)(x f -=___________，)1(x f +=__________.O y x O y xO y xOyx9. 若⎩⎨⎧>-≤=,0 ,21,0,)(x x x x x f 则=)3(f ，[(1)]f f =______．10. 已知]1[)(+=x x f ，求)2.3(f = ，)1.5(-f = ． 注：[x]表示不超过x 的最大整数，如：[4.1]=4；[3]=3；[-2.1]=-3 三、解答题11. 已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+,求()f x ．12. 已知函数2(2)f x x +=，求)(x f ．13 . 已知()f x 是二次函数，且x x x f x f 42)1()1(2-=-++,求()f x ．能力题14. （1）已知函数()y f x =的定义域为()0,4，则函数2()y f x =的定义域为___________．（2）已知函数2()y f x =的定义域为()0,4，则()y f x =的定义域为____________．15. 若()f x 的定义域为{|0,}x x x R >∈，且()()()f x y f x f y +=+，若(3)1f =，则(9)f =________．课后 巩固 作业________________________________; 巩固复习_______________________________; 预习布置____________________________签字 学科组长签字： 学习管理师: 老师 课后 赏识 评价 老师最欣赏的地方：老师的建议 备注。