Fn m
F引 mg
ω
■ 要点总结
1．对万有引力和重力的关系要注意以下几点： (1)在地面上，忽略地球自转时，认为物体的向心力为零，各 位置均有 mg≈GRM2m； (2)若考虑地球自转，对在赤道上的物体，有GRM2m－FN＝F 向， 其中 FN 大小等于 mg，对处于南北两极的物体，则有 GRM2m＝mg. 2．在地球上所有只在重力作用下的运动形式，如自由落体运 动、竖直上抛运动、平抛运动、斜抛运动等，其运动规律和 研究方法同样适用于在其他星球表面的同类运动的分析，只 是当地重力加速度取值不同而已．
解决天体问题的两条基本思路
万 有
思路一：天体表面重 力近似等于万有引力
引
mg

G
Mm R2
力 思路二：天体运动中，万有引力提供物体圆
定 周运动向心力
律 的 应 用
Mm
F向 G G Mm
r2
R2 m
v2 r

m 2r

m ( 4 2 T2
)r

man
由环绕天体v、ω、r中任意
两个量可求解中心天体质量
导师 观测 数据
第谷(1546-1601)
开普勒(1571-1630) 笛卡尔(1596-1650)
伽利略(1564-1642)
牛顿(1643-1727)
一、开普勒的行星运动规律
开普勒第一定律：所有的行星围绕太阳运动的 轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆一个焦点上。 开普勒第二定律：对于每一个行星而言，太阳 和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积。 开普勒第三定律：所有行量轨道半长轴的三次 方跟公转周期的二次方的比值都相等。
卡文迪许扭秤实验
G
M 地m R地 2
mg
M地
gR地2 G
三、万有引力在天文学上的应用
引力和重力： Fn F引 mg
r
M
Fn m2r F引
(1)当物体在赤道上:
G
Mm R2
R
F引、G、Fn三力同向
此时向心力达到最大值，重力达到最小值
(2)当物体在两极时:
Fn =0，F引 =G
此时重力等于万有引力，重力达到最大值
则 R＝r，有 ρ＝G3Tπ2.由上式可知，只要用实验方法测出卫星(或行星)做圆周运动 的半径 r 及运行周期 T，就可以算出中心天体的质量 M.若再知道中心天体的半 径，则可算出中心天体的密度．
2．利用天体表面的重力加速度 g 和天体半径 R，可得天体质量 M＝gGR2，天体密度 ρ＝MV＝43πMR3＝4π3GgR.
h —离地面的高度
考点：万有引力及其与重力的关系
1.万有引力的特点：两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，它们大小相等，方向相反 且沿两物体的连线，分别作用在两个物体上，其作用效果一般不同． 2．万有引力的一般应用：主要涉及万有引力的基本计算、天体质量和密度的计算等．在这类问题 的分析中应注意：
3、环绕天体的绕行速度、角速度、周期与半
径的关系
Mm v2
G
r2
m r
v G M r 越大,v越小 r
G
Mm r2

m
2r
G M r 越大,ω越小
r3
G
Mm r2

42
m T2
r
T 4 2 r 3 r 越大,T越大
GM
G
Mm r2
man
a GM r2
r 越大,a越小
2、重力加速度g
(1)天体表面的重力加速度为
mg

G
Mm R2
g GM R2
GM gR2
黄金代换
(2)离表面某一高度的物体的重力加速度
(轨道重力加速度)
Mm
G (R
h)2
mg' r
g'
GM (R h)2
R —星球半径

r
—运行轨道 (到地心的距离)
P72热点一 人造卫星圆周轨道运行规律
三、宇宙速度
1、第一宇宙速度:v =7.9km/s，是物体在地球 表面做匀速圆周运动的速度,又叫环绕速度。 2、第二宇宙速度：v =11.2km/s，是物体克服 地球引力，永远离开地球的最小发射速度， 也称为脱离速度。 3、第三宇宙速度：v =16.7km/s，是物体挣脱 太阳引力束缚，飞到太阳系外的最小发射速 度。也成为逃逸速度。
a3 k T2
比值k是一个与太阳质量 有关,与行星无关的常量
R13 T12

R 23 T22
( R1 )3 ( T1 )2
R2
T2
R3 k T2
二、万有引力定律
宇宙间的一切物体都是相互吸引的，两个
物体间的引力大小与它们的质量的乘积成正 比，跟它们距离的平方成反比。
F G m1m2 G 6.6 7 1 1 0N 1m 2/k2 g r2
1.利用(卫)行星绕中心天体做匀速圆周运动求中心天体的质量 计算天体的质量和密度问题的关键是明确中心天体对它的卫星(或行星)的引力 就是卫星(或行星)绕中心天体做匀速圆周运动的向心力．由 GMr2m＝m4Tπ22r， 解得 M＝4GπT2r23；ρ＝MV ＝43πMR3＝G3Tπ2rR3 3，R 为中心天体的半径，若为近地卫星，
(1)万有引力公式 F＝Gmr1m2 2中的 r 应为两物体球心间距，如果某一物体内部存在球形空腔，则宜采 取“割补法”分析； (2)对于万有引力提供向心力情景下的天体运动，根据万有引力定律和牛顿第二定律有 Gmr1m2 2＝m1a，且 a＝ω2r＝vr2＝2Tπ2r. 3．在地球或其他天体表面及某一高度处的重力加速度的计算：设天体表面重力加速度为 g，天体 半径为 R，忽略天体自转，则有 mg＝GMRm2 ，得 g＝GRM2 或 GM＝gR2； 若物体距天体表面的高度为 h，则重力 mg′＝G（RM＋mh）2，得 g′＝（RG＋Mh）2＝（R＋R2h）2g.
1、由环绕天体求解中心天体的质量及密度
GM r2 mm(2T)2r
M

4 2r3
GT 2
V 4 R3
3


M V

3 r 3
GT 2R3
r为环绕半径 R为中心天体的半径
当环绕天体在中心 天体的表面运行时


3
GT 2
mg

G
Mm R2
M gR2 G
3g 4 RG
考点：天体质量及密度的计算
发射速度v
运动情况
v﹤7.9km/s
物体落回地面
v=7.9km/s 7.9km/s﹤v﹤11.2km/s
物体在地面附近绕 地做匀速圆周运动 物体绕地球运转， 运动轨迹是椭圆
11.2km/s≦ v﹤16.7km/s 物体绕太阳运动