一、线性矩阵不等式的LMI 工具箱求解
（一）可行性问题（LMIP ）
1、可行性问题描述
系统状态方程：
[]11223301000210-4014x x x x u x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
&&&
在判断系统的稳定性时，根据线性定常系统的雅普诺夫稳定性判据，需要判断是否存在实对称矩阵P ，使得：
T A P+PA=Q -
成立，其中Q 为正定矩阵。

那么判断系统稳定性的问题，可以转化为下面不等式是否存在解的问题：
T A P+PA<0
这种不等式解是否存在的问题可以用MATLAB 的LMI 工具箱进行判断。

2、仿真所需要用到的命令
setlmis([]) ：开始一个线性矩阵不等式系统的描述；
X= lmivar(TYPE,STRUCT)：定义一个新的矩阵变量；
lmiterm(TERMID,A,B,FLAG)：确定线性矩阵不等式的一个项的容；
LMISYS = getlmis ：结束一个线性矩阵不等式系统的描述，返回这个现行矩阵不等式系统的部表示向量LMISYS ；
X = dec2mat(LMISYS,DECV ARS,XID)：由给定的决策变量得到相应的矩阵变量值。

[tmin,xfeas]=feasp(lmisys)：可行性问题的求解器函数，tmin大于0时，表明LMI系统不可行，P阵无解，系统不稳定，tmin小于0时，便可以用dec2mat函数求解出P矩阵。

3、仿真结果
可以看到，仿真结果tmin＜0，因此P阵存在，系统是稳定的。

进一步用dec2mat函数求解出P矩阵。

得：
（二）特征值问题(EVP)
1、EVP 问题描述
该问题对应矩阵工具箱中的LMI 约束的线性目标函数最小化优化问题。

一般采用mincx 求解器求解。

考虑这样一个优化问题：
min ()
.. 0
T T Trace X s t A X XA XBB X Q +++<
其中： 5342154067; 3; 562.78314228A B Q -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭
2、仿真用到的命令
DECV ARS = mat2dec(LMISYS,X1,X2,X3,...) ：由给定的矩阵变量得到相应的决策变量值；
[copt,xopt]=mincx(LMIs,c,options)：用于给定的特征值问题求解，copt 返回全局最优的决策变量,xopt 返回决策变量的最优解。

相应的矩阵变量的最优解可以用函数dec2mat 从xopt 得到。

evlmi=evallmi(LMIs,xopt)：对给定的决策变量xopt ，求取系统的值；
[lhs,rhs]=showlmi(evlmi,1)：显示第一个线性矩阵不等式的左边和右边的矩阵
值。

这个不等式的成立与否可以通过eig(lhs-rhs)来检验。

如果返回的结果是负定的，那么表示xopt满足第一个线性矩阵不等式。

3、仿真结果
下面给出EVP优化问题的分析结果：
可以看到，flag为负定，说明Xopt是要求的矩阵不等式的解。

（三）广义特征值问题（GEVP）
1、问题描述
广义特征值问题一般是用来寻找一个最小的λ，使得其满足下面的矩阵不等式组：
()()
0()
()()
C x
D x B x A x B x λ<<<
假设有如下的三个系统： ()(), (1,2,3)i x t A x t i ==&
其中，, (1,2,3)i A i =分别为：
123120.8 1.5 1.40.9, , .13 1.3 2.70.72A A A ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦
要求寻找一个单一的lyapunov 函数()T V x x Px =来验证给定的三个系统的稳定性，同时要求衰减率()-dV x dt
最大化。

这样的一个问题等价于如下的优化问题： 112233min s.t. I T T T P
A P PA P A P PA P
A P PA P
α
ααα<+<+<+<
2、仿真用到的命令
[lopt,xopt]=gevp(lmisys,nlfc,options,linit,xinit,target)：用于求解广义特征值的线性矩阵不等式问题；
3、仿真结果
由仿真结果可以看出，得到的alpha=-0.122是给问题的最优值，因此相应的最大衰减率是0.122，最优解如仿真结果中的Popt所示。