第六章1. 试根据傅立叶定律，推导固体或静止介质中三维不稳态导热的热传导方程。
设导热系数为常数。
解：如本题附图所示，将热力学第一定律应用于此微元体得（微元体内能的增长速率） =（加入微元体的热速率） 采用欧拉方法，上述文字方程可表述如下，即dxdydz Q dxdydz Uθρθρ∂∂=∂∂∙（1） 式中，ρ为微元体的密度，dxdydz 为微元体的体积，ρdxdydz 为微元体的质量。
加入流体微元的热速率有三种：一为由环境导入微元体的热速率；二为微元体的发热速率，用q表示，其单位为)s m /(J 3⋅；三为辐射传热速率，一般温度下其值很小，可忽略不计。
由环境导入微元体的热速率，可确定如下。
如图所示，设沿三个坐标方向输入微元体的导热通量分别为x A q )(、y A q )(和z A q )(，由于微元体沿各方向的导热系数相等，则沿x 方向输入微元体的热速率为x A q )(dydz，而沿x 方向输出微元体的热速率为dydz dx A q x Aq x x ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+)()(于是，沿x 方向净输入微元体的热速率为dxdydz x t k dxdydz A q x dydz dx A q x A q dydz A qx x x x 22)()()()(∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+-同理，沿y 方向净输入微元体的热速率为dxdydz A q y y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-)(dxdydzyt k22∂∂=沿z 方向净输入微元体的热速率为dxdydz A q z z ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-)(dxdydzzt k22∂∂=于是，以导热方式净输入微元体的热速率为222222()t t t k dxdydz xyz∂∂∂++∂∂∂由于向微元体中加入的热速率为导热速率与微元内部发热速率qdxdydz 之和，故式（1）右侧可写为习题1 附图dxdydz qdxdydz zt yt xt k dxdydz Q +++=∂∂∙)(222222∂∂∂∂∂∂θρ从而能量方程的形式为q)zt yt xt (k U +++=∂∂222222∂∂∂∂∂∂θρ又 ∂θ∂ρ∂θ∂ρ∂θ∂ρt c t c U pv≈=故2ppt kqt c c θρρ∂=∇+∂ （2）或kq t t+∇=21∂θ∂α （3）式（2）或（3）即为固体或静止介质中三维不稳态导热时的热传导方程。
2. 某不可压缩的粘性流体层流流过与其温度不同的无限宽度的平板壁面。
设流动与传热均为稳态过程，壁温及流体的物性值恒定。
试由普遍化的能量方程式（6-22）出发，简化成上述情况下的能量方程，并说明简化过程的依据。
解：① 无内热源，式（6-22）中的q=0； ② 层流流动，因速度较低，可假设φ=0； ③ 不可压缩流体流动，故0y x z u u u xyz∂∂∂++=∂∂∂。
于是式（6-22）可简化为tk D DU 2∇=θρ（1）根据定义，上式中的U 可表示为t c U v =式中，v c 为定容比热容，对于不可压缩流体或固体，v c 与定压比热容p c 大致相等，则当p c 为常量时，式（1）变为tk D Dt c p2∇=θρ （2）或tD Dt 2∇=αθ（3）式中，pc kρα=则tD Dt 2∇=αθ（4）④平面二维流动，0z u =⑤板壁无限宽，0t z∂=∂ ，20t z∂=∂则式（4）变为2222()xyt t t t t u u xyxyαθ∂∂∂∂∂++=+∂∂∂∂∂ （5）稳态过程 2222()xyt t t t u u x yxyα∂∂∂∂+=+∂∂∂∂ （6）3. 有一厚度为L (x 方向)的固体大平板，其初始温度为0t ，突然将其与x 轴垂直的两端面的温度升至s t ，并维持此温度不变。
已知平板内只发生沿x 方向的导热。
试由一般化的热传导方程式（6-27）出发，简化成上述情况下的热传导方程，并写出定解条件。
解：热传导方程式（6-27）为21tq t kαθ∙∂=∇+∂① 固体平板内无热源， 0q ∙= ② 平板内只发生x 方向的导热，t y∂∂，0t z∂=∂，22220t t yz∂∂==∂∂从而热传导方程化为22t t xαθ∂∂=∂∂定解条件为0θ= , 0t t =（对于任何x ）； 0x = , s t t =（0θ>）； x L = , s t t =（0θ>）4. 试由柱坐标系的能量方程（6-31）出发，导出流体在圆管内进行稳态轴对称对流传热时的能量方程，并说明简化过程的依据。
设z »r 。
解：能量方程（6-31）为D t D αθ='〔2222211()t t t rr rrr zθ∂∂∂∂++∂∂∂∂〕① 稳态，0t θ∂='∂② 轴对称，0t θ∂=∂ ，20t θ∂=∂③ z r >>tt z r∂∂<<∂∂220t z∂≈∂∴ rzt t u u rz∂∂+=∂∂α1[()]t r r rr∂∂∂∂5. 一球形固体内部进行沿球心对称的稳态导热，已知在两径向距离r 1和r 2处的温度分别为t 1和t 2。
（1） 试将球坐标系的能量方程（6-32）简化成此情况下的能量方程，并写出边界条件； （2） 试导出此情况下的温度分布方程。
解：球坐标系系的能量方程为2222222111()(sin )sin sin Dtt t t r D r r r r r αθθθθθθφ⎡⎤∂∂∂∂∂=++⎢⎥'∂∂∂∂∂⎣⎦① 固体稳态导热，0,0r t u u u θφθ∂===='∂即0D t D θ='② 球心对称，22220,0t t t t θφθφ∂∂∂∂===='∂∂∂∂∴ 2()0t rrr∂∂=∂∂由于导热只沿径向进行，从而能量方程化为2()0d t rdr r∂=∂边界条件为11,r r t t ==； 22,r r t t ==上述方程积分，得1C t C r =-+代入边界条件，得21121/1/t t C r r -=- ，2211121t r t r C r r -=-即 2122112121111t t t r t r t rr r r r --=+--()211222112121()t t r r t r t r r r rr r--=+-- 6. 食物除了提供人体所需的营养物质外，主要是产生能量以维持必要的体温和对环境做功。
考虑一个每天消耗2100kcal 的人，其中2000kcal 转化为热能，100kcal 用于对环境做功。
（1）人处于20 ℃，人的皮肤与环境的对流传热系数为32W /(mK)⋅，在此温度下人基本上不出汗。
计算人的皮肤的平均温度。
（2）如果环境温度为33 ℃，皮肤感觉舒适的温度也为33 ℃，试问为维持该温度，出汗的速率为多少？已知人的表面积为8.12m ，皮肤的黑度0.95ε=，斯蒂芬-玻尔兹曼常数0σ=85.6710-⨯24W /(m K )⋅，水的物性为3994kg /mρ=，蒸发潜热2421λ=kg/kJ 。
解：(1) 人的发热速率为9.96)606024/(184.4)102000(3=⨯⨯⨯⨯=E W稳态条件下，人的发热速率等于因对流和辐射传递到环境中的热速率，即440()()s b s b E hA t t A t t εσ=-+-或)293(8.11067.595.0)293(8.139.96448-⨯⨯⨯⨯+-⨯⨯=-s s t t解之得 299=s t K26=℃由于皮肤感觉舒适的温度为3532-℃，所以当环境温度为20 ℃时，需要穿较暖和的衣服。
(2) 当环境温度为33 ℃，如果皮肤也为33 ℃，则人与环境间的对流传热和辐射传热为零，此时所有产生的热量均需由汗带走，即 E m λ= 则 396.9242110Em λ==⨯5104-⨯=s/kg此即单位时间排汗的质量流率，假定每天维持33℃环境温度的时间是8小时，则每天的排汗量为15.1360081045=⨯⨯⨯-kg讨论：（1） 对流产生的热损失约占总热损失的比例为3 1.8(299293)196.93⨯⨯-≈，辐射产生的热损失约占总热损失的32，因此尽管温度不适很高，但忽略辐射散热是不合理的，特别是当对流传热系数较小时，更是如此。
(2)当1天中有8小时环境温度为33℃时，人就会损失2.1kg 的水分，这就证明了在闷热的天气补充足够水分的重要性。