角平分线和平行线构成等腰三角形的探究
-----李春蕊北京市育英学校
一、教材分析：《等腰三角形》是“人教版八年级数学（上）”第十二章第三节的内容。
等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具备一般三角形的所有性质外，还有许多特殊的性质，由于这些特殊性质，使它比一般的三角形应用更广泛。
这一单元的主要内容是等腰三角形的性质和判定，以及等边三角形的相关知识，尤其是等腰三角形的性质和判定，它们是研究等边三角形、证明线段等和角等的重要依据.
学情分析：本节课在学生已经学习了轴对称、等腰三角形性质及判定基础上，进一步探究角平分线和平行线形成等腰三角形的问题。
学生具有一定说理能力，整体几何感观比较清晰，在探究活动中，能够根据老师的问题进行有切入的思考。
二、教学目标：
（1）掌握角平分线和平行线形成等腰三角形的基本规律；
（2）体会研究问题中用到的分类思想，经历由特征图形问题的解决，发展对问题的进一步探究，认识到在几何问题中，位置关系可得出一定数量关系，特殊的数量关系也能推出一定位置关系.
（3）通过交流和研讨，使学生在探索的同时获得解决问题的一种方法，提高学生学习数学的兴趣和信心.
教学重点：掌握角平分线+平行线能形成等腰三角形这个基本规律，利用这个规律解决等腰三角形方面的有关问题.
教学难点：灵活运用角平分线和平行线形成等腰三角形这个基本规律解决有关问题.
突出重点方法:观察，思考，证明.
突出难点方法:自主探究
教学方法：启发与探究相结合
教学准备：PPT，课本，作图工具
三、教学设计：
（一）复习等腰三角形相关知识
1、请同学们对等腰三角形的知识要点进行自我回顾：
（由学生先进行回顾，教师补充）
（二）探究过程
问题1：已知∠ABC，BD平分∠ABC，ED//BC.思考：△EBD是等腰三角形吗？
解：是；EB=ED
发现：无论点D 在BD 上如何运动，△EBD 都是等腰三角形
结论：角平分线+平行线 等腰三角形
我们在几何证明中，一般不单独研究角，大多数都是借助图形，比如在三角形中研究问题，上面问题如果放在三角形中，我们可以作三角形中一个角的角平分线，然后过角平分线上一点，作这个角的一边的平行线。
（几何画板动态演示）：
同样得到：点D 在BD 上运动，点D 在三角形内、上、外，△EBD 都是等腰三角形
（随着点动，平行线的位置变了，不管位置如何变，角之间的关系没有变，形成等腰三角形这个结论不会变.）
探究过程：
如果增加三角形的一个角的角平分线，比如一条内角平分线，一条外角平分线，再作平行线等等，自己试着画图，然后以小组为单位，看看能发现什么结论？
问题2 已知△ABC ，以B 、C 为顶点的两条角平分线交于点D ，过D 作EF ∥BC ，交AB 所在线于点E ，AC 所在直线于点F. 自主探究完成如下问题：
(1) 图中是否有特征图形？
有几个等腰三角形？
(2) 线段EF 与线段BE ，CF 有何数量关系？
情况1 不同顶点引出的两条内角分线
如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ，交于点D 。
过D 作EF ∥BC
问：(1) 图中是否有特征图形，有几个等腰三角形？ (2) 线段EF 与线段BE ，CF 有何数量关系？
答：EB=ED ，FD=FC
EF=BE+CF
师：从情况的解决过程中，同学们可以体会到特征图形的作用.我们在分析问题时，抓住特征图形能够帮助我们解决问题.
情况2 不同顶点引出的一内、一外两条角分线
如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACH ，交于点D ，过点D 作EF ∥BC. 求证：EF=BE-CF
B A
情况3 不同顶点引出的两条外角分线
在△ABC 中，BD 平分∠CBE ，CD 平分∠BCF ，交于点D ，过点D 作EF ∥BC.
求证：EF=BE+CF
结论：通过探究发现，利用特征图形特征，得到平行线段与三角形两边所在直线被截线段存在一定的数量关系
巩固新知，深化理解—目标检测
例1：如图，AF 是△ABC 的角平分线，BD ⊥AF 交AF 于D ，DE ∥AC 交AB 于E 点，证明AE=BE 。
提示：因为 AF 是△ABC 的角平分线，DE ∥AC
所以 ∠EAD=∠EDA ，得到EA=ED 因为 BD ⊥AF
所以 ∠EDA+∠EDB=90°，∠EAD+∠EBD=90°
所以 ∠EDB=∠EBD ，得到BE=ED 所以 AE=BE
（三）教学预设一：
问题1（变式）：
BD 平分∠ABC ，ED//BC ，△EBD 是等腰三角形
知二推一
• BD 平分∠ABC ，△EBD 是等腰三角形→ED//BC
• ED//BC ，△EBD 是等腰三角形→BD 平分∠ABC
问题转化：将题设和结论进行交换能得出哪些新的猜想吗？并验证你的猜想是否正确. 角平分线+等腰三角形→平行线
等腰三角形+平行线→角平分线
例2 已知：如图，在∆ABC 中, AD 是高, BE 、AF 分别是∠ABC 和∠DAC 的角平分线,BE ⊥AF, BE 分别交AD 于G 、AF 于H. 求证：GF//AC.
思路： 由∠1=∠2, BH ⊥AF ，得∆ABF 是等腰三角形,
由三线合一，得到BH 是AF 的中垂线,进而得
所以∠3=∠5, 又∠3=∠4,故∠5=∠4, 所以GF//AC.
教学预设二
同学们想想看，放宽问题2中的要求：已知△ABC 的两条角平分线，过角平分线上一点作平行线，还能发现什么结论？
可能的情况：
1、从一个顶点引出的一内、一外两条角分线.
可得结论：FE=EB=ED.
2．不是一个顶点引出的一内、一外两条角分线
结论：EF=BE+CD. 结论：EG>BE+CF.
四、小结
1、体会研究问题中用到的分类思想，认识到在几何问题中，位置关系和数量关系是有 必然联系的，位置关系可得出一定数量关系，特殊的数量关系也能推出一定位置关系.
2、本节课主要介绍了一个解决问题的方法。
具备某些特征的图形，会有一些特殊的、特定的结论，我们在研究几何问题时，可以考虑复杂图形中是否存在特征图形，从而利用它的结论，打开做题思路，解决问题。
同样，生活中我们也可以找到相通的地方，学会借助已有的知识或经验，更快更好的解决问题。