函数及其表示
一、知识梳理
1．映射的概念 设是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中的任意元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从到的映射，通常记为 ，f 表示对应法则
注意：⑴A 中元素必须都有象且唯一；⑵B 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。
2．函数的概念
(1)函数的定义：设是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中的 ，在集合中都有 的数和它对应，那么这样的对应叫做从到的一个函数，通常记为__________
(2)函数的定义域、值域
在函数中，叫做自变量， 叫做的定义域；与的值相对应的值叫做函数值， 称为函数的值域。
(3)函数的三要素： 、 和
3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法
（1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；
（2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；
(3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。
4．分段函数
在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。
（二）考点分析
考点1：映射的概念
例1．下述两个个对应是A 到B 的映射吗？
（1）A R =，{|0}B y y =>，:||f x y x →=；
（2）{|0}A x x =>，{|}B y y R =∈，:f x y →=
例2．若}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =，,,a b c R ∈，则A 到B 的映射有 个，B 到A 的映射有 个
例3．设集合{1,0,1}M =-，{2,1,0,1,2}N =--，如果从M 到N 的映射f 满足条件：对M 中的每个元素x 与它在N 中的象()f x 的和都为奇数，则映射f 的个数是（ ）
()A 8个 ()B 12个 ()C 16个 ()D 18个
考点2：判断两函数是否为同一个函数
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，称这两个函数相等。
例1． 试判断以下各组函数是否表示同一函数？
（1），；
（2），
（3），；
（4），
（5），（n ∈N *
）； 考点3：求函数解析式
方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；
（2）若已知复合函数的解析式，则可用换元法
（3）配凑法
（4）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出
题型1：用待定系数法求函数的解析式
例1.已知函数()f x 是一次函数,且49)]([+=x x f f ,求()f x 表达式.
例2.已知()f x 是一次函数且()()()()()22315,2011,f f f f f x -=--==则（
）
A ．32x +
B ．32x -
C ．23x +
D ．23x - 例3.二次函数f(x)满足f(x ＋1)－f(x)＝2x ，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)解不等式f (x)＞2x ＋5.
例4.已知g (x )＝－x 2
－3，f (x )是二次函数，当x ∈[－1,2]时，f (x )的最小值为1，且f (x )＋g (x )为奇函数，求函数f (x )的表达式．
2、配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。
但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。
例2 已知221)1(x
x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式
3、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。
与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。
例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f
4、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。
例4已知：函数)(2
x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式
5、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。
例5 设,)1(2)()(x x f x f x f =-满足求)(x f
例6 设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又,1
1)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式
6、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。
例7 已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f
7、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭
乘或者迭代等运算求得函数解析式。
例8 设)(x f 是定义在+N 上的函数，满足1)1(=f ，对任意的自然数b a , 都有ab b a f b f a f -+=+)()()(，求)(x f
考点4：求函数的定义域
题型1：求有解析式的函数的定义域
（1）常规方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的的取值范围，实际操作时要注意：① 分母不能为0；② 对数的真数必须为正；③ 偶次根式中被开方数应为非负数；④ 零指数幂中，底数不等于0；⑤ 负分数指数幂中，底数应大于0；⑥ 若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；
例1.函数()13
f x x =-的定义域为（ ） A ．[)(]22+∞-∞-U ，， B ．[)()2,33+∞U ，
C ．(][)()22,33-∞-+∞U U ，，
D ．(]2-∞-， 例2、函数x x x x f -+=0
)1()(的定义域是（ ）
A.{}0|<x x
B. {}0|>x x
C. {}10|-≠<x x x 且
D. {}10|-≠≠x x x 且
题型2：求复合函数和抽象函数的定义域
练一练：
例1．已知的定义域是，求函数的定义域
例2．已知(21)y f x =-的定义域是（-2，0），求(21)y f x =+的定义域
例3、已知函数)1(+=x f y 的定义域为[-2，3]，则()12-=x f y 的定义域是_________ 考点5：求函数的值域
1． 求值域的几种常用方法
(1)直接法：通过对自变量x 和函数性质的观察，结合函数的解析式直接得出y=f(x)的取值范围
（2）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，
例1、322+--=x x y
例2、2
285y x x =-+- （1）]1,1[-∈x （2）]4,1[∈x （3）]8,4[∈x
（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。
例3、132222+-+-=x x x x y 例4、1
12++-=x x x y
（3）换元法：通过等价转化换成常见函数模型，
例5、x x y 21-+= 例6、13432)(-+-=x x x f
（4）分段函数分别求函数值域，
例7、53-++=x x y
例8、函数222(03)()6(20)
x x x f x x x x ⎧-≤≤⎪=⎨+-≤≤⎪⎩的值域是（ ） A ．R B ．[)9,-+∞ C ．[]8,1- D ．[]9,1-
（5）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。
例9、1
122
+-=x x y
例10、设函数1
11y x =+的定义域为M ，值域为N ，那么 （ ）
()A {0},{0}M x x N y y =≠=≠ ()B {0},{}M x x N y y R =≠=∈ ()C {01,0}M x x x x =<≠->且或，{0011}N y y y y =<<<>或或
()D {1100}M x x x x =<--<<>或或， {0}N y y =≠
（9）反函数法。