函数及其图像知识点《函数及其图像》知识点一、函数的概念、变量（自变量、因变量）、常量的概念。

①变量：在某一函数变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量。

②自变量：在某一函数变化过程中，主动变化的量的叫做自变量。

③因变量：在某一函数变化过程中，因为自变量的变化而被动变化的量叫做因变量。

此时，我们也称因变量是自变量的函数④常量：在某一函数变化中，始终保持不变的量，叫做常量。

练习：在函数r cπ2=中，自变量是 ，因变量是 ，常量是 ， 叫做的函数。

二、函数的三种表示方法：①解析法：就是用一个函数关系式来表示函数变化规律。

②列表法：就是用一个数据表来表示函数变化规律。

③图像法：就是用线性图像来表示函数变化规律。

三、函数自变量的取值范围：函数解析式类型 自变量取值满足的条件 应用举例整式 全体实数 54+-=x y （x 为任意实数）分式分母不为零()2232≠--=x x x y 二次（偶次）根式 被开方数非负()263≥-=x x y平面直角坐标系。

水平的数轴叫做横轴（x 轴），取向右为正方向；铅直的数轴叫做纵轴（y 轴），取向上为正方向；两条数轴的交点O 叫做坐标原点。

x 轴和y 轴将坐标平面分成四个象限（如图）:五、平面内点的坐标：（横坐标，纵坐标）如图：过点P 作x 轴的垂线段，垂足在x 轴上表示的数是2，因此点P 的横坐标为 2 过点P 作y 轴的垂线段，垂足在y 轴上表示的数是3，因此点P 的纵坐标为 3 所以点P 的坐标为（2 , 3） 六、平面内特殊位置的点的坐标情况：（连线）第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 x 轴上 y 轴上 （- ，-） （- ，+） （+ ，+） （+ ，-） （0 ，a ） (b , 0) 七、点的表示（横坐标，纵坐标）注意： ①不要丢了括号和中间的逗号；②表示的意思：当___x =时，___y =如点A （2，1） 表示：当2x =时，1y =③注意x 轴上点的特征：(___,0)即纵坐标等于0;y 轴上点的特征：(0,___)即：横坐标等于0。

概括：坐标轴上的点的横坐标和纵坐标至少有一个为0。

八、对称点的坐标关系：⑴关于x 轴对称的点：横坐标 ，纵坐标 。

y xO 第四象限第三象限第二象限第一象限⑵关于y 轴对称的点：横坐标 ，纵坐标 。

⑶关于原点对称的点：横坐标 ，纵坐标 。

(,)P a b 关于x 轴对称_________；关于y 轴对称__________；关于原点对称___________思考：如何解决点关于y=x ，y=-x 对称，以及点旋转90°之后的坐标。

九、数轴上的点和 是一一对应的；在平面直角坐标系中的点和 也是一一对应的。

十、点(,)P a b 到x 轴的距离为________；到y 轴的距离为_______1、点（-3，2）到X 轴的距离是 ，到Y 轴的距离是2、点P 在第3象限，P 到X 轴的距离是4，到Y 轴的距离是3，那么点P 的坐标是 十一、点的平移：(,)P a b 向上平移2格______；向下平移3格_______；向右平移1格______；向右平移5格_______（概括：左右平移改变的是横坐标，上下平移改变的是纵坐标）十二、两点之间的距离：①在同一条水平上线上的时候：求A 、B 两点之间的距离概括：A 、B 两点之间的距离为：12x x -或12y y -②当两点不在同一水平上的时候，我们是通过构造直角三角形的方法来进行求解的，这就需要用到勾股定理的相关知识，同时也要用到①中两点在同一水平线上的时候，两点之间的距离求法。

A 、B 两点之间的距离：221212()()AB x x y y =-+-A 、B 两点的中点坐标为：1212(,)22x x y y ++ 1、点A （0，2）与点B （0，-3）,则AB= 2、点A （2，0）与点B （-5，0）,则AB= 3、点A （2，3）与点B （3，2）,则AB=十三、画函数图像通常用描点法，步骤是：列表、描点、连线三步。

十四、如何根据解析式作图，在作图的过程中，我们应该关注哪些方面①确定x 的取值范围，特别要小心有些情况下x 并不能取到所有的值，图像也会受到一定的限制。

②初步判断函数图像的增、减性，来初步判断函数应该是上升的、还是下降的。

③判断函数图像是直线、还是双曲线（可以通过x 的指数来判断，也可以通过变化速度是匀速的还是变速的来进行判断）④最后从函数与x 轴（未必一定会有）、y 轴的交点；以及极值点（未必一定会有）；对称性（如原点对称）；分段性；从而画出比较准确的草图。

B(4,3)A(-2,3)O B(-2,2)A(-2,3)O十五、点是否在函数图像上：（其本质就是判断这个点所代表的,x y 的值是不是解析方程的解） 如：判断点(4,6)是否在函数223y x x =--图像上，即相当于4,6x y ==是不是方程223y x x =--的解。

或者说：当4x =，22234243y x x =--=-⨯-是否会等于6。

1、点（-3，2），（a ,1+a ）在函数1-=kx y 的图像上，则______,==a k2、已知一次函数y=kx+5的图象经过点（－1，2），则k= . 十六、已知横坐标求纵坐标、或者已知纵坐标求横坐标：如：22y x =-的图像上 已知点A 的横坐标为2，点B 的纵坐标为-4；求点A 、B 的坐标。

解析：A 点相当于问你，当 2x =时，____y =；B 点相当于问你：4y =-时，___x =。

十七、寻找与题意相符的函数图像：在矩形MNPQ 中，动点R 从点N 出发，沿N →P →Q →M 方向运动至点M 处停止．设点R 运动的路程为x ，MNR △的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则当9x =时，点R 应运动到（ ）A ．N 处B ．P 处C ．Q 处D ．M 处十八、一次函数的定义：函数解析式是用自变量的一次整式表示的函数叫做一次函数。

形如：)0,(≠+=k b k b kx y 是常数，特别的，当b=0时，一次函数)0(≠=k kx y 常数也叫做正比例函数。

十九、一次函数的图像是一条 ，因此画一次函数的图像只需要取 个点。

二十、函数图像上的点：（注：点的横坐标就是x 的值，点的纵坐标就是y 的值） ⑴已知点A （2，a ）在一次函数1+-=x y 上，则a= 。

⑵直线34-=x y 过点（ ，0）、（0， ）⑶请你写出直线1+=x y 上任意两个点的坐标 。

二十一、一次函数)0,(≠+=k b k b kx y 是常数，的性质：由k 值的正负来决定。

K 的取值 代数性质几何性质k>0 y 随x 的增大而增大 函数的图像从左到右是上升的 K<0y 随x 的增大而减小函数的图像从左到右是下降的Q RMN （ 4 9 y xO练习：⑴已知点（x 1，y 1）和点（x 2，y 2）在函数1+-=x y 的图像上，且x 1>x 2，那么y 1y 2⑵已知点（x 1，y 1）和点（x 2，y 2）在函数1-=x y 的图像上，且y 1>y 2,那x 1x 2二十二、一次函数)0,(≠+=k b k b kx y 是常数，的图像特征：由k 、b 的取值决定k 的取值b 的取值经过象限图像 k>0 b>0 一、二、三b=0 一、三b<0 一、三、四k<0b>0 一、二、四b=0 二、四b<0 二、三、四练习：1、一次函数1+-=x y 的图像经过第 象限。

2、直线b kx y +=1过第一、二、四象限，则直线k bx y -=2不经过 象限。

二十三、一次函数)0,(≠+=k b k b kx y 是常数，与y 轴的交点坐标：（0，b ）与x 轴的交点坐标：（kb-，0）练习：一次函数1-=x y 与y 轴的交点坐标是 。

一次函数12+=x y 与x 轴的交点坐标是 。

二十四、求两个一次函数图像的交点坐标：就是把这两个一次函数的解析式组成方程组，得到一个二元一次方程组，解方程组便得到它们的交点坐标。

练习：一次函数1+-=x y 和1-=x y 的交点坐标是二十五、一次函数的作图：首先它的图像是一条直线，而确定一点直线只需要两个点，所以通常只要在直角坐标系中，描出两个点并连接即可。

通常的作法是：取与x 轴和y 轴的两个交点。

如：作函数2y x =-的图像当0x =时，2y =- 即(0,2)-为一次函数与y 轴的交点坐标。

当0y =时，2x =即(2,0)为一次函数与x 轴的交点坐标。

二十六、用待定系数法求一次函数的解析式：①设出要求的函数关系式；②根据条件列出方程；③解方程，从而得到所求的函数关系式。

练习：已知一次函数的图像经过点（-1,1）和点（1，-5），求这个一次函数的关系式。

二十七、一次函数图像的平移： 例如：31y x =-向上平移5个单位______；向下平移2个单位_______备注：上下平移（x 值不变） 向左平移1个单位____；向右平移2个单位_________备注：左右平移（y 值不变）直线y=2x-3向下平移4个单位可得直线y=______, 再向左平移2个单位可得直线y=_________ 二十八、一次函数与三角形： ①当b ≠0时，一次函数)0,(≠+=k b k b kx y 是常数，的图像与y 轴的交点（0，b ），与x 轴的交点（k b -，0）和原点（0,0）组成一个直角三角形。

这个直角三角形的面积 练习：一次函数12+=x y 的图像与y 轴的交点A 的坐标为（ ， ），与x 轴的交点B 的坐标为（ ， ），Rt △ABO 的面积等于②在解决面积问题中经常用点，主要用于充当三角形的高。

如下列求阴影部分的面积：已知直线：11112222::l y k x b l y k x b =+⎧⎨=+⎩①12,l l 平行的充要条件：12k k =且12b b ≠②12,l l 重合的充要条件：12k k =且12b b = ③12,l l 垂直的充要条件：121k k •=-三十、直线位置关系与方程组的解之间的关系两直线相交说明方程组有唯一解；平行说明方程组无解；重合说明方程组有无穷多个解。

如251y x y x =-⎧⎨=-+⎩方程组的解为21x y =⎧⎨=-⎩。

则交点坐标为(2,1)-。

x0x = 2x =2y x =- 2y =- 0y =-2-121yxO 2kb b S -⨯=-1-1A(2,1)1221-1-1A(2,1)1221-1-1A(2,1)1221三十一、反比例函数：反比例函数（共三种表示方式）：ky x =1y kx -= xy k = (0)k ≠ 其中xy k =更方便于求解解析式，而且也更容易应该于判断点是否在某个反比例函数图像上。