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几何综合(旋转类),初中数学,旋转分类
F A D
M B C E
G
F A D
A D
F
M B C E
B C
M E
G
G
(2)将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45°(如图乙),令CG=2BC其他条
件不变,结论是否发生变化,并加以证明;
F E
M
A
D
B
C
G
(3)将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后(如图丙),其他条件不 变.探究:线段MD,MF的位置及数量关系,并加以证明.
A
D E
D
手 拉 手 全 等 条 件
O C
A
B
手拉手全等条件:
(1)OA=OB;OC=OD
(2)∠AOB=∠COD
结论:
(1)△OAC≌△OBD(SAS)
(2)AC与BD夹角等于∠AOB(八字导角)
如图1,已知∠DAC=90°,△ABC是等边三角形,点P为射线AD任意一点(
P与A不重合),连结CP,将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ,连
F A D
M D
M B C E
M B C E
G
G
四边形ABC D是正方形,△BEF是等腰直角三角形,∠BEF=90°,BE=EF
,连接DF,G为DF的中点,连接EG,CG,EC。 (1)如图,若点E在CB 边的延长线上,直接写出EG与GC的位置关系及 EC/GC的值;
(2)将图24-1中的△BEF绕点B顺时针旋转至图24-2所示位置,请问(1) 中所得的结论是否仍然成立?若成立,请写出证明过程;若不成立,请说 明理由;
A G F D
E B C
A G F
D
E B C
如图 1,在△ACB 和△AED 中,AC=BC,AE=DE,∠ACB=∠AED=90°,点 E 在 AB 上, F 是线段 BD 的中点,连结 CE、FE. (1)请你探究线段 CE 与 FE 之间的数量关系
G A F D
B
E
C
在△ABC中,∠ACB=90°,AC= BC,以BC为底作等腰直角△BCD,E是
2
1
CD的中点,求证: AE⊥EB且AE=BE
D E C
A
B
D E
D
C
C
E
A
B
A B
如图甲,操作:把正方形CGEF的对∠线CE放在正方形ABCD的边BC的 延长线上(CG>BC),取线段AE的中点M. (1)探究线段MD、MF的位置及数量关系,直接写出答案即可;
B
C
如图,将 △ ABC 绕顶点 B 按顺时针方向旋转 60 ,得到 △DBE , 连接 AD 、 DC ,若 DCB 30 ,AB=1,BC=3,CD=3,求 AC
C
D B
A
E
如 图 , 在 凸 四 边 形 ABCD 中 , BCD 30 , DAB 60 , AD AB . 求 证 :
1 2
(AB+BC+AC)
BD、CE分别是△ABC的内角平分线,其它条件不变;DE与BC还平行吗
?它与△ABC三边又有怎样的数量关系?
如图,BD为△ABC的内角平分线,CE为△ABC的外角平分线,其它条件
不变,DE与BC还平行吗?它与△ABC三边又有怎样的数量关系?
截长补短 若遇到证明线段的和差关系时,通常考虑截长补短法,构造全等三 角形 截长:在较长线段中截取一段等于另两条中的一条,然后证明剩 下部分等于另一条 补短:将一条较短线段延长,延长部分等于另一条较短线段,然后 证明新线段等于较长线段;或延长一条较短线段等于较长线段,然后 证明延长部分等于另一条较短线段
A
E G
D
A
E
D
F B C
B G F C
手 拉 手 全 等
等边三角形
等腰直角三角形
等腰三角形
在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE,连接AE与CD,
D E H G A B F
(1)△ABE≌△DBC; (2)AE=DC; (3)AE与DC的夹角为60°; (4)△AGB≌△DFB; (5)△EGB≌△CFB;
分别是AB、BC 上的点,若△BKN的周长为AB的2倍,求∠KDN的度数
在□ABCD中,E是AD上一点,AE=AB,过点E作直线EF,在EF上取一点G ,使得∠EGB=∠EAB,连接AG. (1)如图1,当EF与AB相交时,若∠EAB=60°,求证:EG =AG+BG;
A
E
D
G B C
A
E
D
G B C
A E
D H
F
B
C
E A
D H
F
B
C
(2)如图2,M、N分别为EF、BC的中点.求证:MN=
E A
2 2
FC;
M
D H
F
B
N
C
E A
M
D H
F
B
N
C
(3)连接BF,CE,如图3,直接写出在此旋转过程中,线段BF、CE与AC之
间的数量关系: .
A F
D H
E
B
C
F A
A
F
D H
E
D H
E
B
C
A P B D
C
A P B D
C
如图在△ABC中,AB>AC,∠1=∠2,P为AD上任意一点, 求证:AB-AC>PB-PC
A
P
B
D
C
A
A
P
P
B
D
C
B
D
C
正方形ABCD中,M在CD上,N在DA延长线上,CM=AN,点E在BD上,NE平 分∠DNM。过E作EF⊥MN,垂足为F,请问MN、AD、EF有什么数量关系?
B
在此的条件下,求证:PB+PC+PD=BE.
F
90°+90°
对 角 互 补
120°+60°
任意角两个角互补
已知:∠ABC=∠ADC=90°,BD平分∠ABC,BD=a;
D
A
(1)CD与AD的数量关系 (2)AB、BC、BD之间的数量关系 (3)四边形ABCD的面积
如图2,当EF与AB相交时,若∠EAB= α (0º﹤α ﹤90º),请你直 接写出线段EG、AG、BG之间的数量关系(用含α 的式子表示);
A E D
G B
C
A
E
D
G B
C
如图3,当EF与CD相交时,且∠EAB=90°,请你写出线段EG、AG、BG之
间的数量关系,并证明你的结论.
A
E G
D
F B C
(2)将图 1 中的△AED 绕点 A 顺时针旋转,使△AED 的一边 AE 恰好与△ACB 的边 AC 在同一 条直线上(如图 2) ,连结 BD,取 BD 的中点 F,问(1)中的结论是否仍然成立,并说明理 由;
(3)将图 1 中的△AED 绕点 A 顺时针旋转任意的角度(如图 3) ,连结 BD,取 BD 的中点 F, 问(1)中的结论是否仍然成立,并说明理由.
B E
P
B
A
C
A E
C
P
B E Q
A
C
Q
B D P
A E
C
在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=90°,BD为斜边AC上的中线,将△ABD 绕点D顺时针旋转α (0°<α <180°)得到△EFD,其中点A的对应点为点 E,点B的对应点为点F,BE与FC相交于点H. (1)如图1,直接写出BE与FC的数量关系
已知:如图,△ABC中,AD平分∠BAC,若∠C=2∠B,证明:AB=AC+CD.
A
B
D
C
A
B
D
C
在四边形ABCD中,E为BC中点,F为CD上一点,AE是∠BAF的平分线.求
证:AF=CF+AB.
A D
F
B
E
C
A
D
A
D
F
F
B
E
C
B
E
C
如图,在△ABC中,AD是△BAC的外角平分线,P是AD上异于点A的任 意一点,试比较PB+PC与AB+AC的大小,并说明理由.
角平分线的辅助线构造
M A P O (a) B N
O (c) A P B M
N
A
M
Q O
M
P O (b)
P
B N
(d)
N
如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D. AF平分∠CAB,
交CD于点E,交CB于点F ⑴求证:CE= CF.
⑵将上图中的△ADE沿AB向右平移到△A'D'E',的位置,使点E,落在BC边
结QB并延长交直线AD于点E.
P (1)如图1,猜想∠QEP=_______°; B Q
E
A
C
Q
P B
E
A
C
(2)如图2,3,若当∠DAC是锐角或钝角时,其它条件不变,猜想
∠QEP的度数,选取一种情况加以证明;
Q ,求BQ的长. (3)如图3,若∠DAC=135°,∠ACP=15°,且AC=4
P
长BE交AC于F,求证:AF=EF
A F E
B
D
C
如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D为BC的中点,点E、F分 别为AB、AC上的点,且ED⊥FD,试判断线段BE、EF、FC的数量 关系.
在△ABC中,D是BC的中点,DM⊥DN,如果BM2+CN2=DM2+DN2, 求证:AD2=