所 lz 0 i 以 f( m z 0 z ) f( z 0 ) ,即 f(z)在 z0连.续
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(1) (c)0 3,.求其 导法c为 则中 : 复 . 常数 (2 ) (zn)nn 1 z, 其 n 为 中正 . 整数
( 3 )f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ).
式l中 im (z)0,(z)z是 z的高阶, 无穷
f(z0 )z 0z是函 w f(数 z)改变 w 的 量 线.性部 f(z0)z称为w 函 f(z)在 数z点 0的微 , 分
记作 dw f(z0)z. 如果 z0的 函微 数 ,则 分 在 称 f存 (z)在 函 z0 在 可 数 . 微
特别地, 当 f(z)z时 ,dwdzf(z0)zz, 函 d w w f 数 ( z f0 () z ) 在 z z0可 f ( z 0 ) 导 d z , z0 即 可 与 f(z微 0)在 ddwz是 .zz0 等
( 4 ) f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ).
(5 ) g f( (z z ) ) f(z )g (z g )2 (z f )(z )g (z ). (g (z ) 0 )
( 6 ) f [ g ( z ) ]f ( w ) g ( z )其 . w g ( z 中 )
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第二章 解析函数
§ 1 解析函数的概念与柯西-黎曼方程 §２ 初等解析函数 § 3 初等多值解析函数
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第一节 解析函数的概念与柯西-黎曼方程
一、复变函数的导数与微分
1.导数: 设w 函 f(z)数 定义 D ,z 于 0为 D 中 区的 域
(7) f(z)(1w), 其中 wf(z)与 z(w)是
两个互为反函 函,数 数 且 的 (w)单 0 值
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4.微分: 设 w 函 f( z ) 在 z 0 可 数 ,则 导
w f ( z 0 z ) f ( z 0 ) f ( z 0 ) z ( z ) z ,
函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导.
证 根据z在 0可导的,定义
0 , 0 , 使0 得 | z| 当 时 ,
有 f(z0 zz )f(z0)f(z0),
令 则( l iz) m ( fz()z 0 0 , z z ) f(z 0 ) f(z 0 )
z 0
因 f( z 0 为 z ) f( z 0 ) f( z 0 ) z ( z ) z ,
z
x0xiy
y0
当点沿平行向 于 (x虚 0)而 轴 使 的 z 方 0时 ,
li m flim f(z z)f(z)lim y 1,
z 0 z z 0
z
y0xiy i
x0
当点沿这两 向个 使 z 不 0时 同 ,极的 限方 值 , 不
故f(z)Imz在复平面上处处.不可导
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z0z z0(即 z 0)的方式.是任意
即z0z在区D域 内以任意方z0时 式, 趋于
比值 f(z0z)f(z0)都趋于同.一个数 z
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如果 f(z)在 函 D 区 内 数域 处 ,称 f处 (z)在 可 区 D 可 导 .域
例1 求f(z)z2的导.数
如果f函 (z)在 数 区D 域 内处处 ,则可 称微
f(z)在 区D 域 内可 . 微
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例4 问f(z)x2yi是否可导？y
解 li m flim f(z z)f(z)
y0 z
z 0 z z 0
z
o
x
li(m x x)2(y y)ix2yilimx2yi
z 0
z
z0 xyi
设 zz沿着平 x轴 行的 于直线 z，趋向
limx2yi limx1, z0 xyi x0x
令 z 1i沿直 y1 线 m (x1)则 , ym x,于是以上
y lm ix m 2x4iy x( ix )y22i(y)22 1 4 iim m
x 0
极限结果z 依1赖 i的于 路径，从而 存原 在极 故函数 z1在 i处不可导。
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例3 讨f论 (z)Im z的可.导性
解 ff(zz)f(z)Imz (z)Imz
z
z
z
ImzImzImz Im z Im(xiy) y ,
z
z xiy x iy
当点沿平行向 于 (y实 0)轴 而的 使 z 方 0时 ,
li m flim f(z z)f(z)lim y 0,
z 0 z z 0
解 f(z)lim f(z z)f(z)lim(zz)2z2
z 0
z
lim (2zz) 2z.
z0
即 (z2)
z 2z
z 0
例2 求 f(Leabharlann )x22iy2在z点 1i处的.导数
解 f(1 i) lz i0m f(1 i zz )f(1 i) lxi m 02x4iy x( ix)y22i(y)2 y 0
设 zz沿着平 y轴 行的 于直线 z，趋向
x 2yi
2yi
y x0
lim
lim 2,
z0 xyi y0 yi
所f以 (z)x2y的 i 导数 z y0
不存 . 在
o
x
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2.可导与连续: 函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续, 但
点 ,点 z0 z不 D 的 出,范围
如果 lif m 极 (z0 z限 )f(z0)存 , 在
z 0
z
那末f就 (z)在 称 z0可.这 导个极限 f(z)在 值 z0 称
的 在定义导 中,记 应数 注意f:( 作 z 0 ) d d w zz z 0 lz i0fm (z 0 z z ) f(z 0 ).