复变函数论文复变函数与积分变换在自动控制原理中的应用姓名：何缘鸽学号：092410101 学院(系)：电气与电子工程系专业：自动化指导教师：秦志新评阅人：复变函数与积分变换在自动控制原理中的应用【摘要】：复变函数与积分变换的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学、电磁学、热学、弹性理论中的平面问题的有力工具。

而自然科学和生产技术的发展又极大地推动了复变函数的发展，丰富了它的内容。

我们在学习的过程中，要正确理解和掌握复变函数中的数学概念和方法，逐步培养利用这些概念和方法解决实际问题的能力。

文中简单地介绍了该门课程在自动控制理论中的应用。

【关键词】：线性系统 Z变换卷积拉普拉斯变换【正文】：提出问题：众所周知，复变函数中的许多概念、理论和方法是实变函数在复数领域内的推广和发展，因而它们之间有许多相似之处。

但由于其自身的一些特殊的性质而显得不同，特别是当它引进了taylor级数展开laplace变换和fourier变换后而使其显得更加重要了。

随着教育事业的不断发展与更新，一些新的处理数据的方法越来越多的应用于我们的日常专业学习中。

当然复变函数在自动控制原理方面的应用也更大的加快了自动化的发展，自动控制与信号处理也更加离不开一套有效的处理方法。

但是常规的Fourier变换的运算的范围还是有限的，如何去解决一些不能展开成Fourier级数的信号成了我们的首要问题。

分析问题：虽然常规的Fourier 变换的运算的范围是有限的，，但Laplace 变换、Z 变换等填补了Fourier 变换的不足之处，究竟其有什么好处呢？下面就介绍一些例子，从中就能看出。

例1： 如图1所示电路，原处于稳态，开关S 于t=0时由1端转向2端，R=10Ω，L=1H,C=0.004F,求换路后电流i(t)。

解：因换路前电路已达稳态，故可知()=-0i 0, ()V u c 20=- 换路后，电路的微分方程为()()()+++-0c u dtt di Lt Ri ⎰-td i C0)(1ττ=10)(t ε对上式进行拉普拉斯变换，得()()()[]+-+-0i s sI L s RI sCs I su c )()0(+-=s10解得 ()s I =sCsL R s u Li sc 1)0()0(10++-+--代入已知数据得()s I =ss s s25010210++-=2501082++s s =2215)5(15158++⨯s用查表法可求得上式的拉普拉斯反变换为()At t et i t)(15sin 1585ε⋅=-例2： 如图2所示为常用的二阶有源系统的电路模型，设Ω=1R 、C=1F 。

试求系统函数（电压传递函数）()()()s U s U s H 12=；当K=3时，求冲激响应()t h 和阶跃响应()t s 。

解：由图2可得s 域的节点方程()()()()[]()()()()()()()s KUs U Rs U s U s sCU Rs U s U s U s U sC Rs U s U bb a b b a a a =-=-=-+-221联立上述三式求解，并代入参数，可得()()()()13212+-+==s K s Ks U s U s H当K=3时，得 ()132+=s s H所以 ()()[]()()t t s H Lt h εs i n 31==- V由于 ()()()1312+==s s s H s s S故得阶跃响应 ()()()t t t s εcos 13-= V由上面两例题可以看出，通过拉普拉斯变换可将时域中的微分方程变换为复频域中的代数方程，使求解简化。

系统的起始状态（条件）可以自动地包含到象函数中，从而可一举求得方程的完全解。

用拉普拉斯变换法分析电网络系统时，甚至不必列写出系统的微分方程，而直接利用电路的s 域模型列写电路方程，就可以获得响应的象函数，再反变换即可得原函数。

例3： 已知()()()222112+-=zz z z E ，试求Z 反变换()nT e 。

解： ()()()222112+-=z z z z E ，有两个二重极点，即iz i z-==4,32,1,。

()()()2221112+-=-zzzzz E nn()1-n z z E 在iz =点的留数()[]()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=→-22112,Re limi z z z dz d i zz E s n iz n ()[]()()()()4221121222limi z i z zzi z nzzn nn n iz ++⨯--+-+=-+→()[]()()()in nn n iz ni i z zz i z nzzn --+→=+--+-+=32111422lim()[]()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=--→-22112,Re limi z z z dz d i zz E s n iz n ()[]()()()()in n nn n iz ii z zz i z nzzn ---+→-=-----+=1321111422lim()()[]∑∞=-=01Re n n zz E s nT e ()[]()()∑∑∞=∞=--+-=-+=01122111n nn n in n ni∑∞==2sin2n n n π因为在本学期，我们学习的复变函数与积分变换中，对Z 变换并未进行详细介绍，老师只是讲了个大概。

而在后期专业课中，我们还是被要求会Z 变换的，因为Z 变换方法是分析LTI 离散系统的重要工具。

因此，知识是无界的，要想学到更多，除了老师在课堂上所讲的之外，我们课后应该自己去学习。

只有有强烈的求知欲，并付诸行动，才能更好的理解并运用所学知识。

我们用Z 变换方法时，总共可以用三种方法来计算。

即级数求和法、部分分式法、留数计算法。

而对于较复杂的函数，通常采用部分分式和留数计算法。

下面，举一个例子来展示这两种方法的解题思路。

例4： 求函数()()112+-=-s se s G Ts的Z 变换。

解：方法1 部分分式法当函数中包2含有零阶保持器的传递函数时，有 ()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-11121s s Z z z G 其中()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+112s s Z 用部分分式法求得。

上式可进一步写成 ()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--=---T e z z z z z Tz z s ssZ zz G 111111112121()()()TTTTez e ze T z e T----++-++-+-=11112方法2 留数计算法()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-11121s s Z z z G其中()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+112s s Z 用留数计算法计算，即 ()()is s i Ts e z zs s s s s Z =→∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∙+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+212211Re 11()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∙+=====Ts s s Tss s e z zs s ez z s s s s i i 1111202Re Re ()()()()1202211111!121-==-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=s Tss Ts e z zs s s e z z s s s ds d()()()()TTe z z z e z Tz-------=1112则()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡------=---T Te z z z e z Tz z z G 111121()()()()TTTTe z z Te e z eT--------++-=`111注：在用部分分式法和留数计算法时，()Ts e --1不参与运算。

每一种计算方法都是有自己的特点与缺点的，Z 变换也不例 外，它也存在它自身的局限性。

由此可见，我们掌握的计算方法 越多越有利于解题。

目前，卷积已成为现代电路与系统分析的重要工具，是研究 系统中信号传递规律的关键所在。

例5：设信号()t f 和()t h 如图3所示，试求()()t h t f *。

解：对于图中的()t f 和()t h ，可以分别表示()()()222--=t t t f εε()()t e t h t ε-= 则响应()t y 可利用延时性质得到()()()()()[]()t e t t t h t f t y t εεε-*--=*=222()()()()t e t t e t ttεεεε--*--*=222()()()[]()212122----=---t et et tεε通过卷积的运用，我们在后期专业课中，能较好地解决信号与系统中的问题。

推广应用：Fourier 变换与Laplace 变换的计算可以使用到科学和工程计算，方便地为我们解决了频谱分析、信号处理等工作。

在本专业上的推广应用也很广泛，比如应用于电力工程、通信和自动控制领域以及信号分析、图像处理。

Fourier 变换应用于频谱分析和信号处理等。

频谱分析是对各次谐波的频率、振幅、相位之间的关系进行分析。

Laplace 变换应用于控制问题。

为了更形象化，在此，我通过查阅资料来举例说明。

例6： 某一反馈和给定输入前馈复合控制系统的结构图如图4所示，图中前馈环节的传递函数()()()122++=s T bs as s F r，当输入信号()22tt r =时，为使系统的稳态误差终值等于零，试确定前馈环节的参数a 和b 。

解：系统的闭环传递函数为()()()()()()112212122221++++++=s T K K s sT bsasK s T K K s R s C系统的给定误差函数的拉式变换为 ()()()()()()s R s R s C s C s R s E ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=1 ()()()()()s R s T K K s s T bs as K s T K K ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++-=1112212122221 ()()()()()s R s T K K s sT sb K s a K T T s T T 112212122221321+++-+-++=代入()31ss R =，并利用终值定理，得()()()()111322121222213210lim=∙+++-+-++==→ss T K K s sT sb K s a K T T s T T s e s ss要使上述等式成立，须满足 01,02221=-=-+b K a K T T由此可得前馈环节的参数 22211,K b K T T a=+=结论：在写论文的过程中，通过论文资料的收集，结合平时老师的讲解和自己的理解和整理，让我了解到了复变函数在各个领域中的应用和地位，尤其是在本专业中的应用及其不可或缺的地位。