几何证明题的技巧
1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题，它有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；
二是有关平面图形的位置关系。
这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。
2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法：
（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题解决；
（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；
（3）分析综合法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。
3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分
解成基本图形。
在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。
1、证明线段相等或角相等
两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。
很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。
证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。
?C?90?，AC?BC，AD?DB，AE?CFABC?。
求证：已知：如图例1.1所示，DE＝中，DF
图
CD?A4AB?中点，可考虑连结C分析由，易，是等腰直角三角形可知
AB?DCF??DAE?45?DCF?。
从而不难发现证明：连结CD
AC?BC ??A??B?ACB?90?，AD?DB
?CD?BD?AD，?DCB??B??AAE?CF，?A??DCB，AD?CD ??ADE??CDF?DE?DF
说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。
显然，在等腰直角三角形中，更应该连结CD，因为CD既是斜边上的中线，又是底边上的1 / 7
?EFG是等腰直角三角形。
有兴趣的同学不妨一试。
DE，连结BG，证中线。
本题亦可延长ED 到G，使DG＝说明：利用三角形全等证明线段求角相等。
常须添辅助线，制造全等三角形，这时应注意：
（1）制造的全等三角形应分别包括求证边或者角；
（2）添辅助线能够直接得到的两个全等三角形
2、证明直线平行或垂直
在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。
证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证。
证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两个锐角
互余，或等腰三角形“三线合一”来证。
∠A?90?，AE?BF，BD?DC。
求证：FD，⊥ED
42. 已知：如图所示，AB＝AC 例AEF321CBD图4
证明一：连结AD
AB?AC，BD?DC ?∠1?∠2?90?，∠DAE?∠DAB∠BAC?90?，BD?DC
?BD?AD?∠B?∠DAB?∠DAE?ADE?BDF中，和在?，∠?∠，
?BDBFDAEAEBAD ??ADE??BDF??3??1
??3??2?90??FD?ED说明：有等腰三角形条件时，作底边上的高，或作底边上中线，或作顶角平分线是常用辅助线。
3、证明一线段和的问题
（一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。
（截长法） ?ABC?B?60?，∠BAC、∠BCA的角平分线AD、CE相交于63. 例已知：如图所示在中，O。
求证：AC＝AE＋CD
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BEDO142356AFC图6
2?1???AFO???AEO?60B??，知。
由AF分析：在AC上截取＝AE。
易知，DCFC?DOC，???3?120??FOC?1?5??6?60?，??60?，?2??604????1?2??3??，得：。
AE
AF＝在AC上截取证明：AO，AOBADCAD? ?????SAS?AFO??AEO?
2???4??60?B?又
?0?66??5???0?6??1?0122??3???
?0?2??3?4?6??1??)AASFOC??DOC(??DC?FC?CD?AC?AE即（二）延长一较短线段，使延长后的线段等于另一较长线段，证明该线段等于较长线段。
（补短法）?45EAF??DF
在BC＝。
求证：EF中，已知：如图例4. 7所示，正方形ABCD
C。
＝DF至此题不易利用正方形这一条件。
不妨延长CBG，使BG 分析：AD?，
90D??ABG???AB证明：延长。
DFBG，使GCB至＝ABCD 在正方形中，3 / 7
??ABG??ADF(SAS)3??1??AG?AF，?EAF?45?又??2??3?45??451???2??即∠GAE＝∠FAE
EF??GE DFBE??EF?【实战模拟】AC?AD?CE?ABC?C?90?中，⊥CD于D，交BC。
，E，
且有于DED11 1. 已知：如图所示，是AB上一点，1CD?DE求证：2CEABD图11
?ABC?A?2?B，CD是∠C的平分线。
求证：已知：如图 2. 12所示，在BC中，＝AC＋AD 图1
?ABC的顶点A，在∠A内任引一射线，过B、C作此射线的垂线BP和133. 已知：如图所示，过CQ。
设M为BC的中点。
求证：MP＝MQ
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【试题答案】
1.证明：取CD的中点F，连结AF
C14FE3AB
?ADAC ?AF?CD
??AFC??CDE?90??1??4?90?，?1??3?90?又
??4??3?CEAC ??ACF??CED(ASA)
?CF?ED1CDDE??2 2. 分析：本题采用“截长补短”的手法。
“截长”即将长的线段截成两部分，证明这两部分分别和两条短线段相等；“补短”即将一条短线段延长出另一条短线段之长，证明其和等于长的线段。
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EADCB
CA至E，使CE＝CB，连结ED 证明：延长CEDCBD??和在中，
CE?CB??ECD?BCD?? ??CDCD??CED???CBD?E??B??
B2??BAC? E?BAC???2E??ADE??BAC?又
AE??ADE，???ADE?AD?ACAEACCEBC????? 3. 证明：CQ于交延长PM R
P
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?，?APAP CQBP?BP//CQ
??PBM??RCMBM?CM，?BMP??CMR又
??BPM??CRM RMPM???QM Rt?QPR斜边上的中线是 ?MP?MQ
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