2003/2004学年第二学期《高等数学（A ）》期终试卷
一、选择题（本题共5小题, 每小题4分，满分20分）
1．二元函数),(y x f 在点),(00y x 处两个偏导数),('00y x f x ，),('00y x f y 存在，是),(y x f 在该点可微的[ ]． （A ）充分而非必要条件； （B ）既非充分又非必要条件； （C ）充分必要条件； （D ）必要而非充分条件．
2．设),(y x f 是连续函数，则⎰⎰
>=a
x
a dy y x f dx I 0
)0(),(=[ ]．
（A ）⎰⎰
a
y
dx y x f dy 0
),(； （B ）⎰⎰
a
a
y
dx y x f dy 0
),(；
（C ）⎰⎰a
y
a
dx y x f dy 0
),(； （D ）⎰⎰
a
a
dx y x f dy 0
),(．
3．曲面xy z =上点M 处的法线垂直于平面52=--z y x ，则点M 的坐标是[ ]．
（A ）)2,2,1(--； （B ）)2,2,1(； （C ）)2,2,1(--； （D ）)2,2,1(--． 4．下列级数收敛的是 [ ]．
(A) ∑∞
=1tan n n π
； （B ）∑∞
=+12)11ln(n n ； （C ）∑
∞=2ln 1n n n ； （D ）∑∞
=+-1
2)11(21)1(n n n n n ． 5．微分方程x e y y y x cos 422=+'-'' 的待定特解的结构为[ ]．
(A) x ae y x cos = (B) x
Axe y x cos =(C))cos sin (x b x a xe y x += (D) )
cos sin (x b x a e y x +=
二、填空题（本题共5小题, 每小题4分，满分20分）
1． 已知 ,y x u =则du = ． 2．设积分区域D 是由直线0=y 、1=x 及x y 2= 所围成的闭区域，则⎰⎰D
xyd σ = ．
3．设∑是球面2
2
2
2
a z y x =++的外侧，则
⎰⎰∑
++dxdy z dzdx y dydz x 3
33 = ． 4．微分方程y y xy ln '=的通解为 ．
5．将函数2
x
x e e shx --=展开成x 的幂级数，=shx ．
三（本题6分）设,0=-xyz e z 求x
z ∂∂．
四（本题满分6分）求微分方程x y y y 234'5''-=++的通解．
五（本题8分）求dy y x dx y x L
⎰
+--)sin ()(22其中L 是在半圆周22x x y -=
上由点)0,0(到点)1,1(的一段弧．
六（本题满分8分）设曲线积分
dy x x xf dx x yf L
⎰
-+])(2[)(2在右半平面)0(>x 内与路径无关，其中)(x f 可导，且
1)1(=f ，求)(x f ．
七（本题满分8分）将函数)0(1)(π≤≤+=x x x f 展开成余弦级数。

八（本题满分8分）、求
⎰⎰⎰
Ω
+dv y x )(2
2，其中Ω是由曲线0,22==x z y 绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面8,2==z z 所围的立体。

九（本题满分8分）、求级数1
201
2)1(+∞
=∑+-n n n x n 的收敛区间及和函数．
十（本题满分5分）设函数)0)((≥x x y 二阶可导且)(x y '>0，.1)0(=y 过曲线)(x y y =上任意一点),(y x P 作该曲线的切线及x 轴的垂线，上述两直线与x 轴所围成的三角形的面积记为1S ，区间],0[x 上以)(x y y =为曲边的曲边梯形面积记为2S ，并设212S S -恒为1，求此曲线)(x y y =的方程。

十一（本题满分3分）证明级数)cos 1()1(1
n n n α
--∑∞
= 绝对收敛（0≠α常数）。