U% (P, t) = A(P)e±i(ωt-ϕ (P)) = A(P)e−i(ωt-ϕ (P))
两者的对应关系，不是相等关系。 在运算操作中体现其作用
辐角取负数，使得相位的落后表现为辐角的增加。
两种典型的波及其复数形式：
平面简谐波
U
(rr,
t)
=
A
cos(ωt
-
r k
⋅
rr
-
ϕ0
)
U% (rr, t) = Aeikr⋅rr ⋅ e-iωt 设 ϕ0 = 0
U% *(P) = A(P)e-iϕ(P)
• 作业： – 147页 1题、2题、 3 题、4题 – 148页 5题、6题
第二节 波 前
x
波前概念：
U%波
1 波前的传统概念：
跑在最前面的波面称为波前。
z
2 广义波前概念：
y
U% (x, y)
在研究定态光波时，波面是否跑在前面不重要。
决定光波在某个平面上（x, y）被接收效果的，是该
z = 0 面上的球面波波前函数。
x
发散球面波：
U% (P) = a1 exp(ikr) r
Q
R
U%3
z
r = (x−x0)2 +(y−y0)2 +(z−z0)2
x0 = y0 = 0 z0 = −R z = 0
U% 3 ( x,
y)
=
a1 r
exp(ikr)
r = x2 + y2 + R2
平面或球面波前函数及其共轭波前
O
r
y
r
P x' ρ
O' y'
z
ρ = x '2 + y '2
x
r
O
r = z2 + ρ2
y
z
r = z2 + ρ 2 = z(1+ ρ 2 − ...)
2z2
U (x ', y ') =
a
exp[ik (z + ρ 2 )]
z(1 + ρ 2 / 2 z 2 )
2z
平面波前 U (x ', y ') = a exp(ikz) z
P x'
ρ
O' y'
U (x ',
y ')
=
z(1 +
a
ρ2
/ 2z2)
exp[ik ( z
+
ρ2
)] 2z
傍轴条件：（振幅为常数的条件）
ρ2
z2
<< 1
或 z2 >> ρ 2
远场条件：（位相为常数的条件）
1 k ρ2 <<π 或
2z
z >> ρ 2 λ
复振幅近似为：
U ( x ', y ') = a exp(ikr ) z
U (x ', y ') = a exp(ikz) r
两者都满足时：
U (x ', y ') = a exp(ikz) z
傍轴条件和远场条件，那个更严格？
傍轴条件 远场条件
ρρ << 1
zz ρρ << 1 zλ
可见，当λ< z 时，远场条件更严格。 当λ> z 时，傍轴条件更严格。
在光学中，一般是远场条件蕴含傍轴条件
= Aexp[ik(x cosα + y cos β + z cosγ )]
平面波复振幅的特点：
1）振幅为常数，与场点位置无关。 2）相位分布是场点位置的线性函数。（线性相因子）
* 线性相因子系数Ù平面波传播方向
kx2
+ ky2
+ kz2
=k
=
2π λ
球面波的复振幅及其特点
(1) 发散球面波 复振幅表达式为：
一般矢量波有三个自由度。 电磁场有两个垂直于传播方向的自由度。是横波。
波线
在波的几何描述中，有如下概念： 球面波 波面
波面:等相面。 波线:能量传播的路径。 在各向同性媒质中，波面与波线正交； 在各向异性媒质中，波面与波线一般不正交；
按照等相面的形状，可分为： 球面波：波面是球面。几何光学中的同心光束。 平面波：波面是平面。几何光学中的平行光束。
（1）一列平面波，其传播方向平行于（xz）平面，且
与z轴夹角r为θ。写出在 z = 0 面上的波前函数。
对于波矢 k1
x
k1x = k1 sinθ
k1
θ
k1y = 0
U%1
z
k1z = k1 cosθ
U%1(x, y) = Aexp(ik1xsinθ)
平面或球面波前函数及其共轭波前
（2）分析与 U1 共轭的是怎样的一列波。
r r0’ r0
z
P x' ρ
O' y'
r0
'
=
z
+
x2 + y2 2z
−...
r0
=
z
+
x '2 + y '2 2z
− ...
r0
=
z
+
x '2 + y '2 2z
− ...
r0
'
=
z
+
x2 + y2 2z
−...
Q
x
O
y
r r0’ r0
z
r = z2 + (x - x ') 2 + ( y - y ') 2
A (P): 振幅的空间分布
ϕ (P): 位相的空间分布 时间项：ωt [ω为圆频率]
与时间无关 与场点坐标无关
体现了定态波振幅稳定，频率单一的特点。
波函数的复数表示
为了运算和理论分析上的方便，将简谐波函数的 实数形式变换为复数形式.
两者的对应关系：
U ( P , t ) = A( P ) cos(ω t - ϕ ( P ))
傍轴距离： z1 = 50 ρ ≅ 70 cm 远场距离： z2 = 50ρ 2 / λ = 50cm
轴外物点满足傍轴条件与远场条件时的复振幅
r = z2 + (x - x') 2 + (y - y') 2
Q
x
r0 = z2 + x ' 2 + y ' 2
O
y
r0 ' = z 2 + x 2 + y 2
对于场点：P(x, y, z)
设点源坐标为： Q(x0, y0 , z0 )
z P(x, y, z)
k r
球面波复振幅表达式为：
U% (P) = a1 exp(ikr) r
Q(x0, y0 , z0 )
o
y
x
r = (x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2
• 例题： 已知相位分布
中，e-iωt 是独立的。
振幅的空间分布A (P) 和相位的空间分布 ϕ (P)
是关注的重点。
引入复振幅的概念，用来统一表示光波的空间分布特点：
U% (P) = A(P)eiϕ(P)
分析定态波场，就是分析复振幅分布。
平面波的复振幅及其特点
平U% (面rr)波=复A振ex幅p(i表kr 达⋅ rr)式为： = Aexp[i(kx x + ky y + kz z)]
面上的光场分布 U% (x, y)
在现代波动光学中，波前指与接收平面直接打交道的
光场分布： U% (x, y) （也称波前函数）
在此概念下，波前不一定就是等相面； 不再关心等相面是何种形貌。
波前分析是现代波动光学的主要内容
波前的描述与识别 波前的叠加与干涉 波前的变换与分解 波前的记录与再现
平面或球面波前函数及其共轭波前
例题5 设单色点光源发射的光波波长λ~ 0.5um, 横向观测范围的线度ρ~ 1mm，估算傍轴距离和远场距离。
取50倍作为<<1 的条件。
傍轴距离： ρ ρ = 1 / 5 0
zz 远场距离： ρ ρ = 1 / 5 0
zλ
z1 = 50 ρ ≅ 7mm
z2 = 50ρ 2 / λ = 100m
例题6 某点声源发射的声波波长λ~ 1m, 横向观测范围的线度ρ~ 10m，估算傍轴距离和远场距离。
定态波和脉冲波时间划分是相对的。
光波周期： T ≈ 1 0 -14 s
普通光源微观粒子一次持续发光时间： τ ≈ 1 0 -8 s
波列内含有周期数：1 0 6
视为定态波。
对于一次持续发光时间为： 1 0 -12 s
就认为是脉冲波。
当前脉冲波在实验室中可达到： 4 .5 × 1 0 -15 s
定态光波的标量表示
r = z + x '2 + y '2 + x2 + y2 − xx '+ yy ' + ...
2z
2z
z
=
r0
+
x2 + y2 2z
−
xx '+ z
U% (x, y) = A exp(-i2π fx)
分析与该波前函数相联系的波的类型和特征。
据题意： kx = −2π f ky = 0 Z = 0 U% (rr) = Aexp[i(kxx + ky y + kz z)]