电影院座位设计问题一、问题的提出下图为影院的剖面示意图，座位的满意程度主要取决于视角α和仰角β。
视角α是观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角，α越大越好；仰角β是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，β太大使人的头部过分上仰，引起不舒适感，一般要求β不超过o30。
设影院屏幕高h , 上边缘距地面高H ，地板线倾角θ，第一排和最后一排座位与屏幕水平距离分别为d 和D , 观众平均坐高为c （指眼睛到地面的距离）。
已知参数 h =， H =5，d = ，D =19，c =（单位：m ）。
(如图所示)(1) 地板线倾角θ＝o10，试问最佳的座位在什么地方。
(2) 求地板线倾角θ（一般不超过o20），使所有观众的平均满意程度最大。
(3) 地板线设计成什么形状可以进一步提高观众的满意程度。
二、问题的分析观众在电影院观赏电影，感觉是否满意不仅取决于电影的精彩与否，而且还取决于座位设计的舒适程度. 座位的设计应满足什么要求，是一个非常现实的问题.根据题意观众对座位的满意程度主要取决于观看时的视角和仰角. 经调查可知这两者都要满足一定的条件.但在实际生活中又不可能同时满足，只能在二者兼顾的条件下求出使平均满意度最大的那种情况. 根据题意很容易得知α和β的正切值呈递减趋势，这对问题的解决很有帮助.下文针对题目提出的三个问题逐一进行分析.针对问题1：为方便求解，可以以屏幕所在的墙壁的剖面为y 轴，向上为正方向，以与之垂直的地面为x 轴，以交点为原点O,建立直角坐标系.当地板线倾角o 10=θ时，根据已知条件通过计算得知，最前排视角α和仰角β的值均为最大，最后排视角α和仰角β的值均为最小.那么仰角030=β时的位置是否是最佳位置呢我们可以先将离散的座位连续化，根据条件求出αtg 的表达式，作出α对x 的变化图象以及其变化率图象，计算αtg 的最大值，找到最佳座位点，然后再将问题离散化，对求得的最佳座位点进行优化.针对问题2： 一般地，人们对某件事物看法的心理变化是一个模糊的概念.本文观众对座位是否满意也是一个模糊概念.根据模糊数学隶属度的概念和心理学的相关知识，我们可以引入满意度函数的概念，构造一个满意度函数，通过这一函数来度量观众满意程度随其座位离屏幕的距离x 的变化趋势.在倾斜角θ固定的情况下，满意度函数值随x 的变化而变化，不同的x 有不同的满意度.有了满意度函数这一衡量标准后，我们可以求出所有座位的平均满意度.当平均满意度最大时，求出此时对应的倾斜角θ，即为所要求的平均满意度最大时地板线的倾斜角度.三.模型的假设1. 假设座位在地板线上严格等距，且均匀分布；2. 假设观众的满意度可以用一连续函数来衡量，因而可将离散问题连续化；3. 假设视角对观众的满意度影响较大；四.符号说明α当人坐下时眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角 β当人坐下时眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角),(y x p 当人坐下时眼睛所处在坐标系中的位置坐标）（x F α关于距离x 和倾斜角θ的正切函数 ）（x G β关于距离x 和倾斜角θ的正切函数 )(x M 满意度函数)(i x M 第i 个位置的满意程度M 平均满意程度λ满意度函数的相关因子（即满意因子）五.模型的建立 1.建模的准备建立坐标系为了建立合适的数学模型，我们先建立如下坐标系：由题意及坐标图得，直线L 的方程：c d x tg y +-=)(θ （1） 直线L 上任意一点),(y x P 的仰角β的正切值为： xtg d x c H tg θβ)(---=（2）又由图可知： xtg d x h c H tg θαβ)()(----=- （3）由（2）（3）得：xdtg c H h dtg c H x tg dtg c H htg htg )()()1()(222θθθθθα+--+-++++--=构造满意度函数一般说来，人们的心理变化是一个模糊的概念.本文中观众对某个座位是否满意的看法就是一个典型的模糊概念.由模糊数学隶属度的概念和心理学的相关知识，根据人们通常对一件事物评价的心理变化应遵循一定规律，不妨定义观众对座位的满意度为：)0()(20)(>=--λλx x ex M （4）其中λ表示观众满意度的相关因子，称为满意因子，一般为常数. 0x 表示最佳座位点，即最佳座位处的横坐标值.2.模型的建立问题1的模型座位的满意程度主要取决于视角α和仰角β.α越大越好，β太大使人的头部过分上仰，引起不舒适感，一般要求β不超过o30.要确定最佳座位，必须同时兼顾视角α和仰角β.由上文不难发现αtg 和βtg 均是x 的函数，这里不妨令αtg x F =)(，βtg x G =)(，则可得到：xdtg c H h dtg c H x tg dtg c H htg hx F )()()1()(2)(22θθθθθ+--+-++++--=（5）xtg d x c H x G θ)()(---=（6）由030≤β，即030tg tg ≤β得：θπθtg tgdtg c H x ++-≥6又由题意知：D x ≤ 则x的取值范围为：D x tg tgdtg c H ≤≤++-θπθ6（7）从而得到求解最佳座位的数学模型：xdtg c H h dtg c H x tg dtg c H htg hx MaxF )()()1()(2)(22θθθθθ+--+-++++--=t s .D x tg tgdtg c H ≤≤++-θπθ6（8）当θ=10度时求得模型的解观众的满意度随位置变化曲线如图：4681012141618-0.100.10.20.30.40.50.60.70.8地板线横坐标x观众的满意度值θ=10度时观众的满意度曲线问题2的模型为了求平均满意程度最大时地板的倾角θ，本文先设法求平均满意程度M . 由（4），记第i 个座位满意度为：)0()(20)(>=--λλx x i i ex M （9）则区间],[D d 上n 个座位的满意度为：∑=ni i x M 1)( （10）从而得座位的平均满意程度为：nx M M ni i∑==1)( （11）从而得到求解地板倾角的数学模型：Max nx M M ni i∑==1)(（12）其中i x 的表达式为：l i d x i )1(-+=，l 为常数，表示前后两个座位之间的距离.，n 的表达式为：1][+-=ldD n . 观众满意度随地板线曲率变化如图：00.51 1.52 2.59.29.49.69.81010.210.4地板线斜率k(tgθ)观众平均满意度观众平均满意度随地板线斜率变化曲线有图解得：︒==8.1936.0arctan θ问题3的模型为了进一步提高观众的满意程度，应当使总满意程度进一步增大。
因此，利用最优化模型，使得每一名观众的满意程度达到最大。
目标函数为：Max nx M M ni i∑==1)(约束条件为：)0,0()(20)(n i e x M x x i i <<>=--λλ从而得到结果为：02468101214161820附录：第一、二问程序：n=0;ku=0;q=5;t0=0;s=;for k=0::;m=0;for x=450:1900;y(x)=(x/100)*(k^2+1)/2+((3+*k)^/(2*(x/100))-k*(3+*k);z(x)=y(x);w(x)=atan(z(x));f(x)=atan((5-k*((x/100)/(x/100));x30=+*k)/(k+(3^/3);if k==if x<=x30t=(w(x)-q*(f(x)-pi/6));if t>t0t0=t;x10=x/100;endendif x>x30t=(w(x)-s*q*(f(x)-pi/6));if t>t0t0=t;x10=x/100;endendx11=x/100;figure(1);plot(x11,t);grid;xlabel('地板线横坐标x');ylabel('观众的满意度值');title('θ=10度时观众的满意度曲线');hold on;endif x<=x30m=((w(x)-q*(f(x)-pi/6))/100)+m;endif x>x30m=((w(x)-s*q*(f(x)-pi/6))/100)+m;endendfigure(2);plot(k,m,'.');grid;xlabel('地板线斜率k(tgθ)');ylabel('观众平均满意度');title('观众平均满意度随地板线斜率变化曲线'); hold on;m>nn=m;ku=k;endplot(x10,t0,'*');第三问程序：h=;H=5;d=;D=19;c=;q=1;s=;para=0;stepx=(D-d)/20; stepy=(H-c)/25; y=zeros(1,21); total=0;max=0;for i1=0:1i(1)=i1;for i2=0:1i(2)=i2;for i3=0:1i(3)=i3;for i4=0:1i(4)=i4;for i5=0:1i(5)=i5;for i6=0:1i(6)=i6; for i7=0:1i(7)=i7; for i8=0:1i(8)=i8; for i9=0:1i(9)=i9; for i10=0:1i(10)=i10; for i11=0:1i(11)=i11; for i12=0:1i(12)=i12; for i13=0:1i(13)=i13; for i14=0:1i(14)=i14; for i15=0:1i(15)=i15; for i16=0:1i(16)=i16; for i17=0:1i(17)=i17; for i18=0:1i(18)=i18;for i19=0:1i(19)=i19;for i20=0:1i(20)=i20;for i21=0:1i(21)=i21;for i22=0:1i(22)=i22;for i23=0:1i(23)=i23;for t=1:21x(t)=(t-1)*stepx+d;y(1)=c;if t>1for r=2:ty(t)=i(r-1)*stepy+y(t-1);endendx1=x(t);y1=y(t);de=(x1)^2+(H-h/2-y1)^2-(h/2)^2;w(t)=(atan((h*x1)/de)-s*q*((atan(H-y1)/x1)-pi/6));if x1<(3^*5;if y1<=(5-((3^/3)*x1);w(t)=(atan((h*x1)/de)-q*((atan(H-y1)/x1)-pi/6));endendtotal=total+w(t);endendpara=0;if total>maxmax=total;for e=1:20if y(e)>(H-h)for v=1:eaa=((v-1)*stepx+d)*(-(y(e)-(H-h))/((e-1)*stepx+d))+(H-h);if aa<y(v)para=1;endendendendfor s=1:20if para~=1;m(s)=i(s);endendendendtotal=0;endendendendendendendendendendendendendendendendendendendendendfor j=1:21m0=0;if j>1for e=2:jm0=m(e-1)+m0;endendyopt(j)=m0*stepy;xopt(j)=(j-1)*stepx+d;endx3=1::length(yopt)-1;y3=interp1(xopt,yopt,x3,'cubic'); p=polyfit(x3,y3,15);y4=polyval(p,x3);plot(x3,y4,'-');hold onplot(x3,y3,xopt,yopt); for rr=1:length(yopt)-1; y5=y4((rr-1)*10+1); plot(rr,y5);hold onendgrid on;hold on;plot(0,(H-h),'*'); plot(0,H,'*');。