第三讲力矩平衡条件及应用（竞赛辅导—含答案）一、力矩1．力和转动轴之间的距离，即从转动轴到力的作用线的距离，叫做力臂。
2．力矩：定义力F与其力臂L的乘积叫做力对转动轴的力矩。
用字母M表示。
表达式M＝FL。
二、物体平衡条件力矩的平衡条件：有固定转动轴物体的平衡条件是力矩的代数和等于零。
即M1＋M2＋M3＋ 0或者：M合＝0力矩平衡以其广泛的实用性，其难点分布于：（1）从实际背景中构建有固定转动轴的物理模型.（2）灵活恰当地选取固定转动轴.（3）将转动模型从相关系统（连结体）中隔离分析等.实际上一个物体的平衡，应同时满足F合=0和M合=0.共点力作用下的物体如果满足F合=0，同时也就满足了M合=0，达到了平衡状态；而转动的物体只满足M合=0就不一定能达到平衡状态，还应同时满足F合=0方可.三、有固定转动轴物体平衡问题解题步骤1.明确研究对象，即明确绕固定转动轴转动的是哪一个物体.2.分析研究对象所受力的大小和方向，并画出力的示意图.3.依题意选取转动轴，并找出各个力对转动轴的力臂，力矩的大小和方向.4.根据平衡条件（使物体顺时针方向转动的力矩之和等于使物体逆时针方向转动的力矩之和）列方程，并求解.【解题方法指导】例1.一个重要特例：请分析杆秤上的刻度为什么是均匀的？例2. 如图所示，重G的均匀木杆可绕O轴在竖直平面内转动，现将杆的A端放在光滑地面上的木块上面，杆与竖直方向的夹角为30°，用水平力F＝G/20匀速拉动木块，求杆和木块间的动摩擦因数。
【典型例题分析】例1.如下图是半径分别为r和2r的两个质量不计的圆盘，共轴固定连结在一起，可以绕水平轴O无摩擦转动，大圆盘的边缘上固定有一个质量为m的质点，小圆盘上绕有细绳。
开始时圆盘静止，质点处在水平轴O的正下方位置。
现以水平恒力F拉细绳，使两圆盘转动，若恒力F＝mg，两圆盘转过的角度θ＝时，质点m的速度最大。
例2.有人设计了一种新型伸缩拉杆秤。
结构如下图，秤杆的一端固定一配重物并悬一挂钩，秤杆外面套有内外两个套筒，套筒左端开槽使其可以不受秤纽阻碍而移动到挂钩所在位置（设开槽后套筒的重心仍在其长度中点位置），秤杆与内层套筒上刻有质量刻度。
空载（挂钩上不挂物体，且套筒未拉出）时，用手提起秤纽，杆秤恰好平衡，当物体挂在挂钩上时，往外移动内外套筒待测物体的质量。
已知秤杆和两个套筒的长度均为16cm ，套筒可移出的最大距离为15cm ，秤纽到挂钩的距离为2cm ，两个套筒的质量均为0.1kg 。
取重力加速度g＝10m/s 2。
（1）当杆秤空载平衡时，秤杆、配重物及挂钩所受重力相对秤纽的合力矩；（2）当在秤钩上挂一物体时，将内套筒向右移动5cm ，外套筒相对内套筒向右移动8cm ， 杆秤达到平衡，物体的质量多大？（3）若外层套筒不慎丢失，在称某一物体时，内层套筒的左端在读数为1千克处杆秤恰好平衡，则该物体实际质量多大？例3. 一架均匀梯子，长10m ，静止地靠在光滑的竖直墙面上，下端离墙6m ， 梯子重力为400N ；下端与地面静摩擦因数为μ＝0.40，一人重力为800N ，缓缓登梯。
求（1）地面对梯子下端的最大静摩擦力。
（2）人沿梯子攀登5m 时， 地面对梯的静摩擦力。
（3）人最多能沿梯子攀上多少距离。
例4. 下图是用电动砂轮打磨工件的装置，砂轮的转轴过图中O 点垂直于纸面，AB 是一长度L ＝0.60 m ，质量kg m 50.01=的均匀刚性细杆，可绕过A 端的固定轴在竖直面（图中纸面）内无摩擦地转动。
工件C 固定在AB 杆上，其质量kg m 5.12=，工件的重心、工作与砂轮的接触点P 以及O 点都在过AB 中点的竖直线上。
P 到AB 杆的垂直距离d ＝0.10m ，AB 杆始终处于水平位置。
砂轮与工件之间的动摩擦因数μ＝0.60。
（1）当砂轮静止时，要使工件对砂轮的压力F 0＝100N ，则施于B 端竖直向下的力F B 应是多大?（2）当砂轮逆时针转动时，要使工件对砂轮的压力仍为F 0＝100N ，则施于B 端竖直向下的F B '应是多大?第三讲 力矩平衡条件及应用一、力矩1．力和转动轴之间的距离，即从转动轴到力的作用线的距离，叫做力臂。
2．力矩：定 义 力F 与其力臂L 的乘积叫做力对转动轴的力矩。
用字母M 表示。
表达式 M ＝FL 。
二、物体平衡条件力矩的平衡条件：有固定转动轴物体的平衡条件是力矩的代数和等于零。
即M 1＋M 2＋M 3＋ 0或者：M 合＝0力矩平衡以其广泛的实用性，其难点分布于：（1）从实际背景中构建有固定转动轴的物理模型.（2）灵活恰当地选取固定转动轴.（3）将转动模型从相关系统（连结体）中隔离分析等.实际上一个物体的平衡，应同时满足F 合=0和M 合=0.共点力作用下的物体如果满足 F 合=0，同时也就满足了M 合=0，达到了平衡状态；而转动的物体只满足M 合=0就不一定能达到平衡状态，还应同时满足F 合=0方可.三、有固定转动轴物体平衡问题解题步骤1.明确研究对象，即明确绕固定转动轴转动的是哪一个物体.2.分析研究对象所受力的大小和方向，并画出力的示意图.3.依题意选取转动轴，并找出各个力对转动轴的力臂，力矩的大小和方向.4.根据平衡条件（使物体顺时针方向转动的力矩之和等于使物体逆时针方向转动的力矩之和）列方程，并求解.【解题方法指导】例1. 一个重要特例：请分析杆秤上的刻度为什么是均匀的？解析：杆秤的基本原理是利用力矩平衡条件来称量物体的质量的，其构造如图1所示，主要由秤杆、秤钩、提纽和秤砣构成。
图1设秤砣的质量为m 0，秤杆和秤钩的质量大小为M 0，重心在图2中的C 点，当秤钩上不挂任何重物，提起提纽时，秤砣置于A 点，杆秤保持水平平衡，由力矩平衡条件可得： m g OA M g OC 00×× （1）图2 所以OA ＝00m M OC对一确定的杆秤来说，秤杆的质量和重心的位置都是确定的，秤砣的质量也是确定的，所以A 的位置也是确定的，由于O 是秤钩上不挂任何重物时秤砣所在的位置，所以A 点是杆秤的零刻度位置，叫做定盘星。
当用杆秤来称量重物P 的质量时，秤砣必须置于秤杆上的某一位置D ，才能使杆秤保持水平平衡，如图3所示，由力矩平衡条件可得：图3 Mg·OB ＝M 0g ·OC ＋m 0g·OD （2）由（1）、（2）两式可得m AD M OB 0××= 即：M m OB AD 0= 由上式可以看出：当杆秤称量重物时，秤砣到定盘星A 点的距离与重物的质量成正比，尽管秤杆的形状粗细不一，杆秤的重心不在杆秤中点，但杆秤的刻度是均匀的。
例2. 如图所示，重G 的均匀木杆可绕O 轴在竖直平面内转动，现将杆的A 端放在光滑地面上的木块上面，杆与竖直方向的夹角为30°，用水平力F ＝G/20匀速拉动木块，求杆和木块间的动摩擦因数。
解析：要求木块与杆间的动摩擦因数，涉及到木块与杆间的摩擦力，需将木块与杆分隔开，分别进行研究，以杆为分析对象，除O 点外，杆的受力情况如图所示，设杆长为L ，由M 合＝0，得：G ·Lsin30°/2－N ·Lsin30°－f ·Lcos30°＝0因f ＝μN，上式简化为G/4－N/2－3μ/2＝0 ①再以木块为分析对象，杆的A端对木块的摩擦力水平向右，由F合＝0，F－μN＝0 ②依题意F＝G/20 ③解①、②、③得μ＝0.12小结：以上是两类平衡问题的综合，常用隔离法恰当选择隔离体后分别按单一体的解法求解，与单一体解法不同的是：要留心相关物理量的分析，如上例中，木块对杆的摩擦力与杆对木块的摩擦力的关联性，是一对作用力与反作用力。
【典型例题分析】例1.如下图是半径分别为r和2r的两个质量不计的圆盘，共轴固定连结在一起，可以绕水平轴O无摩擦转动，大圆盘的边缘上固定有一个质量为m的质点，小圆盘上绕有细绳。
开始时圆盘静止，质点处在水平轴O的正下方位置。
现以水平恒力F拉细绳，使两圆盘转动，若恒力F＝mg，两圆盘转过的角度θ＝时，质点m的速度最大。
解析：这是一个典型的转动问题，题目中问何时圆盘转动的角速度最大，我们应首先研究圆盘的转动规律，力矩是盘转动的原因，当盘受到的力矩不平衡时，盘转动的角速度将会改变，本题中开始时Ｆ的力矩大于m的力矩，所以盘将沿逆时针方向加速转动，m的力矩逐渐增大，当Ｆ的力矩与小球m的力矩平衡时转速达到最大，之后m的力矩将继续增大，大于Ｆ的力矩，圆盘转动的速度将减小，即：mg2r sinθ＝Ｆr，可得θ＝30°。
例 2.有人设计了一种新型伸缩拉杆秤。
结构如下图，秤杆的一端固定一配重物并悬一挂钩，秤杆外面套有内外两个套筒，套筒左端开槽使其可以不受秤纽阻碍而移动到挂钩所在位置（设开槽后套筒的重心仍在其长度中点位置），秤杆与内层套筒上刻有质量刻度。
空载（挂钩上不挂物体，且套筒未拉出）时，用手提起秤纽，杆秤恰好平衡，当物体挂在挂钩上时，往外移动内外套筒待测物体的质量。
已知秤杆和两个套筒的长度均为16cm，套筒可移出的最大距离为15cm，秤纽到挂钩的距离为2cm，两个套筒的质量均为0.1kg。
取重力加速度g ＝10m/s2。
（1）当杆秤空载平衡时，秤杆、配重物及挂钩所受重力相对秤纽的合力矩；（2）当在秤钩上挂一物体时，将内套筒向右移动5cm，外套筒相对内套筒向右移动8cm，杆秤达到平衡，物体的质量多大？（3）若外层套筒不慎丢失，在称某一物体时，内层套筒的左端在读数为1千克处杆秤恰好平衡，则该物体实际质量多大？解答：（1）套筒不拉出时杆秤恰好平衡，此时两套筒的重力相对秤纽的力矩与所求的合力矩相等，设套筒长度为L，合力矩)2/(2d L mg M -= ①)(12.0)02.008.0(101.02m N ⋅=-⨯⨯⨯= ②（2）力矩平衡 )(2111x x mg mgx gd m ++= ③m d x x m 2112+=∴ ④)(9.01.002.008.005.02kg =⨯+⨯=⑤ （3）正常称衡1kg 重物时，内外两个套筒可一起向外拉出x '力矩平衡 x mg gd m '='22⑥ )(1.002.01.02122m d m m x =⨯⨯='='∴ ⑦ 外层套筒丢失后称物，此时内套筒左端离秤纽距离为m d x 08.0=-'力矩平衡 )2/(2L d x mg M gd m +-'=+ ⑧gd M L d x d m m -+-'=∴)2/(2 )(2.06.0)08.008.0(02.01.0kg =-+⨯=小结：力矩平衡问题的研究方法和思想与共点力平衡问题是相似的，只不过一个研究的是力的平动效果，匀速或加速运动，一个研究的是物体的转动效果，匀速转动或加速转动。