锐角三角函数与解直角三角形一、选择题1. (2018·柳州)如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，4,3BC AC ==，sin B 的值为( )A.35 B. 45 C. 37 D. 342. (2018·孝感)在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，10,8AB AC ==，则sin A 的值为( ) A.35 B. 45 C. 34 D. 433. (2018·云南)在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，1,3AC BC ==，则A ∠的正切值为( )A. 3B.13C. D.4. (2018·大庆)2cos60︒的值为( )A. 1B.C. D.125. (2018·天津) cos30︒的值为( )A.2 B. C. 1 D. 6. ( 2018·日照)计算11()tan30sin 602-+︒︒g 的结果为( ) A. 32-B. 2C. 52D. 727. ( 2018·烟台)利用计算器求值时，小明将按键顺序为(sin 30)()4xy-=的显示结果记为a ，26/3x ab c =的显示结果记为b 。

则,a b 的大小关系为( )A. a b <B. a b > C . a b = D.不能比较8. (2018·葫芦岛)如图，AB 是⊙O 的直径，,C D 是⊙O 上AB 两侧的点.若30D ∠=︒，则tan ABC ∠的值为( )A.12B. C. D.9. (2018·贺州)如图，AB 是⊙O 的直径，且经过弦CD 的中点H ，已知3sin 5CDB ∠=，5BD =，则AH 的长为( )A. 253B. 163C. 256D. 16610. (2018·自贡)如图，若ABC ∆内接于半径为R 的⊙O ，且60A ∠=︒，连接,OB OC ，则边BC 的长为( )A.B.R C. R D.11.(2018·娄底)如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则sin cos αα-的值为( )A. 513B. 513-C. 713D. 713- 12. (2018·枣庄)如图，在矩形ABCD 中，E 是边BC 的中点，AE BD ⊥，垂足为F ，则tan BDE ∠的值是( )A.4 B. 14 C. 13D. 313. (2018·无锡)如图，E 是矩形ABCD 的对角线AC 上一动点，正方形EFGH 的顶点,G H 都在边AD 上.若3,4AB BC ==，则tan AFE ∠的值( )A.等于37B.等于3C.等于34D.随点E 位置的变化而变化 14. (2018·贵阳)如图，,,A B C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则t a n BAC ∠的值为( )15. (2018·常州)某数学研究性学习小组制作了如图所示的三角函数计算图尺:在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA 的0刻度固定在半圆的圆心O 处，刻度尺可以绕点O 转，从图中所示的图尺可读出sin AOB ∠的值是( ) A.58 B. 78 C. 710 D. 4516. (2018·荆州)如图，在平面直角坐标系中，⊙P 经过三点(8,0)A ，(0,0)O ，(0,6)B ，D 是⊙P 上的一动点.当点D D 到弦OB 的距离最大时，tan BOD ∠的值是( )A. 2B. 3C. 4D. 517. (2018·陕西)如图。

在ABC ∆中，8AC =，60ABC ∠=︒，45C ∠=︒，AD BC ⊥，垂足为D ，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，则AE 的长为( )A.B. C. D. 18. (2018·包头)如图，在四边形ABCD 中，BD 平分ABC ∠，90BAD BDC ∠=∠=︒，E为BC 的中点，AE 与BD 相交于点F .若4BC =，30CBD ∠=︒.则DF 的长为( )A. B. C. D.19. (2018·苏州)如图，矩形ABCD 的顶点,A B 在x 轴的正半轴上，反比例函数ky x =在第一象限内的图象经过点D ，交BC 于点E .若4,2AB CE BE ==，3tan 4AOD ∠=，则k 的值为()A. 3B.C.6D.12二、填空题20. (2018·德州)如图，在44⨯的正方形方格图形中。

小正方形的顶点称为格点，ABC ∆的 顶点都在格点上，则BAC ∠的正弦值是 .21. (2018·烟台)计算:0(3,14)tan 60π-+︒= . 22. (2018·滨州)在ABC ∆中，90C ∠=︒，若1tan 2A =，则sin B 的值为 .23.(2018·巴中)已知在ABC ∆中，1s i n n )02A-=，那么A B ∠+∠= .24.(2018·湖州)如图，菱形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O .若1tan 3BAC ∠=，6AC =，则BD 的长是 .25. (2018·铜仁)如图。

在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，,D E 是边AB 上两点，且CE 所在的直线垂直平分线段,AD CD 平分BCE ∠，BC =AB 的长为 .26. (2018·山西)如图，直线//MN PQ ，直线AB 分别与,MN PQ 相交于点,A B .小宇同学利用尺规按以下步骤作图:①以点A 为圆心，任意长为半径画弧交AN 于点C ，交AB 于点D ；②分别以点,C D 为圆心，大于12CD 的长为半径画弧，两弧在NAB ∠内交于点E ；③作射线AE 交PQ 于点F .若2AB =，60ABP ∠=︒，则线段AF 的长为 .27.(2018眉山)如图，在边长为1的小正方形网格中，点,,,A B C D 都在这些小正方形的顶点上，,AB CD 相交于点O ，则tan AOD ∠的值为 .28. (2018·泰安)如图，在ABC ∆中，6,10AC BC ==，3tan 4C =，D 是AC 边上的动点(不与点C 重合)，过点D 作DE BC ⊥，垂足为,E F 是BD 的中点。

连接EF .设CD x =，DEF ∆的面积为S ，则S 与x 之间的函数解析式为 .29. (2018·泰安)如图，在矩形ABCD 中，6,10AB BC ==，将矩形ABCD 沿BE 折叠，点A 落在点'A 处.若'EA 的延长线恰好过点C ，则sin ABE ∠的值为 .30. (2018·福建)把两个同样大小的含45º角的三角尺如图放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A ，且另三个锐角顶点,,B C D 在同一条直线上.若AB =，则CD 的长为 .31. (2018·随州)如图，一次函数2y x =-的图象与反比例函数(0)ky k x=>的图象相交于,A B 两点，与x 轴交于点C .若1tan 3AOC ∠=，则k 的值为 .32. (2018·宁波)如图，在菱形ABCD 中，2AB =，B ∠是锐角，AE BC ⊥于点E ，M 是AB 的中点，连接,MD ME .若90EMD ∠=︒，则cos B 的值为 .33. (2018·柳州)如图，在Rt ABC ∆中，90BCA ∠=︒，30DCA ∠=︒，AC =，AD =，则BC 的长为 .34. (2018·南通)如图，在矩形ABCD 中，E 是AB 的中点，将BCE ∆沿CE 翻折，点B 落在点F 处，4tan 3DCE ∠=.设AB x =，ABF ∆的面积为y ，则y 与x 的函数解析式为 .35. (2018·广东)如图，11OA B ∆是等边三角形，顶点1A 在双曲线(0)y x x=>上，点1B 的坐标为(2,0).过点1B 作121//B A OA 交双曲线于点2A ，过点2A 作2211//A B A B 交x 轴于点2B .得到第二个等边三角形122B A B ；过点2B 作2312//B A B A 交双曲线于点3A ，过点3A 作3322//A B A B 交x 轴于点3B ，得到第三个等边三角形233B A B ；…以此类推，则点6B 的坐标为 .36. (2018·泰州)如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5sin 13A =，12AC =，将ABC ∆绕点C 顺时针旋转90º得到''A B C ∆，P 为线段''A B 上的动点，以点P 为圆心，'PA 长为半径作⊙P .当⊙P 与ABC ∆的边相切时，⊙P 的半径为 .37. (2018·沈阳)如图，ABC ∆是等边三角形，AB =，D 是边BC 上一点，H 是线段AD上一点，连接,BH CH .当60BHD ∠=︒，90AHC ∠=︒时，DH 的长为 . 38. (2018·齐齐哈尔)在四边形ABCD 中，BD 是对角线，90ABC ∠=︒，3tan 4ABD ∠=，20,10,13AB BC AD ===，则线段CD 的长为 .三、解答题39. (2018·株洲)如图，Rt AMB ∆和Rt AND ∆的斜边分别为正方形的边AB 和AD ，其中AM AN =.(1)求证: Rt AMB Rt AND ∆≅∆;(2)线段MN 与线段AD 相交于点T ，若14AT AD =，求tan ABM ∠的值.40. (2018·贵阳)如图①，在Rt ABC ∆中，以下是小亮探究sin a A 与sin bB3、之间关系的方法：∵sin a A c =，sin b B c =，∴sin a c A =，sin b c B =.∴sin sin a bA B=. 根据你掌握的三角函数知识.在图②的锐角三角形ABC 中，探究sin a A ，sin b B ，sin cC之间的关系，并写出探究过程.41. (2018·上海)如图，在ABC ∆中，5AB BC ==，3tan 4ABC ∠=. (1)求AC 的长;(2)设BC 的垂直平分线与AB 的交点为D ，求ADDB的值.42. (2018·无锡)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，17,10AB CD ==，90A ∠=︒，3cos 5B =，求AD 的长.43. (2018·兰州)如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上的一点，D 为BA 延长线上的一点，ACD B ∠=∠.(1)求证:DC 为⊙O 的切线;(2)线段DF 分别交,AC BC 于点,E F ，且45CEF ∠=︒，⊙O 的半径为5，3sin 5B =，求CF 的长.44. (2018·莱芜)如图，,A B 是⊙O 上两点，OAB ∆外角的平分线交⊙O 于另一点C ，CD AB ⊥交AB 的延长线于点D . (1)求证:CD 是⊙O 的切线.(2) E 为»AB 的中点，F 为⊙O 上一点，EF 交AB 于点G .若3tan 4AFE ∠=，BE BG =，EG =，求⊙O 的半径.45. (2018·荆州)问题:已知α，β均为锐角，1tan 2α=，1tan 3β=，求αβ+的度数. 探究:(1)用6个小正方形构造如图所示的网格图(每个小正方形的边长均为1)，请借助这个网格图求出αβ+的度数;延伸:(2)设经过图中,,M P H 三点的圆弧与AH 交于点R ，求»MR的长度.46. (2018·杭州)如图，在正方形ABCD 中，点G 在边BC 上(不与点,B C 重合)，连接AG ，作DE AG ⊥于点E ，BF AG ⊥于点F ，设BGk BC=. (1)求证:AE BF =.(2)连接,BE DF ，设EDF α∠=，EBF β∠=.求证:tan tan k αβ=.(3)设线段AG 与对角线BD 交于点H ，AHD ∆和四边形CDHG 的面积分别为1S 和2S ，求21S S 的最大值.47.(2018·东营)关于x 的方程225sin 20x x A -+=有两个相等的实数根.其中A ∠是锐角三角形ABC 的一个内角. (1)求sin A 的值;(2)若关于y 的方程22104290y y k k -+-+=的两个根恰好是ABC ∆的两边长，求ABC ∆的周长.48. (2018·扬州)问题呈现如图①，在边长为1的正方形网格中，连接格点,D N 和,,E C DN 和EC 相交于点P ，求tan CPN ∠的值. 方法归纳求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形.观察发现问题中CPN ∠不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点,M N ，可得//MN EC ，则DNM CPN ∠=∠，连接DM ，则CPN ∠就变换到Rt DMN ∆中. 问题解决(1)图①中tan CPN ∠的值为 ;(2)如图②，在边长为1的正方形网格中，AN 与CM 相交于点P ，求c o s C P N ∠的值; 思维拓展(3)如图③，AB BC ⊥，4AB BC =，点M 在AB 上，且AM BC =，延长CB 到点N ，使2BN BC =，连接AN 交CM 的延长线于点P ，用上述方法构造网格求CPN ∠的度数.49. (2018·武汉)在ABC ∆中，90ABC ∠=︒.(1)如图①，分别过,A C 两点作经过点B 的直线的垂线，垂足分别为,M N ，求证:ABM BCN ∆∆:;(2)如图②，P 是边BC 上一点，BAP C ∠=∠，tan PAC ∠=，求tan C 的值； (3)如图③，D 是边CA 延长线上一点，AE AB =，90DEB ∠=︒，3sin 5BAC ∠=，25AD AC =，直接写出tan CEB ∠的值.参考答案一、1. A 2. A 3. A 4. A 5. B 6. C 7. B 8. C 9.B10. D 11. D 12. A 13. A 14. H 15. D 16. B 17. C18. D 19. A二、20. 521. 1 22. 23. 90︒ 24. 225. 426. 27. 2 28. 233252S x x =-+29. 30. 131. 332. 33. 5 34. 26(025y x x =>)35. 36. 15625或10213 37. 1338. 17三、39. (1)点拨：AB ADAM AN =⎧⎨=⎩ (2)1tan 3ABM ∠= 40. sin sin sin abcA B C ==点拨：如图，过点A 作AD BC ⊥，垂足为D .∵sin ADB c =，∴sin AD c B =g .又∵sin ADC b =，∴sin AD b C =g .∴sin sin c B b C =g g ，∴sin sin b c B C=.41. (1)AC = (2)35AD DB = 42. 6AD = 43. (1)点拨：连接OC .证明90OCD ∠=︒即可(2)247CF = 44. (1)点拨：连接OC .证明//OC AD 即可 (2) ⊙O 的半径为252. 45. (1)45αβ+=︒(2) »MR. 46. (1)点拨：ADE BAF ∆≅∆(2)点拨：证明ABG DEA ∆∆:，∴EA BG k DE BC==. ∵tan ,tan EF EF DE BFαβ==， 又∵AE BF =， ∴tan tan BF AE k DE DEαβ=== (3) 21S S 的最大值为54. 47. (1)4sin 5A = (2) ABC ∆的周长为16或10+48. (1) 2(2)cos 2CPN ∠= (3) 45CPN ∠=︒49. (1)点拨：90BAM CBN AMB BNC ∠=∠⎧⎨∠=∠=︒⎩(2) tan C = (3)3tan 14CEB ∠=。