一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.已知在平面直角坐标系中,点()()()3,0,3,0,3,8A B C --,以线段BC 为直径作圆,圆心为E ,直线AC 交E 于点D ,连接OD . (1)求证:直线OD 是E 的切线;(2)点F 为x 轴上任意一动点,连接CF 交E 于点G ,连接BG :①当1an 7t ACF ∠=时,求所有F 点的坐标 (直接写出); ②求BGCF的最大值. 【答案】(1)见解析;(2)①143,031F ⎛⎫⎪⎝⎭,2(5,0)F ;② BG CF 的最大值为12.【解析】 【分析】(1)连接DE ,证明∠EDO=90°即可;(2)①分“F 位于AB 上”和“F 位于BA 的延长线上”结合相似三角形进行求解即可; ②作GM BC ⊥于点M ,证明1~ANF ABC ∆∆,得12BG CF ≤,从而得解. 【详解】(1)证明:连接DE ,则:∵BC 为直径 ∴90BDC ∠=︒ ∴90BDA ∠=︒ ∵OA OB = ∴OD OB OA == ∴OBD ODB ∠=∠∵EB ED =∴EBD EDB ∠=∠∴EBD OBD EDB ODB ∠+∠=∠+∠ 即:EBO EDO ∠=∠ ∵CB x ⊥轴 ∴90EBO ∠=︒ ∴90EDO ∠=︒ ∴直线OD 为E 的切线.(2)①如图1,当F 位于AB 上时: ∵1~ANF ABC ∆∆∴11NF AF AN AB BC AC== ∴设3AN x =,则114,5NF x AF x ==∴103CN CA AN x =-=- ∴141tan 1037F N x ACF CN x ∠===-,解得:1031x = ∴150531AF x ==1504333131OF =-=即143,031F ⎛⎫⎪⎝⎭如图2,当F 位于BA 的延长线上时: ∵2~AMF ABC ∆∆∴设3AM x =,则224,5MF x AF x == ∴103CM CA AM x =+=+ ∴241tan 1037F M x ACF CM x ∠===+ 解得:25x =∴252AF x ==2325OF =+=即2(5,0)F②如图,作GM BC ⊥于点M , ∵BC 是直径∴90CGB CBF ∠=∠=︒ ∴~CBF CGB ∆∆∴8BG MG MGCF BC == ∵MG ≤半径4=∴41882BG MG CF =≤= ∴BG CF的最大值为12.【点睛】本题考查了圆的综合题:熟练掌握切线的判定定理、解直角三角形;相似三角形的判定和性质和相似比计算线段的长;理解坐标与图形性质;会运用分类讨论的思想解决数学问题.2.在正方形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,点P在线段BC上(不含点B),∠BPE=12∠ACB,PE交BO于点E,过点B作BF⊥PE,垂足为F,交AC于点G.(1)当点P与点C重合时(如图1).求证:△BOG≌△POE;(2)通过观察、测量、猜想:BFPE=,并结合图2证明你的猜想;(3)把正方形ABCD改为菱形,其他条件不变(如图3),若∠ACB=α,求BF PE的值.(用含α的式子表示)【答案】(1)证明见解析(2)12BFPE=(3)1tan2BFPEα=【解析】解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,P与C重合,∴OB="OP" ,∠BOC=∠BOG=90°.∵PF⊥BG ,∠PFB=90°,∴∠GBO=90°—∠BGO,∠EPO=90°—∠BGO.∴∠GBO=∠EPO .∴△BOG≌△POE(AAS).(2)BF1PE2=.证明如下:如图,过P作PM//AC交BG于M,交BO于N,∴∠PNE=∠BOC=900,∠BPN=∠OCB.∵∠OBC=∠OCB =450,∴∠NBP=∠NPB.∴NB=NP.∵∠MBN=900—∠BMN,∠NPE=900—∠BMN,∴∠MBN=∠NPE.∴△BMN≌△PEN(ASA).∴BM=PE.∵∠BPE=12∠ACB ,∠BPN=∠ACB ,∴∠BPF=∠MPF . ∵PF ⊥BM ,∴∠BFP=∠MFP=900.又∵PF=PF , ∴△BPF ≌△MPF (ASA ).∴BF="MF" ,即BF=12BM . ∴BF=12PE , 即BF 1PE 2=. (3)如图,过P 作PM//AC 交BG 于点M ,交BO 于点N ,∴∠BPN=∠ACB=α,∠PNE=∠BOC=900.由(2)同理可得BF=12BM , ∠MBN=∠EPN . ∵∠BNM=∠PNE=900,∴△BMN ∽△PEN .∴BM BNPE PN=. 在Rt △BNP 中,BN tan =PN α, ∴BM =tan PE α,即2BF=tan PEα. ∴BF 1=tan PE 2α. (1)由正方形的性质可由AAS 证得△BOG ≌△POE .(2)过P 作PM//AC 交BG 于M ,交BO 于N ,通过ASA 证明△BMN ≌△PEN 得到BM=PE ,通过ASA 证明△BPF ≌△MPF 得到BF=MF ,即可得出BF 1PE 2=的结论. (3)过P 作PM//AC 交BG 于点M ,交BO 于点N ,同(2)证得BF=12BM , ∠MBN=∠EPN ,从而可证得△BMN ∽△PEN ,由BM BN PE PN =和Rt △BNP 中BNtan =PNα即可求得BF 1=tan PE 2α.3.如图,在⊙O 的内接三角形ABC 中,∠ACB =90°,AC =2BC ,过C 作AB 的垂线l 交⊙O 于另一点D ,垂足为E .设P 是AC 上异于A ,C 的一个动点,射线AP 交l 于点F ,连接PC 与PD ,PD 交AB 于点G . (1)求证:△PAC ∽△PDF ;(2)若AB =5,AP BP =,求PD 的长.【答案】(1)证明见解析;(2310【解析】 【分析】(1)根据AB ⊥CD ,AB 是⊙O 的直径,得到AD AC =,∠ACD =∠B ,由∠FPC =∠B ,得到∠ACD =∠FPC ,可得结论;(2)连接OP ,由AP BP =,得到OP ⊥AB ,∠OPG =∠PDC ,根据AB 是⊙O 的直径,得到∠ACB =90°,由于AC =2BC ,于是得到tan ∠CAB =tan ∠DCB =BCAC,得到12CE BE AE CE ==,求得AE =4BE ,通过△OPG ∽△EDG ,得到OG OPGE ED =,然后根据勾股定理即可得到结果. 【详解】(1)证明:连接AD ,∵AB ⊥CD ,AB 是⊙O 的直径,∴AD AC =, ∴∠ACD =∠B =∠ADC , ∵∠FPC =∠B , ∴∠ACD =∠FPC , ∴∠APC =∠ACF , ∵∠FAC =∠CAF , ∴△PAC ∽△CAF ;(2)连接OP ,则OA =OB =OP =1522AB =, ∵AP BP =,∴OP ⊥AB ,∠OPG =∠PDC , ∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠ACB =90°, ∵AC =2BC ,∴tan ∠CAB =tan ∠DCB =BCAC, ∴12CE BE AE CE ==, ∴AE =4BE ,∵AE+BE =AB =5,∴AE =4,BE =1,CE =2, ∴OE =OB ﹣BE =2.5﹣1=1.5, ∵∠OPG =∠PDC ,∠OGP =∠DGE , ∴△OPG ∽△EDG ,∴OG OPGE ED=, ∴2.52OE GE OP GE CE -==, ∴GE =23,OG =56,∴PG =225OP OG 6+=,GD =2223DE GE +=,∴PD =PG+GD =3102.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,垂径定理,勾股定理,圆周角定理,证得△OPG ∽△EDG 是解题的关键.4.阅读下面材料:观察与思考:阅读下列材料,并解决后面的问题.在锐角△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ,过A 作AD ⊥BC 于D (如图),则sin B =AD c ,sin C =ADb,即AD =c sin B ,AD =b sin C ,于是c sin B =b sin C ,即sin sin b c B C = .同理有:sin sin c aC A=,sin sin a b AB=,所以sin sin sin a b cA B C ==. 即:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.在锐角三角形中,若已知三个元素(至少有一条边),运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素.根据上述材料,完成下列各题.(1)如图,△ABC 中,∠B =75°,∠C =45°,BC =60,则AB = ;(2)如图,一货轮在C 处测得灯塔A 在货轮的北偏西30°的方向上,随后货轮以60海里/时的速度按北偏东30°的方向航行,半小时后到达B 处,此时又测得灯塔A 在货轮的北偏西75°的方向上(如图),求此时货轮距灯塔A 的距离AB . (3)在(2)的条件下,试求75°的正弦值.(结果保留根号)【答案】(1)6;(2)6海里;(3)6+24. 【解析】 【分析】(1)根据材料:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,写出比例关系,代入数值即可求得AB 的值.(2)此题可先由速度和时间求出BC 的距离,再由各方向角得出∠A 的角度,过B 作BM ⊥AC 于M ,求出∠MBC=30°,求出MC ,由勾股定理求出BM ,求出AM 、BM 的长,由勾股定理求出AB 即可;(3)在三角形ABC 中,∠A=45,∠ABC=75,∠ACB=60,过点C 作AC 的垂线BD ,构造直角三角形ABD ,BCD ,在直角三角形ABD 中可求出AD 的长,进而可求出sin75°的值. 【详解】解:(1)在△ABC 中,∠B=75°,∠C=45°,BC=60,则∠A=60°, ∵AB sinC =sin BCA , ∴45AB sin =60sin60, 23,解得:6.(2)如图,依题意:BC=60×0.5=30(海里)∵CD∥BE,∴∠DCB+∠CBE=180°∵∠DCB=30°,∴∠CBE=150°∵∠ABE=75°.∴∠ABC=75°,∴∠A=45°,在△ABC中,sin AB ACB∠=BCsin A∠即60?ABsin=3045?sin,解之得:AB=156.答:货轮距灯塔的距离AB=156海里.(3)过点B作AC的垂线BM,垂足为M.在直角三角形ABM中,∠A=45°,6,所以3BDC中,∠BCM=60°,BC=30°,可求得CM=15,所以AC=153+15,由题意得,1531575sin+=15660sin,sin75°=6+24.【点睛】本题考查方向角的含义,三角形的内角和定理,含30度角的直角三角形,等腰三角形的性质和判定等知识点,解题关键是熟练掌握解直角三角形方法.5.如图,在ABC△中,10AC BC==,3cos5C=,点P是BC边上一动点(不与点,A C 重合),以PA长为半径的P与边AB的另一个交点为D,过点D作DE CB⊥于点E.()1当P与边BC相切时,求P的半径;()2联结BP交DE于点F,设AP的长为x,PF的长为y,求y关于x的函数解析式,并直接写出x的取值范围;()3在()2的条件下,当以PE长为直径的Q与P相交于AC边上的点G时,求相交所得的公共弦的长.【答案】(1)409;(2))25880010320x xy xx-+=<<+;(3)105-【解析】【分析】(1)设⊙P与边BC相切的切点为H,圆的半径为R,连接HP,则HP⊥BC,cosC=35,则sinC=45,sinC=HPCP=R10R-=45,即可求解;(2)PD∥BE,则EBPD=BFPF,即:2248805x x x yx y--+=,即可求解;(3)证明四边形PDBE为平行四边形,则AG=GP=BD,即:5求解.【详解】(1)设⊙P与边BC相切的切点为H,圆的半径为R,连接HP ,则HP ⊥BC ,cosC=35,则sinC=35, sinC=HP CP =R 10R -=45,解得:R=409; (2)在△ABC 中,AC=BC=10,cosC=35, 设AP=PD=x ,∠A=∠ABC=β,过点B 作BH ⊥AC ,则BH=ACsinC=8,同理可得:CH=6,HA=4,AB=45,则:tan ∠CAB=2BP=()2284x +-=2880x x -+, DA=25x ,则BD=45-25x , 如下图所示,PA=PD ,∴∠PAD=∠CAB=∠CBA=β,tanβ=2,则cosβ=5,sinβ=5,EB=BDcosβ=(45-25x)×5=4-25x,∴PD∥BE,∴EBPD=BFPF,即:2248805x x x yx y--+-=,整理得:y=()25x x8x800x10-+<<;(3)以EP为直径作圆Q如下图所示,两个圆交于点G,则PG=PQ,即两个圆的半径相等,则两圆另外一个交点为D,GD为相交所得的公共弦,∵点Q时弧GD的中点,∴DG⊥EP,∵AG是圆P的直径,∴∠GDA=90°,∴EP∥BD,由(2)知,PD∥BC,∴四边形PDBE为平行四边形,∴AG=EP=BD,∴5设圆的半径为r,在△ADG中,55AG=2r,5551+,则:55相交所得的公共弦的长为5【点睛】本题考查的是圆知识的综合运用,涉及到解直角三角形、勾股定理等知识,其中(3),要关键是根据题意正确画图,此题用大量的解直角三角形的内容,综合难度很大.6.如图,正方形ABCD的边长为2+1,对角线AC、BD相交于点O,AE平分∠BAC分别交BC、BD于E、F,(1)求证:△ABF∽△ACE;(2)求tan∠BAE的值;(3)在线段AC上找一点P,使得PE+PF最小,求出最小值.【答案】(1)证明见解析;(2)tan∠EAB=2﹣1;(3)PE+PF的最小值为 .22【解析】【分析】(1)根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可;(2)如图1中,作EH⊥AC于H.首先证明BE=EH=HC,设BE=EH=HC=x,构建方程求出x 即可解决问题;(3)如图2中,作点F关于直线AC的对称点H,连接EH交AC于点P,连接PF,此时PF+PE的值最小,最小值为线段EH的长;【详解】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠ACE=∠ABF=∠CAB=45°,∵AE平分∠CAB,∴∠EAC=∠BAF=22.5°,∴△ABF∽△ACE.(2)解:如图1中,作EH⊥AC于H.∵EA平分∠CAB,EH⊥AC,EB⊥AB,∴BE=EB,∵∠HCE =45°,∠CHE =90°,∴∠HCE =∠HEC =45°,∴HC =EH ,∴BE =EH =HC ,设BE =HE =HC =x ,则EC =2x , ∵BC =2+1,∴x+x =2+1,∴x =1,在Rt △ABE 中,∵∠ABE =90°,∴tan ∠EAB =221BE AB ==+﹣1. (3)如图2中,作点F 关于直线AC 的对称点H ,连接EH 交AC 于点P ,连接PF ,此时PF+PE 的值最小.作EM ⊥BD 于M .BM =EM =22, ∵AC 22AB BC +2,∴OA =OC =OB =12AC =222+ , ∴OH =OF =OA•tan ∠OAF =OA•tan ∠EAB =222+ •2﹣1)=22, ∴HM =OH+OM 22+, 在Rt △EHM 中,EH 2222222EM HM 22⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=22+.. ∴PE+PF 22+【点睛】本题考查正方形的性质,相似三角形的判定,勾股定理,最短问题等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,学会利用轴对称解决最短问题,属于中考常考题型.7.如图,在航线l 的两侧分别有观测点A 和B ,点B 到航线l 的距离BD 为4km ,点A 位于点B 北偏西60°方向且与B 相距20km 处.现有一艘轮船从位于点A 南偏东74°方向的C处,沿该航线自东向西航行至观测点A 的正南方向E 处.求这艘轮船的航行路程CE 的长度.(结果精确到0.1km )(参考数据:3≈1.73,sin74°≈0.96,cos74°≈0.28,tan74°≈3.49)【答案】20.9km【解析】分析:根据题意,构造直角三角和相似三角形的数学模型,利用相似三角形的判定与性质和解直角三角形即可.详解:如图,在Rt △BDF 中,∵∠DBF=60°,BD=4km ,∴BF=cos 60BD =8km , ∵AB=20km ,∴AF=12km , ∵∠AEB=∠BDF ,∠AFE=∠BFD ,∴△AEF ∽△BDF ,∴AE BD AF BF, ∴AE=6km , 在Rt △AEF 中,CE=AE•tan74°≈20.9km .故这艘轮船的航行路程CE 的长度是20.9km .点睛:本题考查相似三角形,掌握相似三角形的概念,会根据条件判断两个三角形相似.8.在矩形ABCD 中,AD >AB ,点P 是CD 边上的任意一点(不含C ,D 两端点),过点P 作PF ∥BC ,交对角线BD 于点F .(1)如图1,将△PDF 沿对角线BD 翻折得到△QDF ,QF 交AD 于点E .求证:△DEF 是等腰三角形;(2)如图2,将△PDF 绕点D 逆时针方向旋转得到△P'DF',连接P'C ,F'B .设旋转角为α(0°<α<180°).①若0°<α<∠BDC ,即DF'在∠BDC 的内部时,求证:△DP'C ∽△DF'B .②如图3,若点P 是CD 的中点,△DF'B 能否为直角三角形?如果能,试求出此时tan ∠DBF'的值,如果不能,请说明理由.【答案】(1)证明见解析;(2)①证明见解析;②12或3 . 【解析】【分析】(1)根据翻折的性质以及平行线的性质可知∠DFQ=∠ADF ,所以△DEF 是等腰三角形;(2)①由于PF ∥BC ,所以△DPF ∽△DCB ,从而易证△DP′F′∽△DCB ;②由于△DF'B 是直角三角形,但不知道哪个的角是直角,故需要对该三角形的内角进行分类讨论.【详解】(1)由翻折可知:∠DFP=∠DFQ ,∵PF ∥BC ,∴∠DFP=∠ADF ,∴∠DFQ=∠ADF ,∴△DEF 是等腰三角形;(2)①若0°<α<∠BDC ,即DF'在∠BDC 的内部时,∵∠P′DF′=∠PDF ,∴∠P′DF′﹣∠F′DC=∠PDF ﹣∠F′DC ,∴∠P′DC=∠F′DB ,由旋转的性质可知:△DP′F′≌△DPF ,∵PF ∥BC ,∴△DPF ∽△DCB ,∴△DP′F′∽△DCB ∴''DC DP DB DF = , ∴△DP'C ∽△DF'B ;②当∠F′DB=90°时,如图所示,∵DF′=DF=12BD , ∴'12DF BD =, ∴tan ∠DBF′='12DF BD =;当∠DBF′=90°,此时DF′是斜边,即DF′>DB,不符合题意;当∠DF′B=90°时,如图所示,∵DF′=DF=1BD,2∴∠DBF′=30°,∴tan∠DBF′=3.【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题,涉及旋转的性质,锐角三角函数的定义,相似三角形的性质以及判定等知识,综合性较强,有一定的难度,熟练掌握相关的性质与定理、运用分类思想进行讨论是解题的关键.9.如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC与BD交于点O,且AC=80,BD=60.动点M、N分别以每秒1个单位的速度从点A、D同时出发,分别沿A→O→D和D→A运动,当点N到达点A时,M、N同时停止运动.设运动时间为t秒.(1)求菱形ABCD的周长;(2)记△DMN的面积为S,求S关于t的解析式,并求S的最大值;(3)当t=30秒时,在线段OD的垂直平分线上是否存在点P,使得∠DPO=∠DON?若存在,这样的点P有几个?并求出点P到线段OD的距离;若不存在,请说明理由.【答案】解:(1)在菱形ABCD中,∵AC⊥BD,AC=80,BD=60,∴。