②∵A＝{3，5}，又B A，
故若B＝∅，则方程ax－1＝0无解，有a＝0； 若B≠∅，则a≠0，由ax－1＝0，得x＝1a. ∴1a＝3或1a＝5，即a＝13或a＝15. 故C＝{0，13，15}． 【答案】 ①B A ②{0，13，15}
题型三 集合的基本运算
(1)(2017·天津)设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝
①集合A用列举法表示出来，当a＝
1 5
求出集合B
即可确定集合A与B的关系．
②由B A，得B为A的真子集，可建立a的关系式解出a，即
可确定集合C. 【解析】 ①由x2－8x＋15＝0， 得x＝3或x＝5，∴A＝{3，5}． 若a＝15，由ax－1＝0，得15x－1＝0，即x＝5. ∴B＝{5}．∴B A.
【解析】 由题意知，集合 A＝{0，1，2}，B＝{y|－1≤y≤1}， 则图中阴影部分表示的集合为(∁UA)∩B＝{x|－1≤x<0 或 0<x<1}．
【答案】 {x|－1≤x<0 或 0<x<1}
(3)(2018·辽宁五校联考)已知集合 M，N，P 为全集 U 的子集，
且满足 M⊆P⊆N，则下列结论不正确的是( )
(2)例(2)的难点是对集合 A，B 的识别：A 是函数 y＝lgx 的 定义域，B 是函数 y＝ x＋1 的值域．
(3)由例(3)深刻理解集合中元素的互异性的应用．
思考题 1 (1)给出以下三个命题： ①{(x，y)|x＝1 或 y＝2}＝{1，2}； ②{x|x＝3k＋1，k∈Z}＝{x|x＝3k－2，k∈Z}； ③由英文单词“apple”中的所有字母组成的集合有 15 个真子 集． 其中正确的命题是________．
【解析】 ①中左边集合表示横坐标为 1，或纵坐标为 2 的 所有点组成的集合，即 x＝1 或 y＝2 两直线上所有点的集合，右 边集合表示有两个元素 1 和 2，左、右两集合的元素，属性不同．
②中 3k＋1，3k－2，(k∈Z)都表示被 3 除余 1 的数，易错点 在于认为 3k＋1 与 3k－2 中的 k 为同一个值，对集合的属性理解 错误．
【答案】 B
(2)(2018·江西南昌模拟)已知全集 U＝R，集合 A＝{x|y＝
lgx}，集合 B＝{y|y＝ x＋1}，那么 A∩(∁UB)＝( )
A．∅
B．(0，1]
C．(0，1)
D．(1，＋∞)
【审题】 本题主要考查集合的交集与补集运算，以集合表 示为载体，通过函数的定义域、值域的求解，考查考生的基本运 算能力．
第一章 集合与简易逻辑
第1课时 集 合
请注意 集合的概念及运算一直是高考热点，同时近两年新课标高考 试题加强了对以集合为工具与其他知识的结合的考查，一般为基 础题，解题时要充分利用韦恩图、数轴的直观性迅速得解，预计 今后这种考查方式不会变．
集合的基本概念 (1)集合的概念：一组对象的全体构成一个集合； (2)集合中元素的三个特性：确定性、无序性、互异性； (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．
(2)抽象集合的运算：本例(3)是考查抽象集合(没有给出具体 元素的集合)间的关系判断和运算的问题．解决此类问题的途径有 二：
一是利用特例法将抽象集合具体化； 二是利用韦恩图化抽象为直观．
【解析】 ∵A
B，∴2mm＋－11≤>4m，＋1，(等号不同时成立) 2m－1≥5.
此不等式组无解，故不存在 m 使 A B.
【答案】 不存在
(2)设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}． ①若a＝15，试判定集合A与B的关系； ②若B A，求实数a组成的集合C.
【思路】
集合的运算 (1)子集：若对于任意的 x∈A 都有 x∈B，则 A⊆B； 真子集：若 A⊆B，且 A≠B，则 A B；
∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集； (2)交集：A∩B＝{x|x∈A 且 x∈B}； (3)并集：A∪B＝{x|x∈A 或 x∈B}； (4)补集：若 U 为全集，A⊆U，则∁UA＝{x|x∈U 且 x∉A}．
答案 (0，1)
4．(2018·贵州七校联考)已知集合 A＝{0，1，2，3，4}，B
＝{x|x＝ n，n∈A}，则 A∩B 的真子集个数为( )
A．5
B．6
C．7
D．8
答案 C 解析 由题意得 B＝{0，1， 2， 3，2}，所以 A∩B＝{0，1， 2}，所以 A∩B 的真子集个数为 23－1＝7，故选 C.
授人以渔
题型一 集合的基本概念
(1)设集合 P＝{x|x＝k3＋16，k∈Z}，Q＝{x|x＝k6＋13，k ∈Z}，则( )
A．P＝Q
B．P Q
C．P Q
D．P∩Q＝∅
【解析】 方法一：列举法 P＝{…，－16，16，36，56，76，96，…}． Q＝{…，－16，0，16，26，36，…}．显然，P Q，选 B. 方法二：描述法 k3＋16＝16(2k＋1)，k6＋13＝16(k＋2)，∵k∈Z，∴{x|x＝2k＋1， k∈Z} {x|x＝k＋2，k∈Z}．∴P Q，故选 B.
【解析】 ①A＝{0，－4}， 当B＝∅时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝8(a＋1)<0，解得a<－ 1；当B为单元素集合时，a＝－1，此时B＝{0}符合题意；当B ＝A时，由根与系数的关系，得－a2－2（1＝a＋0，1）＝－4，解得a＝1. 综上可知：a≤－1或a＝1. ②若A⊆B，必有A＝B，由①知a＝1. 【答案】 ①a≤－1或a＝1 ②a＝1
集合的常用运算性质 (1)A∩∅＝∅；A∩A＝A； (2)A∪∅＝A；A∪A＝A； (3)A∩(∁UA)＝∅；A∪(∁UA)＝U；∁U(∁UA)＝A； (4)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B； A⊆B⇔(∁UA)⊇(∁UB)⇔A∩(∁UB)＝∅． (5)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)； ∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；
当B≠∅时，观察图，
由数轴可知m－＋2≤1≤m2＋m1－，1，解得2≤m≤3. 2m－1≤5，
综上所述，实数m的取值范围是m<2或2≤m≤3，即m≤3. 【答案】 m≤3
(2)设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}， ①若B⊆A，则实数a的取值范围为________； ②若A⊆B，则实数a的取值范围为________．
0，1，2 时，x－y 的值分别为 0，－1，－2；当 x＝1，y 分别取 0，
1，2 时，x－y 的值分别为 1，0，－1；当 x＝2，y 分别取 0，1，2
时，x－y 的值分别为 2，1，0.故 B＝{－2，－1，0，1，2}．
【答案】 C
(3)设 2 019∈{x， x2，x2}，则满足条件的所有 x 组成的集 合的真子集的个数为________．
A．∁UN⊆∁UP
B．∁NP⊆∁NM
C．(∁UP)∩M＝∅
D．(∁UM)∩N＝∅
【解析】 根据已知条件画出韦恩图结合各选项知，只有 D 不 正确，故选 D.
【答案】 D
★状元笔记★ 集合运算的基本类型
(1)具体集合的运算：高考对集合的考查，多是考查具体集合 (给出或可以求出集合的具体元素)的交、并、补运算，如本例(1)， (2)，其解法依然是化简集合、列举法或借助于数轴、韦恩图等．预 测明年对于集合的考查仍以此类题为主．
{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝( )
A．{2}
D．{x∈R|－1≤x≤5}
【解析】 A∪B＝{1，2，4，6}，(A∪B)∩C＝{1，2，4}，B 正确．
【答案】 B
(2)(2018·上海四区联考)全集 U＝R，集合 A ＝{x∈Z|x2－2x≤0}，B＝{y|y＝cosx，x∈R}，则 图中阴影部分表示的集合为________．
答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ 解析 (1)由于－1∉N，故(1)错． (2)中{x|y＝x2}＝R，{y|y＝x2}＝{y|y≥0}＝[0，＋∞)，以上 两集合为数集，{(x，y)|y＝x2}表示抛物线 y＝x2 上所有点的集合， 故(2)错． (3)该方程含有两个未知数，解集为{(2 018，－2 019)}，故(3) 错． (4)当 m＝－1 时，m＋2＝1，与集合中元素的互异性矛盾， 故(4)错．(5)正确．
★状元笔记★ (1)化简集合法：用描述法表示的集合，若代表元素的表达 式比较复杂，往往需化简表达式，再寻求两个集合的关系，如 本例(2)． (2)数形结合法：利用数轴或Venn图直观判断，如本例(1)．
思考题 2 (1)本例(1)中，将集合 A 改为 A＝{x|4≤x≤5}， 问是否存在实数 m 使 A B?
【解析】 ∵x，y 均不能为 0，∴lg(xy)＝0，故 xy＝1. 又∵x≠1，∴y≠1，从而 y＝1x，且|x|＝1，故 x＝y＝－1. 【答案】 －1 －1
★状元笔记★ 由本例讲透集合的基础知识
(1)由例(1)讲清：列举法与描述法及它们之间的相互转换；并 通过此题使学生深刻理解元素与集合，集合与集合之间的关系， 并共同总结此类题的解法．
5．(2018·衡水中学调研卷)已知集合 A，B 均为全集 U＝{1，
2，3，4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1，2}，则 A∩(∁UB) ＝( )
A．{3}
B．{4}
C．{3，4} 答案 A
D．∅
解析 由题意知 A∪B＝{1，2，3}，又 B＝{1，2}，所以 A 中
必有元素 3，没有元素 4.又∁UB＝{3，4}，故 A∩(∁UB)＝{3}．
(6)如图所示，用集合 A、B 表示图中Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ 、 Ⅳ 四 个 部 分 所 表 示 的 集 合 分 别 是 A∩B ； A∩(∁UB)；B∩(∁UA)；∁U(A∪B)或(∁UB)∩(∁UA)．