慧诚教育2017年秋季高中数学讲义必修一第一章复习知识点一集合的概念1．集合一般地，把一些能够________________对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象________构成的集合(或集)，通常用大写拉丁字母A，B，C，…来表示．2．元素构成集合的____________叫做这个集合的元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…来表示．3．空集不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.知识点二集合与元素的关系1．属于如果a是集合A的元素，就说a________集合A，记作a________A.2．不属于如果a不是集合A中的元素，就说a________集合A，记作a________A.知识点三集合的特性及分类1．集合元素的特性________、________、________.2．集合的分类(1)有限集：含有________元素的集合．(2)无限集：含有________元素的集合．3．常用数集及符号表示名称非负整数集(自然数集)整数集实数集符号N N*或N＋Z Q R知识点四1．列举法把集合的元素________________，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．2．描述法用集合所含元素的________表示集合的方法称为描述法．知识点五集合与集合的关系1．子集与真子集定义符号语言图形语言(Venn图)子集如果集合A中的________元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集________(或________)真子集如果集合A⊆B，但存在元素________，且________，我们称集合A是集合B的真子集________(或________)2.子集的性质(1)规定：空集是____________的子集，也就是说，对任意集合A，都有________．(2)任何一个集合A都是它本身的子集，即________．(3)如果A⊆B，B⊆C，则________．(4)如果A⊆B，B⊆C，则________．3．集合相等定义符号语言图形图言(Venn图)集合相等如果集合A是集合B的子集(A⊆B)，且________________，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等A＝B4.如果A⊆B，B⊆A，则A＝B；反之，________________________.知识点六集合的运算1．交集自然语言符号语言图形语言由________________________________________组成的集合，称为A与B的交集A∩B＝_________2．并集自然语言符号语言图形语言由__________________________________组成的集合，称为A与B的并集A∪B＝_______________3.交集与并集的性质交集的运算性质并集的运算性质A∩B＝________A∪B＝________A∩A＝________A∪A＝________A∩∅＝________A∪∅＝________A⊆B⇔A∩B＝________ A⊆B⇔A∪B＝________4.全集在研究集合与集合之间的关系时，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的________，那么就称这个集合为全集，通常记作________．5．补集文字语言对于一个集合A，由全集U中__________的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作________符号语言∁U A＝________________ 图形语言典例精讲题型一 判断能否构成集合1．在“①高一数学中的难题；②所有的正三角形；③方程x 2－2＝0的实数解”中，能够构成集合的是 。

题型二 验证元素是否是集合的元素1、已知集合{}Z n Z m n m x x A ∈∈-==,,22. 求证：（1）3∈A ；（2）偶数4k-2(k ∈Z)不属于A.2、集合A 是由形如()Z n Z m n m ∈∈+,3的数构成的，判断321-是不是集合A 中的元素.题型三 求集合1．方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝22x －3y ＝27的解集是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－7B ．{x ，y |x ＝3且y ＝－7}C ．{3，－7}D ．{(x ，y )|x ＝3且y ＝－7}2．下列六种表示法：①{x ＝－1，y ＝2}；②{(x ，y )|x ＝－1，y ＝2}；③{－1,2}；④(－1,2)；⑤{(－1,2)}；⑥{(x ，y )|x ＝－1或y ＝2}．能表示方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，x －y ＋3＝0的解集的是( )A ．①②③④⑤⑥B ．②③④⑤C ．②⑤D ．②⑤⑥3.数集A 满足条件：若a ∈A ，则1＋a 1－a ∈A (a ≠1)．若13∈A ，求集合中的其他元素.4．已知x ，y ，z 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |＋z |z |＋|xyz |xyz 的值所组成的集合是M ，用列举法表示集合M 为 。

题型四 利用集合中元素的性质求参数1．已知集合S ＝{a ，b ，c }中的三个元素是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形2.设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝________.3.已知P ＝{x |2＜x ＜k ，x ∈N ，k ∈R }，若集合P 中恰有3个元素，则实数k 的取值范围是________.4.已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}.(1)若A 是单元素集合，求集合A ；(2)若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围．5.已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 的值为( )A ．2B ．3C ．0或3D ．0或2或36．(2016·浙江镇海检测)已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素构成的集合，且2∈A ，则实数m ＝________.题型五 判断集合间的关系1、设⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x M ,412,⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x N ,214，则M 与N 的关系正确的是（ ） A. M=N B.N M ≠⊂ C.N M ≠⊃ D.以上都不对2．判断下列集合间的关系：(1)A＝{x|x－3＞2}，B＝{x|2x－5≥0}；(2)A＝{x∈Z|－1≤x<3}，B＝{x|x＝|y|，y∈A}．3．已知集合M＝{x|x＝m＋16，m∈Z}，N＝{x|x＝n2－13，n∈Z}，P＝{x|x＝p2＋16，p∈Z}，试确定M，N，P之间的关系.题型六求子集个数1．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值构成的集合为________．题型七利用两个集合之间的关系求参数1.已知集合A＝{1,2，m3}，B＝{1，m}，B⊆A，则m＝________.2．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|ax－2＝0}，若B⊆A，则a的值不可能是()A．0 B．1C．2 D．33．设集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}.(1)若B⊆A，求实数m的取值范围；(2)当x∈Z时，求A的非空真子集个数；(3)当x∈R时，不存在元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围．题型八集合间的基本运算1．下面四个结论：①若a∈(A∪B)，则a∈A；②若a∈(A∩B)，则a∈(A∪B)；③若a∈A，且a∈B，则a∈(A∩B)；④若A∪B＝A，则A∩B＝B.其中正确的个数为()A．1B．2C．3 D．42．已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x>3}，则M∪N＝()A．{x|x>－3} B．{x|－3<x≤5}C．{x|3<x≤5} D．{x|x≤5}3．已知集合A＝{2，－3}，集合B满足B∩A＝B，那么符合条件的集合B的个数是()A．1 B．2C．3 D．44．(2016·全国卷Ⅲ理，1)设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x>0}，则S∩T＝()A．[2,3] B．(－∞，2]∪[3，＋∞)C．[3，＋∞) D．(0,2]∪[3，＋∞)5．下列关系式中，正确的个数为()①(M∩N)⊆N；②(M∩N)⊆(M∪N)；③(M∪N)⊆N；④若M⊆N，则M∩N＝M.A．4 B．3C．2 D．16．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁U A＝{1,2}，则实数m＝________.7．(2016·唐山一中月考试题)已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁U A)∪B，A∩(∁U B).8．设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合S与T都是U的子集，满足S∩T＝{2}，(∁U S)∩T＝{4}，(∁U S)∩(∁U T)＝{1,5}则有()A．3∈S,3∈T B．3∈S,3∈∁U TC．3∈∁U S,3∈T D．3∈∁U S,3∈∁U T题型九根据集合运算的结果求参数1．若集合A＝{2,4，x}，B＝{2，x2}，且A∪B＝{2,4，x}，则x＝________.2．已知集合A＝{x|－1≤x＜3}，B＝{x|2x－4≥x－2}.(1)求A∩B；(2)若集合C＝{x|2x＋a＞0}，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围．3．设A＝{x|x2＋8x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋2)x＋a2－4＝0}，其中a∈R.如果A∩B＝B，求实数a的取值范围.4．已知集合A＝{x|x2＋ax＋12b＝0}和B＝{x|x2－ax＋b＝0}，满足(∁U A)∩B＝{2}，A∩(∁U B)＝{4}，U＝R，求实数a，b的值.5．U＝{1,2}，A＝{x|x2＋px＋q＝0}，∁U A＝{1}，则p＋q＝________.4．设全集U＝R，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，集合B＝{x|k＜x＜k＋1，k＜2}，且B∩(∁U A)≠∅，则() A．k＜0 B．k＜2C．0＜k＜2 D．－1＜k＜26．已知集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}，试探求a取何实数时，(A∩B) ∅与A∩C＝∅同时成立.题型十交集、并集、补集思想的应用1．若三个方程x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实数解，试求实数a的取值范围．题型十一集合中的新定义问题1．若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为“可倒数集”.(1)判断集合A＝{－1,1,2}是否为可倒数集；(2)试写出一个含3个元素的可倒数集．2．集合P＝{3,4,5}，Q＝{6,7}，定义P*Q＝{(a，b)|a∈P，b∈Q}，则P*Q的子集个数为()A．7 B．12C．32 D．643．当x∈A时，若x－1∉A，且x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，由A的所有孤立元素组成的集合称为A的“孤星集”，若集合M＝{0,1,3}的孤星集为M′，集合N＝{0,3,4}的孤星集为N′，则M′∪N′＝()A．{0,1,3,4} B．{1,4}C．{1,3} D．{0,3}4．设U为全集，对集合X，Y定义运算“*”，X*Y＝∁U(X∩Y)，对于任意集合X，Y，Z，则(X*Y)*Z＝() A．(X∪Y)∩∁U Z B．(X∩Y)∪∁U ZC．(∁U X∪∁U Y)∩Z D．(∁U X∩∁U Y)∪Z5．设数集M＝{x|m≤x≤m＋34}，N＝{x|n－13≤x≤n}，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b－a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是________.6．设A，B是两个非空集合，定义A与B的差集A－B＝{x|x∈A，且x∉B}.(1)试举出两个数集，求它们的差集；(2)差集A－B与B－A是否一定相等？说明理由；(3)已知A＝{x|x>4}，B＝{x|－6<x<6}，求A－(A－B)和B－(B－A)．知识点一函数的有关概念知识点二两个函数相等的条件1．定义域________．2．________完全一致．知识点三区间的概念及表示1．一般区间的表示设a，b∈R，且a<b，规定如下：定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间{x|a<x<b}开区间{x|a≤x<b}半开半闭区间{x|a<x≤b}半开半闭区间2.特殊区间的表示定义R{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a}符号(－∞，＋∞)a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)知识点四函数的表示方法函数的三种表示法：解析法、图象法、列表法．知识点五分段函数如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的________，那么称这样的函数为分段函数．分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的________，值域是各段值域的________．知识点六映射的概念设A，B是两个________________，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的________________，在集合B中都有________确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．知识点七函数的单调性1．增函数、减函数：设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数；当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．2．函数的单调性：若函数f(x)在区间D上是增(减)函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间．3．单调性的常见结论：若函数f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数；若函数f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数；若函数f(x)为增(减)函数，且f(x)>0，则1f(x)为减(增)函数．知识点八函数的最大值、最小值最值类别最大值最小值条件设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足(1)对于任意的x∈I，都有__________(2)存在x0∈I，使得______________(1)对于任意的x∈I，都有________(2)存在x0∈I，使得________结论M是函数y＝f(x)的最大值M是函数y＝f(x)的最小值性质：定义在闭区间上的单调函数，必有最大(小)值．知识点九函数的奇偶性1．函数奇偶性的概念偶函数奇函数条件对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有 f (－x )＝f (x )f (－x )＝－f (x ) 结论函数f (x )是偶函数函数f (x )是奇函数2.性质(1)偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称．(2)奇函数在对称的区间上单调性相同，偶函数在对称的区间上单调性相反．(3)在定义域的公共部分内，两个奇函数之积与商(分母不零)为偶函数；两个奇函数之和为奇函数；两个偶函数的和、积与商为偶函数；一奇一偶函数之积与商(分母不为零)为奇函数．例1 (2016年10月学考)函数f (x )＝ln(x －3)的定义域为( ) A ．{x |x >－3} B ．{x |x >0} C ．{x |x >3}D ．{x |x ≥3}例2 (2016年4月学考)下列图象中，不可能成为函数y ＝f (x )图象的是( )例3 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 13x ，x >1，－x 2－2x ＋4，x ≤1，则f (f (3))＝________，f (x )的单调递减区间是________．例4 (2015年10月学考)已知函数f (x )＝x ＋a ＋|x －a |2，g (x )＝ax ＋1，其中a >0，若f (x )与g (x )的图象有两个不同的交点，则a 的取值范围是________．例5 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x (x <0)，(a －3)x ＋4a (x ≥0)满足对任意的x 1<x 2都有f (x 1)>f (x 2)，求a 的取值范围．例6 (2016年4月学考改编)已知函数f (x )＝1x －1－1x －3.(1)设g (x )＝f (x ＋2)，判断函数g (x )的奇偶性，并说明理由； (2)求证：函数f (x )在2,3)上是增函数．例7 (2015年10月学考)已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋1＋1x －1，a ∈R .(1)判断函数f (x )的奇偶性，并说明理由； (2)当a <2时，证明：函数f (x )在(0,1)上单调递减．例8 (2016年10月学考)设函数f (x )＝1(|x －1|－a )2的定义域为D ，其中a <1.(1)当a ＝－3时，写出函数f (x )的单调区间(不要求证明)；(2)若对于任意的x ∈0,2]∩D ，均有f (x )≥kx 2成立，求实数k 的取值范围．一、选择题1．函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为( ) A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1]2．下列四组函数中，表示同一个函数的是( ) A ．y ＝－2x 3与y ＝x －2x B ．y ＝(x )2与y ＝|x |C ．y ＝x ＋1·x －1与y ＝(x ＋1)(x －1)D ．f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －13．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )4．已知f (x )是一次函数，且ff (x )]＝x ＋2，则f (x )等于( ) A ．x ＋1 B ．2x －1 C ．－x ＋1D ．x ＋1或－x －15．设集合A ＝{x |0≤x ≤6}，B ＝{y |0≤y ≤2}，从A 到B 的对应法则f 不是映射的是( ) A ．f ：x →y ＝12xB ．f ：x →y ＝13xC ．f ：x →y ＝14xD ．f ：x →y ＝16x6．已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( )A ．4B ．3C ．2D ．17．若函数y ＝ax ＋1在1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值为( ) A ．2B ．－2C ．2或－2D ．08．偶函数f (x )(x ∈R )满足：f (4)＝f (1)＝0，且在区间0,3]与3，＋∞)上分别递减和递增，则不等式x ·f (x )<0的解集为( )A ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)B ．(－∞，－4)∪(－1,0)C ．(－4，－1)∪(1,4)D ．(－∞，－4)∪(－1,0)∪(1,4) 二、填空题9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1－12x ，x ≥0，1x ，x <0，若f (a )＝a ，则实数a ＝________.10．设f (x )＝ax 2＋bx ＋2是定义在1＋a,1]上的偶函数，则f (x )>0的解集为________． 11．若关于x 的不等式x 2－4x －a ≥0在1,3]上恒成立，则实数a 的取值范围为________． 三、解答题12．已知函数f (x )＝1＋ax 2x ＋b 的图象经过点(1,3)，并且g (x )＝xf (x )是偶函数．(1)求函数中a 、b 的值；(2)判断函数g (x )在区间(1，＋∞)上的单调性，并用单调性定义证明．13．已知二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b 在区间2,3]上有最大值5，最小值2. (1)求f (x )的解析式；(2)若b >1，g (x )＝f (x )＋mx 在2,4]上为单调函数，求实数m 的取值范围．答案精析知识条目排查知识点一1．确定的不同的全体2．每个对象知识点二1．属于∈2．不属于∉知识点三1．确定性互异性无序性2．(1)有限个(2)无限个3．正整数集有理数集知识点四1．一一列举出来2．共同特征知识点五1．任意一个A⊆B B⊇A x∈B x∉AA B B A2．(1)任何集合∅⊆A(2)A⊆A(3)A⊆C(4)A C3．集合B是集合A的子集(B⊆A)4．如果A＝B, 则A⊆B，且B⊆A知识点六1．属于集合A且属于集合B的所有元素{x|x∈A，且x∈B} 2．所有属于集合A或属于集合B的元素{x|x∈A，或x∈B} 3．B∩A B∪A A A∅A A B4．所有元素U5．不属于集合A∁U A{x|x∈U，且x∉A}题型分类示例例1 D例2A∵A＝B，∴2∈B，则a＝2.]例3 {4}解析 ∵全集U ＝{2,3,4}，集合A ＝{2,3}，∴∁U A ＝{4}． 例4 A ∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B . ∵A ＝{1,2}，B ＝{1，m,3}， ∴m ＝2，故选A.]例5 B 由B 中不等式变形得 (x －2)(x ＋4)>0， 解得x <－4或x >2，即B ＝(－∞，－4)∪(2，＋∞)． ∵A ＝－2,3]，∴A ∪B ＝(－∞，－4)∪－2，＋∞)． 故选B.]例6 C 图中的阴影部分是M ∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集，即是∁I S 的子集，则阴影部分所表示的集合是(M ∩P )∩∁I S ，故选C.] 例7 A A ＝{x |1≤3x ≤81} ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{x |log 2(x 2－x )>1}＝{x |x 2－x >2} ＝{x |x <－1或x >2}， ∴A ∩B ＝{x |2<x ≤4}＝(2,4]．] 考点专项训练1．B ∵集合A ＝{x |1≤x ≤5}，Z 为整数集， 则集合A ∩Z ＝{1,2,3,4,5}． ∴集合A ∩Z 中元素的个数是5， 故选B.]2．C 由x 2－5x ＋6≥0，解得x ≥3或x ≤2. 又集合A ＝{x |－1≤x ≤1}，∴A ⊆B ， 故选C.] 3．D 4.C5．A ∁U B ＝{2,4,5,7}，A ∩(∁U B )＝{3,4,5}∩{2,4,5,7}＝{4,5}，故选A .] 6．A 因为全集U ＝{－1,1,3}，集合A ＝{a ＋2，a 2＋2}，且∁U A ＝{－1}， 所以1,3是集合A 中的元素，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2＝1，a 2＋2＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＝3，a 2＋2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＝1，a 2＋2＝3，得a ＝－1. 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＝3，a 2＋2＝1，得a 无解， 所以a ＝－1，故选A.]7．D A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}＝{3,5}， ∵B A ，∴B ＝∅或{3}或{5}， 若B ＝∅时，a ＝0； 若B ＝{3}，则a ＝13；若B ＝{5}，则a ＝15.故a ＝13或15或0，故选D.]8．D ∵集合A ＝{x |x 2≥16}＝{x |x ≤－4或x ≥4}， B ＝{m }，且A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ， ∴m ≤－4或m ≥4， ∴实数m 的取值范围是(－∞，－4]∪4，＋∞)，故选D.] 9．{1,2} 10．0 1解析 A ＝{1，a }，∵x (x －a )(x －b )＝0， 解得x ＝0或a 或b ， 若A ＝B ，则a ＝0，b ＝1. 11．解析 全集U ＝{x ∈Z |－2≤x ≤4}＝{－2，－1,0,1,2,3,4}，A ＝{－1,0,1,2,3}，∁U A ＝{－2,4}， ∵B ⊆∁U A ，则集合B ＝∅，{－2}，{4}，{－2,4}， 因此满足条件的集合B 的个数是4. 12．1，＋∞)解析 由x 2－x <0，解得0<x <1， ∴A ＝(0,1)．∵B ＝(0，a )(a >0)，A ⊆B ， ∴a ≥1. 13．3，＋∞)解析 由|x －2|<a ，可得2－a <x <2＋a (a >0)，∴A ＝(2－a,2＋a )(a >0)． 由x 2－2x －3<0，解得－1<x <3. B ＝(－1,3)．∵B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≤－1，2＋a ≥3解得a ≥3.答案精析知识条目排查 知识点一非空数集 唯一确定 从集合A 到集合B {f (x )|x ∈A } 知识点二 1．相同 2．对应关系 知识点三1．a ，b ] (a ，b ) a ，b ) (a ，b ] 知识点五对应关系 并集 并集 知识点六非空的集合 任意一个元素x 唯一 知识点八f (x )≤M f (x 0)＝M f (x )≥M f (x 0)＝M 题型分类示例 例1 C例2 A 当x ＝0时，有两个y 值对应，故A 不可能是函数y ＝f (x )的图象．] 例3 5 －1，＋∞) 解析 f (3)＝log 133＝－1，∴f (f (3))＝f (－1)＝－1＋2＋4＝5， 当x ≤1时，f (x )＝－x 2－2x ＋4 ＝－(x ＋1)2＋5， 对称轴x ＝－1，f (x )在－1，1]上递减，当x >1时，f (x )递减， ∴f (x )在－1，＋∞)上递减． 例4 (0,1)解析 由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >a ，a ，x ≤a ，在平面直角坐标系内分别画出0<a <1，a ＝1，a >1时，函数f (x )，g (x )的图象，由图易得当f (x )，g (x )的图象有两个交点时，有⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，g (a )>a ，解得0<a <1， a 的取值范围为0<a <1.例5 解 由题意知，f (x )为减函数，∴0<a <1且a －3<0且a 0≥(a －3)×0＋4a ，∴0<a ≤14. 例6 (1)解 ∵f (x )＝1x －1－1x －3， ∴g (x )＝f (x ＋2)＝1x ＋1－1x －1， ∵g (－x )＝1－x ＋1－1－x －1＝1x ＋1－1x －1＝g (x )， 又∵g (x )的定义域为{x |x ≠－1且x ≠1}，∴y ＝g (x )是偶函数．(2)证明 设x 1，x 2∈2,3)且x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝(1x 1－1－1x 1－3)－(1x 2－1－1x 2－3) ＝2(x 1－x 2)(x 1＋x 2－4)(x 1－1)(x 1－3)(x 2－1)(x 2－3)，∵x 1，x 2∈2,3)且x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1＋x 2－4>0，(x 1－1)(x 1－3)(x 2－1)(x 2－3)>0，综上得f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )在2,3)上是增函数．例7 (1)解 因为f (－x )＝－ax ＋1－x ＋1＋1－x －1 ＝－(ax ＋1x －1＋1x ＋1) ＝－f (x )，又因为f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠－1且x ≠1}，所以函数f (x )为奇函数．(2)证明 任取x 1，x 2∈(0,1)，设x 1<x 2，则f x 1)－f (x 2)＝a (x 1－x 2)＋x 2－x 1(x 1－1)(x 2－1)＋x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1) ＝(x 1－x 2)a －1(x 1－1)(x 2－1)－1(x 1＋1)(x 2＋1)] ＝(x 1－x 2)a －2(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1)]． 因为0<x 1<x 2<1，所以2(x 1x 2＋1)>2,0<(x 21－1)(x 22－1)<1，所以2(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1)>2>a ， 所以a －2(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1)<0. 又因为x 1－x 2<0，所以f (x 1)>f (x 2)，所以函数f (x )在(0,1)上单调递减．例8 解 (1)单调递增区间是(－∞，1]，单调递减区间是1，＋∞)．(2)当x ＝0时，不等式f (x )≥kx 2成立；当x ≠0时，f (x )≥kx 2等价于k ≤1[x (|x －1|－a )]2. 设h (x )＝x (|x －1|－a )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x [x －(1－a )]，0＜x ≤1，x [x －(1＋a )]，1＜x ≤2.①当a ≤－1时，h (x )在(0,2]上单调递增，所以0<h (x )≤h (2)，即0<h (x )≤2(1－a )．故k ≤14(1－a )2. ②当－1<a <0时，h (x )在(0，1－a 2]上单调递增，在1－a 2，1]上单调递减，在1，2]上单调递增， 因为h (2)＝2－2a ≥(1－a )24＝h (1－a 2)． 即0<h (x )≤2(1－a )．故k ≤14(1－a )2. ③当0≤a ＜1时，h (x )在(0，1－a 2]上单调递增， 在1－a 2，1－a )上单调递减，在(1－a,1]上单调递减， 在1,1＋a )上单调递增，在(1＋a,2]上单调递增，所以h (1)≤h (x )≤max{h (2)，h (1－a 2)}且h (x )≠0. 因为h (2)＝2－2a >(1－a )24＝h (1－a 2)， 所以－a ≤h (x )≤2－2a 且h (x )≠0.当0≤a ＜23时，因为|2－2a |＞|－a |， 所以k ≤14(1－a )2； 当23≤a ＜1时，因为|2－2a |≤|－a |， 所以k ≤1a2， 综上所述，当a <23时，k ≤14(1－a )2； 当2≤a <1时，k ≤1a2. 考点专项训练1．A 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2x ≥0，x ＋3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x >－3. 故－3<x ≤0.即函数的定义域为(－3,0]，故选A.]2．D 在A 选项中，前者的y 属于非负数，后者的y ≤0，两个函数的值域不同； 在B 选项中，前者的定义域x ≥0，后者的x ∈R ，定义域不同； 在C 选项中，前者定义域为x >1，后者为x >1或x <－1，定义域不同； 在D 选项中，两个函数是同一个函数，故选D.]3．B4．A f (x )是一次函数，设f (x )＝kx ＋b ，ff (x )]＝x ＋2，可得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2，即k 2x ＋kb ＋b ＝x ＋2，k 2＝1，kb ＋b ＝2，解得k ＝1，b ＝1.则f (x )＝x ＋1，故选A.]5．A 6.B 7.C8．D 求x ·f (x )<0即等价于求函数在第二、四象限图象x 的取值范围．∵偶函数f (x )(x ∈R )满足f (4)＝f (1)＝0，∴f (4)＝f (－1)＝f (－4)＝f (1)＝0，且f (x )在区间0,3]与3，＋∞)上分别递减与递增，如图可知：即x ∈(1,4)时，函数图象位于第四象限，x ∈(－∞，－4)∪(－1,0)时，函数图象位于第二象限，综上所述，x ·f (x )<0的解集为(－∞，－4)∪(－1,0)∪(1,4)，故选D.]9．－1或23解析 当a ≥0时，f (a )＝1－12a ＝a ， 得a ＝23； 当a <0时，1a＝a ，解得a ＝－1或1(舍去)． ∴a ＝－1或23. 10．(－1,1)解析 ∵f (x )为定义在1＋a,1]上的偶函数， ∴1＋a ＝－1，∴a ＝－2，又f (－x )＝f (x )，即ax 2－bx ＋2＝ax 2＋bx ＋2， ∴2bx ＝0，∴b ＝0，∴f (x )＝－2x 2＋2.∴由f (x )>0得，－2x 2＋2>0，解得－1<x <1，∴f (x )>0的解集为(－1,1)． 11．(－∞，－4]解析 若关于x 的不等式x 2－4x －a ≥0在1,3]上恒成立， 则a ≤x 2－4x 在1,3]上恒成立，令f (x )＝x 2－4x ＝(x －2)2－4，x ∈1,3]， 对称轴x ＝2，开口向上，f (x )在1,2)递减，在(2,3]递增，∴f (x )min ＝f (2)＝－4，∴a ≤－4.12．解 (1)∵函数g (x )＝xf (x )＝x ＋ax 3x ＋b是偶函数， 则g (－x )＝g (x )．∴－x －ax 3－x ＋b ＝x ＋ax 3x ＋b恒成立， 即x －b ＝x ＋b 恒成立，∴b ＝0.又函数f (x )的图象经过点(1,3)，∴f (1)＝3，即1＋a ＝3，∴a ＝2.(2)由(1)知g (x )＝xf (x )＝2x 2＋1，g x )在(1，＋∞)上单调递增，设x 2>x 1>1，则g (x 2)－g (x 1)＝2x 22＋1－2x 21－1＝2(x 2－x 1)(x 2＋x 1)．∵x 2>x 1>1，∴(x 2－x 1)(x 2＋x 1)>0，∴g (x )>g (x 1)，∴函数g (x )在区间(1，＋∞)上是增函数．13．解 (1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a .①当a >0时，f (x )在2,3]上单调递增，故⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)＝2，f (3)＝5，即⎩⎪⎨⎪⎧2＋b ＝2，3a ＋2＋b ＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0. ②当a <0时，f (x )在2,3]上单调递减， 故⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)＝5，f (3)＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋b ＝5，3a ＋2＋b ＝2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3. 所以f (x )＝x 2－2x ＋2或f (x )＝－x 2＋2x ＋5.(2)因为b >1，所以f (x )＝－x 2＋2x ＋5，所以g (x )＝－x 2＋(m ＋2)x ＋5在2,4]上为单调函数， 故m ＋22≤2或m ＋22≥4， 所以m ≤2或m ≥6.。