3、当D2 E2 4F 0时，方程（1）不表示任何图形。
当D2 E2 4F 0时，方程（1）表示以（ D , E )为圆心，
1 D2 E2 4F为半径的圆。
22
2
圆的一般方程 判断以下方程是不是圆的方程： ① x2 ＋ y2 － 2x ＋ 4y ＋ 1 ＝ 0 ② X 2＋ y 2－ 2x ＋ 4y ＋ 5 ＝ 0 ③ X2 ＋ y 2－ 2x ＋ 4y ＋ 6 ＝0
y
M.1 M. 2
0
x
例1. 求过三点O(0,0)，M1(1,1), M2(4,2)的圆的 方程，并求这个圆的半径和圆心坐标
解：设所求的圆的方程为 x2＋y2十Dx＋Ey＋F＝0．
用待定系数法，根据所给条件来确定D、E、F．
因为O、M1、M2在圆上，所以它们的坐标是方程的解
F 0DEF20
解得F＝0，D＝8，E＝6
(2) x2 y2 2ax y a 0 是圆的方程的充要条件是
( A)a 1 2
(B)a 1 (C)a 1
2
2
(D)a 1 2
D
x (3)圆 x2 y2 8x 10y F 0 与 轴相切,则这个圆截 y
轴所得的弦长是
A
( A)6
(B)5
(C )4
( D )3
(4)点 A(3,5) 是圆 x2 y2 4x 8y 80 0 的一条弦的中点,
则这条弦所在的直线方程是
x y8 0
[习题示例] 求下列各圆的一般方程
(1)过点 A(5,1), 圆心为点 C(8,3);
x2 y2 16x 6y 48 0
(2)过三点 A(0,0), B(6,0), C(0,8).
x2 y26x 8y 0
例2. 已知一曲线是与定点O(0,0)，A(3,0)距离的比是 1 的点的轨迹， 求此曲线的轨迹方程，并画出曲线 2
4D 2E F 20 0
圆的半径为 r D2 E2 4F 5 2
于是得到所求圆的方程x2+y28x+6y＝0．
∴圆的半径为5、圆心坐标是(4，－3)
[圆的一般方程与圆的标准方程在运用上的比较]
(1)若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单. (2).若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待 定系数法求解.
即：x2+y2+Dx+Ey+F=0（1）
可见任何圆的方程都可以写成（1）式，
将（1）配方得（x D )2 ( y E )2 D2 E 2 4F (2)
2
2
4
两种方程的字母间的关系：
(x-a)2+(y-b)2 =r2
（x D)2 ( y E )2 D2 E2 4F
2
2
4
形式特点：（1）x2和y2的系数相同，不等于0
[练习]
1.下列方程各表示什么图形?
(1) x2 y2 0 原点(0,0)
x y (2)
2
2
2x 4y 6 0
圆心(1,-2),半径
11
(3) x2 y2 2ax b2 0,(ab 0)
圆心 ( a,0), 半径 a 2 b2
2.求下列各圆的半径和圆心坐标.
(1) x2 y2 6x 0
过一点求圆的切线的方程演示文稿
优选过一点求圆的切线 的方程
圆的标准方程是怎样的？
x2 y2 r2
(x a)2 (y b)2 r2
圆的标准方程有什么特点？
能直观看出圆的圆心与半经
展开圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2
得：x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0
不妨设：D＝－2a、E＝－2b、F＝a2+b2-r2
例2：已知一曲线是与两个定点O(0，0)， A线(的3，方0程)距，离并的画比出为曲12线的。点的轨迹，求此曲
y
M.
.
（-1，0） O
.
A(3,0)
x
[简单的思考与应用]
(1)已知圆 x2 y2 Dx Ey F 0 的圆心坐标为
(-2,3),半径为4,则D,E,F分别等于
(D)
(A)4,6,3 (B) 4,6,3 (C) 4,6,3 (D)4,6,3
圆心 3,0
半径为 3
(2) x2 y2 2by 0, (b 0)
圆心 0,b 半径为 b
圆的一般方程
问： Ax2＋Cy2＋Dx+Ey＋F＝0 程的充要条件是什么？
表示圆的方
① A＝C≠0
②
(
D A
)2
＋
(
E A
)2
－
4
(
F A
)
＞0
例1. 求过三点O(0,0)，M1(1,1), M2(4,2)的圆的 方程，并求这个圆的半径和圆心坐标
（2）没有xy这样的项。
反过来，形如（1）的方程的曲线是不是圆呢？
（x D)2 ( y E )2 D2 E2 4F 2 2 4 1、当D2 E2 4F 0时，方程（1）表示以（ D , E )为圆心，
22 1 D2 E2 4F为半径的圆。 2
2、当D2 E2 4F 0时，方程（1）表示点（ D , E )， 22
解：在给定的坐标系里，设点M(x,y)是曲线上的任意一点，
也就是点M属于集合 {M | | OM | 1}
| AM | 2
y
由两点间的距离公式，得
M
x2 y2
1
( x 3)2 y2 2
CO
Ax
化简得
x2+y2+2x3＝0
①
这就是所求的曲线方程．
把方程①的左边配方，得(x+1)2+y2＝4．
所以方程②的曲线是以C(1，0)为圆心，2为半径的圆